18

1.6. Замечание о средней квадратичной скорости. Распределение Максвелла молекул по скоростям

Выше мы говорили о средней энергии теплового движения молекул. Дело в том, что молекулы движутся неупорядоченно, т.е. их скорости имеют не только случайные направления, но и величину. Спрашивается: какой смысл

имеет величина υ2, если разные молекулы имеют разные значения скорости? Если газ содержит N молекул и занимает объем V, то концентрация

молекул равна n=N/V. Предположим, что N1 молекул имеют величину скорости, равную υ1, N2 молекул - скорость υ2 …Nk молекул - значение скорости υk. Естественно, что N1 + N2 + … +Nk =N. В таком случае число молекул первой группы N1', достигающих площадки ∆S за время ∆t, будет равно:

N1′ = 16 NV1 υ1∆S∆t .

Та же величина для молекул второй группы будет N2′ = 16 N2υ2 ∆S∆t / 6 , и так далее до молекул k-й группы, из которых достигнет площадки за время ∆tNk′ = 16 Nkυk ∆S∆t / 6 . Изменение импульса молекулы каждой группы также будет

различным: 2 m0υ1, 2 m0υ2, …, 2 m0υк. Поэтому суммарное изменение импульса следует записать в виде суммы:

∆P = ∆P1 + ∆P2 +... + ∆Pk = 2m0 (υ1 N1′ +υ2 N2′ +... +υk Nk′) = 13 mV0 (N1υ12 + N2υ2 2 +... + Nkυk 2 )∆t ,

то есть вместо формулы (1.12) получим выражение:

p = 13 mV0 [N1υ12 + N2υ2 2 +... + Nkυk 2 ].

Учитывая, что n=N/V и сравнивая полученное выражение с формулой (1,12), придем к выводу, что под υ2 следует понимать сумму:

Таким образом, при упрощенном выводе формулы (1.12) мы заменили реальные скорости частиц некоторой средней скоростью, которая согласно только что полученной формуле является средней квадратичной скоростью, квадрат которой равен среднему арифметическому квадратов скоростей всех молекул газа. В частности, если имеется только 2 молекулы, движущиеся со

скоростями υ1 и υ2 (k=2, N1=N2=1, N=2), υ2=(υ21+υ22)/2.

Средняя энергия теплового движения молекул равна кинетической энергии молекулы, движущейся со средней квадратичной скоростью.

В действительности молекулы могут иметь не дискретные, а непрерывные значения скоростей. Следовательно, в реальности число групп k молекул,

имеющих разные скорости, бесконечно велико k→∞. В этом случае относительные доли числа молекул N1/N, N2/N, …, имеющих соответствующие скорости, следует заменить аналогичной величиной dF(υ):

dF(υ) = dNN(υ) ,

19

которая равна числу молекул, имеющих величину модуля скорости большую υ-dυ, и меньшую υ+dυ, деленную на полное число частиц. Понятно, что чем больше величина dυ, тем больше dF(υ): dF(υ)=f(υ) dυ, где f(υ) - функция, характеризующая распределение молекул по величине скорости.

Сучетом сказанного формула (1.14) в этом случае может быть переписана

ввиде (сумма преобразуется в интеграл):

причем интегрирование проводится по всем возможным значениям модуля скорости.

В случае идеального газа, находящегося в тепловом равновесии, функция f(υ) была получена Дж.. Максвеллом и имеет вид:

где µ - молярная масса газа, а T - равновесная температура. Таким образом, величина (υкв)2 для одноатомного идеального газа определится значением интеграла2

Таким образом, средняя квадратичная скорость молекул одноатомного газа равна:

υкв = 3RTµ .

Далее мы получим этот результат элементарными методами, что показывает справедливость упрощенного подхода, примененного при выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории.

Сопоставление с уравнением Клайперона - Менделеева.

Воспользовавшись тем, что концентрация молекул n=N/V, основное уравнение молекулярно-кинетической теории можно записать в виде:

pV = 23 Nε .

Сравнивая это выражение с уравнением состояния идеального газа (1.11), приходим к выводу, что:

ε= 32 mµ RTN .

Сдругой стороны, число молекул газа можно выразить через число молей

ичисло Авогадро: N=νNа= mµ Nа. Поэтому для средней кинетической энергии

молекул получим формулу:

2 при вычислении интеграл можно преобразовать к интегралу Пуассона

∫0∞ exp(−aυ2 ) dυ =1/ 2π / a