Вопрос32.Функции и отображения. Предел, непрерывность.

Определение 32.1 Функция сопоставляет элементам множества( называемого областью определения) числа.

Определение 32.2 Отображение сопоставляет элементам множестваэлементы.

Таким образом, функция – это частный случай отображения . Задать отображение – это все равно, что задатьфункций

Примеры.

1. - функция двух переменных, паре сопоставляет число.

2. Отображение

3. Вектор-функция Винтовая линия.

Пусть - предельная точка области определения.

“Конкретизируя” окрестности, это определение в метрических пространствах , или, для

Или

выполняется неравенство

(17.1)

Теорема 32.1. .

Доказательство.

Поскольку , из (17.1) следует, чтопри. Но это как раз и означает, что.

. Пусть - фиксировано. Выберемтак, чтобы привыполнялось неравенствоВзявполучаем, что привыполняется неравенство

.

Определение 32.3. Отображение непрерывно в точке , если

Согласно сказанному выше, непрерывность отображения равносильна непрерывности всех функций.

Так же, как и в случае функций одной переменной, справедлива следующая теорема.

Теорема 32.2.Если , то,, и если, то.

Следствие. Сумма, разность, произведение и частное ( при ) непрерывных функцийиявляются непрерывными функциями.

Теорема 32.3. Если непрерывно в точке, отображениенепрерывно в точке, то отображениенепрерывно в точке.

Доказательство. Для всякой окрестности существуеттакая, что. Но. Эта окрестность - искомая, т.к. .

Теорема 32.4. (Теорема о сохранении знака непрерывной функции). Если то.

Доказательство. Достаточно доказать, что если , то и. Действительно, взявполучаем по определению непрерывности окрестность такую что .

Теорема 32.5. Непрерывный образ компактного множества есть компактное множество. (без доказательства).

Замечание. Эта теорема непосредственно обобщает теоремы 1 семестра о том, что непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает наибольшего и наименьшего значений.

Теорема 32.6. Непрерывный образ связного множества (т.е. множества, любые 2 точки которого можно соединить кривой, целиком лежащей внутри этого множества) есть связное множество. (без доказательства).

Замечание. Эта теорема обобщает теорему 1 семестра о том, что непрерывная на отрезке функция принимает все свои промежуточные значения.

Теорема 32.7. (Теорема Кантора). Непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нем, т.е..

Функции Кобба-Дугласа.

Функция Кооба-Дугласа имеет вид , где- величина произведённого продукта,- затраты труда,- объём производственных фондов,- коэффициенты.

Вопрос 33. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные

Пусть определена в некоторой окрестности точки,- точка из этой окрестности.

Определение 33.1 Величина называетсяприращением функции в точке, соответствующим приращению аргумента .

Определение 33.2 Функция называетсядифференцируемой в точке ,если существуют такие постоянные числа и функции при (18.1)

Часто обозначают и .Тогда (18) перепишем в виде .

При наше определение (18.1) совпадает с известными из материала 1-го семестра определением дифференцируемости. Для функций одной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае нескольких переменных ситуация несколько сложнее.

Сначала введем в рассмотрение величину . Она представляет собой приращение функции при фиксированных значениях всех производных, кромеi-той.

Пусть дифференцируема в точке .Тогда для любого равенство (18.1) дает при (18.2)

Поскольку при фиксированных значенияхравносильно тому, что, равенство (18.2) означает, что функция одной переменной.

дифференцируема в точке и, значит, существует(18.3) называемый, по определению, частной производной функции по переменнойв точке .

Мы только что, тем самым, доказали теорему:

Теорема 33.1. Если дифференцируема в точке ,то для всех существуют .

Таким образом, существование частных производных – необходимое условие дифференцируемости. При этом при .

Другое необходимое условие дифференцируемости – непрерывность функции, как показывает следующая теорема.

Теорема 33.2. Если дифференцируема в точке ,то .

Доказательство. Достаточно доказать, что при , , (т.к.). Но это сразу следует из равенства (18.1), так как.

Однако, в отличие от случая , из существования частных производных ,определенных равенством (18.3)не следует даже непрерывность функции в точке и тем более не следует дифференцируемость в точке ,согласно теореме(18.2).

Пример. . Тогда, так как .Аналогично, .Однако даже не непрерывна в точке .

Достаточное условие дифференцируемости дает следующая теорема.

Теорема 33.3. Пусть частные производные существуют в окрестности точки и непрерывны в этой точке. Тогда дифференцируема в точке .

Доказательство. Пусть принадлежит рассматриваемой окрестности .При этом все точки так же принадлежат рассматриваемой окрестности. Приращение функции представим в виде(4)

и рассмотрим разности (5) составляющие в сумме приращение (4).

Положим (то есть фиксируем все переменные, кроме). Тогда рассматриваемая разность (5) имеет вид. Функцияпо условию дифференцируема на отрезке, соединяющими. Значит, она непрерывна на этом отрезке и можно применить теорему Лагранжа, согласно которой, где.

Но . По условию непрерывности частных производных, где при .

Поэтому каждая из разностей (5) имеет вид , а приращение (4) совпадает с (3) из определения дифференцируемости. Теорема доказана.

Замечание 1. Непрерывность частных производных не является необходимым условием дифференцируемости функций. Например можно доказать, что функция дифференцируема в точке , но частные производные в этой точке не непрерывны.

Замечание 2. Тем не менее, для функции частные производные в точке равны 0, так как и(в остальных точках,и ясно, что эти производные терпят разрыв в точке . Но приращение не имеет вид , где при .Действительно, полагая и предполагая, что получаем , или что невозможно, так как при правая часть стремится к 0, а левая нет!