L04-Динамика, механика твердого тела

§ 31. Мгновенная ось вращения

al

§ 32. Движение центра инерции (масс) твердого

тела

i

§ 33.

Вращение тела вокруг неподвижной оси

§ 34. Момент инерции

n

t

§ 35.

de

Кинетическая энергия твердого тела

§ 36.

Работа внешних сил при вращении твердого

тела

f

§ 37.

Кинетическая энергия телаiпри плоском

движении

§ 38.

Гироскопы

C

§ 31. Мгновеннаяonось вращения

y

Элементарное перемещение какой-либо точки тела ds

можно разложить на два перемещения —

al

i

t

«поступательное» dsn и «вращательное» dsв:

ds = dsn + dsв,

причем dsn для всех точек тела одно и то же. Такое

разложение перемещения ds можно осуществитьn

различными способами, причем в каждом случае

i

f

вращательное перемещение dsв осуществляется

on

поворотом тела на один и тот же уголdedϕ (но

относительно различных осей), в то время как dsn и

dsв

оказываются различными.

C

Разделив ds на соответствующий промежуток

y

времени dt, получим скорость точки v:

pan

где vo — одинаковая для всех точек тела скорость

поступательного движения и v' — различная для

m

разных точек тела скорость, обусловленная

вращением.

o

C

Движение цилиндра, без скольжения по плоскости,

можно представить как поступательное движение со

скоростью vo и одновременное вращение с угловой

скоростью ω вокруг оси О, либо как поступательное

i

al

движение со скоростью v" = 2 vo и вращениеtс той же

угловой скоростью вокруг оси О", либо, наконец, как

n

одно только вращение опять-таки с той же угловой

скоростью ω вокруг оси О'.

i

de

f

Движение тела можно представить как вращение с

угловой скоростью ω в системе отсчета, которая

движется относительно неподвижной системы

поступательно со скоростьюonvo. Следовательно,

скорость этой точки при сложном движении тела

C

может быть представлена в виде

y

Существуют такие точки (они могут лежать в

пределах тела, или вне его), которые, участвуя в

обоих движениях— поступательном и вращательном,

будут неподвижнымиpan

.

m

Если имеется хотя бы один вектор r, который при

o

C

векторном перемножении с ω дает вектор, равный -vo,

то существует еще ряд векторов r, которые при

векторном перемножении с ω дают такой же

будут в рассматриваемый момент времени

t

неподвижными. Эти точки лежат на одной прямойialи

образуют так называемую мгновенную ось

вращения. Положение мгновенной оси вращенияn

относительно неподвижной системы отсчета и

i

f

относительно самого тела может меняться со

временем. В случае катящегося цилиндраdeмгновенная

on

ось О' совпадает с линией касания цилиндра с

плоскостью. При качении цилиндра мгновенная ось

перемещается как по плоскости (т. е. относительно

неподвижной системы отсчета), так и по поверхности

цилиндра.

y

C

pan

Плоское движение твердого тела можно

рассматривать как ряд последовательных

элементарных вращений вокруг мгновенных осей.

m

o

§ 32. Движение центра инерции (масс) твердого

тела

Разбив тело на элементарные массы, можно

Cпредставить его как систему материальных точек,

al

Напишем для каждой элементарной массы уравнение

второго закона Ньютона

i

n

где fi — результирующая всех внутренних силt, a Fi -

de

результирующая всех внешних сил, приложенных к

данной элементарной массе. Складывая уравнения

i

f

для всех элементарных масс, получим:

on

Учли, что сумма всех внутренних сил, действующих в

системе, равна нулю. Сумму, стоящую в левой части

C

уравнения, можно заменить произведением массы

тела на ускорение его центра инерции

y

Тогда

pan

§ 33. Вращение тела вокруг неподвижной оси

Силы взаимодействия между частицами действуют в

i

al

противоположные стороны вдоль одной прямойt.

n

i

de

f

Их моменты относительно произвольной точки равны

и противоположны. Поэтому сумма моментов

внутренних сил равна нулю и учитывая выражения

on

dp

N

L = åLi =å ri ×pi

M

= r ×F

и

= åFi

dt

i

i

и Ci

i i

i=1

сумма моментов внешних сил равна

d

L = åMвнешн

y

dt

i

Момент импульса замкнутой (в отсутствии внешних

сил) системы частиц остается постоянным. Это закон

pan

сохранения момента импульса.

m

oАбсолютно твердое тело можно рассматривать как

систему частиц с неизменным расстоянием между

C

ними. Для нее справедливо уравнение

d

L = åMвнешн

dt

i

Рассмотрим систему материальных точек, каждая из

al

которых может перемещаться, оставаясь в одной из

i

плоскостей, проходящих через общую ось Z. Все

плоскости могут вращаться вокруг этой оси с

одинаковой угловой скоростью ω .

n

t

de

i

f

on

Тангенциальная составляющая скорости i-й точки

может быть представленаCв виде:

L

=

pan(R × (ω× R )) = m R2

ω

vτi = ω× Ri

y

где Ri — перпендикулярная к оси Z coставляющая

радиуса-вектора ri (ее модуль Ri дает расстояние

точки от оси Z).

m

o

i i

i

i

i

zi

C

(векторы Ri-

ω и взаимно перпендикулярны).

оси Z. Тогда

al

Подставив это выражение в основной закон динамики

d

t

вращательного движения dt

L = åMвнешн

i

i

придем к уравнению:

n

i

f

которое является основным уравнением динамики

вращательного движения. По формеdeоно сходно с

on

уравнением второго закона Ньютона.

Абсолютно твердое тело это система материальных

точек с неизменными расстояниями между ними. Для

него момент инерцииCIz относительно фиксированной

оси Z есть величина постоянная.

y

Следовательно, полученное уравнение переходит для

абсолютно твердого тела в уравнение:

,

где угловоеpanускорение тела β = ω& .

Видноm, что при вращательном движении роль силы

o

C

играет момент силы, роль массы — момент инерции и

т. д.

al

i

t

n

Момент инерции тела может изменяться вследствие

изменения взаимного расположения отдельных частей

de

тела и при нулевом моменте сил М = 0 изменение

i

момента инерции влечет за coбой соответствующее

изменение угловой скорости. Этим объясняется

on

демонстрируемое явление, заключающеесяf

в том, что

величина аддитивная. Это означает, что момент

инерции тела равен сумме моментов инерции его

o

частей. Распределение массы в пределах тела можно

охарактеризоватьm

с помощью

Cгде m — масса тела, а V — его объем.

I = åρi Ri2 Vi = ρå Ri2 Vi = ò ρR 2dV

Интеграл берется по всему объему тела.

al

Подинтегральные величины являются функциями

точки.

i

t

n

de

Вычисления дают, например, момент инерции

f

однородного диска относительноiоси,

on

перпендикулярной к плоскости диска и проходящей

через его центр.

C

y

Нахождение момента инерции в примере значительно

m

упрощалось вследствие того, что тело было

однороднымpanи симметричным, в момент инерции мы

o

искали относительно оси симметрии О-О). Если бы

C

мы захотели найти момент инерции диска