учебник часть 2 начер

•падающая тень от отрезка прямой, параллельного плоскости, на

которую строится тень, равна по длине и параллельна ортогональной проекции отрезка прямой на эту же плоскость проекций, т. е. (С t2 ; D t2 ) равна и параллельна отрезку ( С2 ; D2 );

•падающая тень от отрезка прямой, перпендикулярной плоскости, на которую строится падающая тень, является отрезком, совпадающим с

проекцией луча на эту же плоскость;

• что же касается прямой l, которая совпадает с лучом, то её падающие тени на любую плоскость вырождаются в точку, т. к. построение теней аналогично проецированию и прямая l в данном случае является проецирующей.

Приведенные операции и особенности теней полезно запомнить и применять в более сложных случаях.

Отметим, что, работая с чертежом, мы фактически строим не сами тени, а их проекции, которые геометрически достоверны, поскольку построены на полном чертеже.

На рис. 139 показана задача построения падающих теней от фигуры на плоскость общего положения, также заданную на чертеже.

Пусть на эпюре (рис. 139) заданы проекции отрезка АВ (A1 B1 ; A2

B2 ) и проекции плоскости γ (γ1 ; γ2 ) общего положения, заданной парой

параллельных между собой прямых l, l′ общего положения. Лучевая схема задана проекциями S1 , S2 луча света.

Для построения падающей

145

своими фронтальными следами, совпадающими с фронтальными проекциями лучей. Отрезки, заданные точками 5, 6 и 7, 8, являются линиями пе-

ресечения плоскостей-посредников с отсеком плоскости γ. Точки А t и B t (на рис. 139 показаны их проекции) являются искомыми тенями от точек А и В на плоскость γ.

Соединив одноименные проекции, получаем отрезки А t1 B t1 и А t2 B t2, являющиеся проекциями падающей тени от отрезка АВ на плоскость γ .

Теперь необходимо построить собственную тень плоскости γ.

Эта плоскость имеет две стороны, из которых одна может быть в собственной тени. Порядок чередования вершин 1, 2, 3, 4 отсека плоскости задаёт на ней некоторую ориентацию. При взгляде на плоскость с различных сторон эта ориентация меняется. Проверив ориентацию проекций фигуры 1 2 3 4, убеждаемся, что она различна на проекциях. Так, на горизонтальной проекции следование точек 1, 2, 3, 4 идёт по часовой стрелке. На фронтальной проекции следование проекций тех же точек идет в противоположном направлении. Это означает, что на рис. 139 отражены различные стороны плоскости. На стороне, расположенной в собственной тени, мы не увидим падающей тени от отрезка АВ на плоскость. В то же время на освещенной стороне эта падающая тень будет видна.

Для решения этой задачи построим видимость лучей, проходящих через точи А и В относительно прямой 4 3, лежащей в плоскости γ. Проверка методом конкурирующих точек показывает, что прямая 4 3 плоскости γ перекрывает лучи, идущие из точек А, В на горизонтальной проекции. Отсюда заключаем, что горизонтальная проекция плоскости γ показывает неосвещенную сторону плоскости. Такая же проверка видимости лучей на фронтальной проекции убеждает, что на этой плоскости отображена освещённая сторона плоскости γ. На этой проекции мы видим падающую тень от АВ на плоскость γ.

На рис. 140 показаны проекции А1 В1 С1 и А2 В2 С2 отсека АВС плоскости общего положения. Сравнивая ориентации вершин АВС на проекциях, убеждаемся, что одна из проекций отображает собственную тень на плоскости АВС. Для выбора этой проекции строим падающую тень от о т- сека АВС на плоскость П1 при некотором направлении лучей S, заданном лучевой схемой S1 , S2 . Построив падающую тень А t1 B t1 C t1 убеждаемся, что ориентация вершин падающей тени и фронтальной проекции одинаковы.

146

Рис. 140

Легко сообразить, что в этом случае проекция А2 , В2 , С2 отображает освещенную сторону плоскости АВС. В самом деле, можно проследить «путь лучей», проходящих в пространстве через точки АВС и убедиться, что они составляют жёсткую систему, включающую отсек и его падающую тень. В то же время для того, чтобы увидеть неосвещённую сторону плоскости, надо смотреть в противоположном направлении луча. Но в этом случае ориентация на плоскости АВС изменяется на противоположную той, которая имеется на падающей тени. Следовательно, на проекции А1 , В1 , С1 отображена неосвещённая сторона плоскости АВС. На рис. 140 ориентации на проекциях плоскости и на падающей тени показаны круговыми стрелками. Заканчивая вопрос о построении собственных теней на плоскости по её проекциям на полном чертеже, остановимся на вопросе построения этих теней на плоскости, которая параллельна направлению лучей. Здесь не работают приёмы, показанные на рис. 139 и 140.

147

С точки зрения теории, фрагменты которой мы дали выше, такие плоскости должны считаться неосвещёнными и не дающими невырожденной падающей тени (т.к. тень вырождается в прямую). Однако в архитектурной практике иногда, для оживления чертежа, условно принимают отсеки таких плоскостей освещёнными, если это не приводит к осложнениям.

Выше, на рис. 138, показаны построения мнимой точки тени, которую физически нельзя получить. Однако геометрические построения возможны. Приведём полезное использование мнимой тени при построении падающих теней отрезка прямой.

На рис. 141 дан чертеж отрезка АВ прямой общего положения. Показаны построения действительной тени этого отрезка на плоскости проек-

проекций. Следовательно, через неё пройдут действительные тени отрезка

АВ и на плоскость П1 , и на плоскость П2 . Построим теперь действительную тень от точки В на плоскость П2 и соединим точку B t2 с точкой на оси проекций. Мы получим действительную тень от отрезка АВ на плоскостях П1 и П2 . Эта тень, как видно из рис. 141, состоит из двух отрезков, являющихся падающими действительными тенями от частей отрезка АВ на плоскости П1 и П2 .

Рис. 141

Рассмотрим метод «обратного луча», применяемый для построения взаимных теней от одной фигуры на другую. На рис. 142 показаны проекции двух скрещивающихся прямых, отрезки которых АВ и СD могут иметь точки, отбрасывающие тени друг на друга. Для выявления этих точек строим падающие тени отрезков на плоскость проекций П1 .

148

Рис. 142

Эти тени пересекаются в точке, которая является тенью двух конкурирующих по лучу точек 1 и 2. Точка 1 лежит на отрезке АВ, а точка 2 – на CD. В этом убеждает обратный луч, проведённый от падающей тени к гори-

будут первыми, пересекающими проекцию призмы. Эти точки находятся на освещённых гранях. Вторые точки обозначают грани, находящиеся в собственной тени. Построения теней ясны из рис. 143.

149

при построениях падающих теней от граней одной призмы на другую. Так, правое нижние ребро высокой призмы (см. горизонтальную проекцию композиции) отбрасывает тень на землю (до точки 11 ), которая идет параллельно проекции луча S1 . Затем отрезок тени идет по вертикальной грани второй призмы (это видно на фронтальной проекции). Этот отрезок парал-

150

лелен проекции ребра, которое отбрасывает тень. Далее тень от того же ребра падает на наклонную грань второй призмы. На рис. 146 построена тень от верхней граничной точки ребра на эту грань. Применён метод введения плоскости-посредника. Горизонтально проецирующая плоскость α проведена через ребро. Построены проекции 12 22 и 11 21 − линии пересечения посредника с наклонной гранью. В результате обнаружена точка пересечения К (К1 , К2 ) луча с плоскостью грани. После построения падающих теней от ребра призмы на землю обнаружена точка (3 t = 4 t ) пересечения теней двух ребер, принадлежащих различным призмам. Обратным лучом показано, что часть горизонтального ребра высокой призмы отбрасывает падающую тень на горизонтальную грань второй призмы. Эта тень определена точкой 42 и условиям параллельности тени самому ребру. Рассматриваемая тень замыкается на точке К2 , что и показано на рис. 146.

Рис. 146

До сих пор нами рассматривались тени, которые получались с помощью освещения объекта взаимно параллельными лучами. Можно представить себе точечный источник света (лампа, свеча). Тогда схема построения теней будет аналогична операции центрального проецирования.

151

На рис. 147 показан пример построения тени отсека плоскости АВС. Здесь источник света задан точкой S. Построения не требуют пояснений, т. к. они аналогичны случаю, где лучи параллельны между собой

(см. рис.140).

Рис. 147

Рассмотрим построение теней с участием кривых поверхностей.

На рис. 148 показаны тени, построенные от цилиндра вращения. Цилиндр является проецирующим по отношению к плоскости х0у, с которой совмещено основание цилиндра. Собственные тени на цилиндре будут в виде двух образующих прямых, по которым лучевые плоскости касаются поверхности цилиндра. На горизонтальной проекции эти плоскости проецируются в прямые параллельные S1 и касающиеся проекции основания цилиндра. Падающая тень цилиндра состоит из прямых, проходящих через точки 1 и 2 на теневых образующих цилиндра, и дуги окружности верхнего основания цилиндра. Эта дуга, ограниченная точками 1, 2, замыкает область собственной тени на цилиндре.

Падающую тень дуги можно построить, предварительно построив тень центра от окружности основания (точка 3 (31 , 32 ) ),

поскольку эта окружность параллельна Рис. 148 плоскости х0у и не искажается при по-

строении тени на эту плоскость.

152

На рис. 149 показано построение теней, связанных с полуцилиндром, лежащим сечением на плоскости х0у и занимающим общее положение по отношению к плоско-

сти х0z. Прямые образующие полуцилиндра параллельны плоскости х0у. Для построения собственной тени полуцилиндра луч проецируют параллельно образующим полуцилиндра на плоскость его основания (см. схему проецирования справа на рис. 149).

Лучи S 1 , S 2 представляют собой лучевую схему совмещённую с плоскостью основания цилиндра. Проводим прямую l (l1 , l2 ) касательную к основанию полуцилиндра.

ной тени на полуцилиндре. Остальные построения падающей тени полуцилиндра на плоскость х0у понятны из рис. 149.

Применённый в этом примере метод построения называется методом

153

На рис. 151 показан технический чертеж ниши, образованной конической поверхностью вращения. При этом ось поверхности составляет прямой угол с плоскостью входного отверстия в нишу. Дно ниши параллельно плоскости входного отверстия. Для наглядности горизонтальная проекция ниши представлена в виде частичного горизонтального разреза А - А. Для построения собственной тени в нише строим вершину В (В1 , В2 ) конуса, который образует нишу. С помощью обратного

луча S (S 1 , S 2 ) строим падающую тень на плоскость входного отверстия

ниши от вершины В. Образующие В t2 1 2 и B t2 1 2 являются границами собственной тени на конические части ниши (горизонтальные проекции теней на рис. 151 не показаны). Падающие тени в нише определяются лучами прямого направления S1 , S2 . Эти тени образуются тенями от передней границы отверстия ниши на плоскость дна и на боковую поверхность ниши. Поскольку граница входного отверстия ниши и плоскость её дна параллельны друг другу, тень на дно ниши будет ограничена окружностью, радиус которой равен радиусу входного отверстия. Для построения тени определяем тень от центра О (О1 , О2 ) на плоскость дна ниши (точка О t ). Из проекции О2t проводим окружность, радиус которой равен радиусу входной окружности ниши.

Рис. 151

154