Вопрос 34.

Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных содержатся в следующей теореме.

Теорема 19.1. Пусть частные производные ,существуют в окрестности точкии непрерывны в самой точке. Тогдадифференцируема в точке.

◄Ограничимся случаем .

Пусть точки и принадлежат рассматриваемой окрестности точки. Рассмотрим приращение функции в точке : и представим его в виде:

. (19.1)

Зафиксировав , рассмотрим функцию от переменнойвида

. (19.2)

Поскольку в существуют частные производные, функциядифференцируема на любом промежутке, содержащеми. Применим поэтому теорему Лагранжа, согласно которой

, где . (19.3)

По определению частной производной,

. (19.4)

Поэтому

. (19.5)

Аналогичным образом,

. (19.6)

Из (19.1), (19.5) и (19.6) получаем:

. (19.7)

Далее, при →точкиистремятся к точке.

Непрерывность частных производных в этой точке означает, что их можно представить в виде

,

, (19.8)

где при→.

Из (19.7) и (19.8) следует представление

,

означающее дифференцируемость функции .►

Замечание. Непрерывность частных производных не является необходимым условием дифференцируемости функций. Например, можно доказать, что функция

дифференцируема в точке (0,0), но частные производные в этой точке не непрерывны (без доказательства).

Замечание. Тем не менее для функции частные производные в точке (0,0) равны 0, так каки(в остальных точках,и ясно, что эти производные терпят разрыв в точке (0,0)). Но приращениене имеет вид, гдепри.

Действительно, полагая и предполагая противное, т. е. что функция дифференцируема в (0,0), т. е., получаем, или, что невозможно, так как приправая часть стремится к нулю, а левая – нет!

Вопрос 35.

Пусть определена в некоторой окрестности точки, и пусть в этой точке существуют,.

Определение. Линейная функция от независимых переменныхвида

(20.1)

называется дифференциалом в точкеи обозначается.

Каждую из независимых переменных ,можно рассматривать как функцию, причем,, а для любогои любогоимеем.

Тогда, последовательно выбирая ,и применяя равенство (20.1), получаем

. (20.2)

Подставляя в (20.1) вместо величинусогласно (20.2), получаем более часто употребляемую запись дифференциала:

. (20.3)

Обычно величинам переменных придают значенияприращений независимых переменных, не входящих при добавлениик рассматриваемой точке за границу рассматриваемой области. Независимость переменныхозначает, что если взять какое-то приращение, то оно не меняется при переходе от одной точки области к другой (а для зависимых переменных переход к другой точке вызывает соответствующие изменения вектора).

Поэтому выражение (20.3) можно заменить на

(20.4)

для независимых переменных (для них, напомним еще раз,).

Вспомним (см. вопрос 18) определение дифференцируемой функции: ее приращение имело вид

, (20.5)

где при.

Согласно (20.4), равенство (20.5) можно переписать в виде

. (20.6)

Оно означает, что если среди чисел есть отличное от нуля, топредставляет собой главную, притом линейную по, часть приращения.

Определим (пока формально) вектор . Тогда(скалярное произведение). (Вектор градиента служит обобщением понятия производной функции. Напомним, что.)

Для отображения пространствав, состоящего из дифференцируемых функций, также можно определить дифференциал. При этом

.

Матрица называетсяматрицей Якоби отображения .

(Свойства матрицы Якоби даны в приложении к этому билету, в конце его.)

Перейдем к вопросу о том, что будет в случае зависимых переменных .