2. Выпуклость дифференцируемой функции

Теорема 30.1. Для того, чтобы дифференцируемая на функция f была выпукла вниз (вверх) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы её производная функцияне убывала (не возрастала) на этом интервале.

◄Доказательство проведём для выпуклой вниз функции. Докажем сначала, что её производная не убывает.

Пусть ,. Переходя в неравенстве (4) к пределу при, получим:

. (5)

Переходя в неравенстве (4) к пределу при , получим:

. (6)

Из неравенств (5) и (6) следуют неравенства , что и требовалось доказать.

Обратно, пусть производная функция не убывает на . Пусть ,. Следует доказать, что выполняется неравенство (4). Для этого заметим, чтодифференцируема на , следовательно, непрерывна на и непрерывна на . Тогда по теореме Лагранжа, применённой к отрезкугде, находим:

. (7)

Аналогично, по теореме Лагранжа, применённой к отрезку

. . (8)

Так как не убывает на , выполняется неравенство , из которого следует, ввиду (7) и (8), неравенство (4), равносильное выпуклости вниз рассматриваемой функции.►

Теорема 30.2. Функция , дифференцируемая на интервале,тогда и только тогда выпукла вниз на этом интервале, когда для любой точкии любой точкисправедливо неравенство

.

Противоположное неравенство

, справедливо для всех,тогда и только тогда, когда функциявыпукла вверх на.

◄ Доказательство проведём для случая выпуклой вниз функции. Пусть сначала дифференцируемая функция выпукла вниз на .Тогда, как установлено в теореме 30.1, справедливы неравенства (5) и (6). Неравенство (5) можно преобразовать к равносильному виду

. (9)

Преобразование состоит в умножении обеих частей неравенства (5) на положительный знаменатель и замене обозначений: точку заменяем на, а точкуна точку, считая, что. Точно также, при, преобразуем неравенство (6), заменяя точкуна точку, а точкуна. После этого преобразования снова получим неравенство (9).

Таким образом, если дифференцируемая функция выпукла вниз на интервале , то для всехвыполняется неравенство (9). Для выпуклой вверх функции имеем, соответственно,

.

Обратно, пусть для всех выполняется неравенство (9).

Рассмотрим произвольные точки ,. Применяя неравенство (9) к точкеи считая, получим неравенство, а применяя его к точкеи считая, получаем неравенство, на основании которых, с учётом условия, имеем

.

Следовательно, производная функции не убывает на. По теореме 30.1 функция выпукла вниз на .►

Геометрически свойство выпуклости вниз дифференцируемой функции f на означает, что её график в пределах этого интервала располагается выше касательной, проведенной в любой точке графика; для выпуклой вверх дифференцируемой функции картина противоположная (см. рис. 2).

Рис.2

Замечание 1. Если обозначить

, то свойство выпуклости вниз(вверх) дифференцируемой функции на равносильно тому, что для любой точкинеравенство() справедливо для всех. Отметим, что