- •Вопросы экзамена по математическому анализу для студентов 1 курса экономического факультета анх
- •Вопрос 1: множества и операции над ними
- •Вопрос 2 : декартово произведение множеств, бинарные отношения
- •Вопрос 3: отображения и их свойства
- •Вопрос 4: множество действительных чисел. Аксиома отделимости
- •§1. Натуральные числа
- •§ 1΄. Аксиомы Пеано
- •§ 2. Целые числа
- •§ 3. Рациональные числа
- •§4. Действительные числа
- •Вопрос 5:верхняя и нижняя грани
- •2. Стягивающиеся отрезки
- •Вопрос 6. Предельные точки
- •Вопрос 7. Приближённые вычисления
- •Вопрос 8. Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно малые величины .Арифметические свойства предела
- •Вопрос 9. Предельный переход в неравенствах. Вычисление
- •Вопрос 10: предел монотонной ограниченной функции
- •Вопрос 11: число e
- •Вопрос 12: критерий коши существования предела последовательности, предела функции
- •Вопрос 13: непрерывность. Точки разрыва.Свойства непрерывных функций
- •1. Непрерывна в точке ;
- •2. Существует такая , что.
- •Вопрос 14: непрерывность элементарных функций
- •Вопрос 15: символы ,. Вычисление ,,
- •Вопрос 16: промежуточные значения непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 17: ограниченность непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 18: равномерная непрерывность
- •Вопрос 19: производная, её естественнонаучный смысл и основные свойства
- •1. Дифференцируемость функции
- •2.Производная
- •3. Касательная к графику функции
- •4. Правила дифференцирования
- •4. Производная обратной функции
- •6. Производная сложной функции
- •7. Производная функции, заданной параметрически
- •Вопрос 20: дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.Понятие дифференциала числовой функции
- •4.Дифференциал суммы, произведения и частного функций.
- •Вопрос 21:производные и дифференциалы высших порядков
- •1. Последовательные производные
- •2. Примеры
- •3. Линейное свойство производных высших порядков
- •Вопрос 22.
- •Вопрос 23: теоремы ферма, ролля. Необходимые условия экстремума
- •Вопрос 24:теоремы лагранжа, коши.Критерий постоянства функции
- •Вопрос 25: формула тейлора с остаточным членом в форме лагранжа
- •Вопрос 26. Формула тейлора с остаточным членом в форме пеано
- •Вопрос 28: правила лопиталя
- •1. Неопределённость типа
- •Вопрос 29: монотонность функции. Достаточные условия экстремума функции
- •Вопрос 30. Функции спроса торнквиста. Функция полезности. Выпуклость графикафункции.
- •2.Производственные функции.
- •5. Выпуклость графика функции.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно
- •1.Выпуклость непрерывной функции
- •2. Выпуклость дифференцируемой функции
- •3. Выпуклость дважды дифференцируемой функции
- •4.Точки перегиба
- •31. Пространство , множества в нем.
- •Вопрос32.Функции и отображения. Предел, непрерывность.
- •Функции Кобба-Дугласа.
- •Вопрос 33. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные
- •Вопрос 34.
- •Вопрос 35.
- •Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •Вопрос 36. Касательная плоскость
- •Вопрос 37. Производная по направлению, градиент.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно Матрица Якоби и ее свойства.
- •Вопрос 39. Производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Второй дифференциал функции.
- •Вопрос 41. Формулы Тейлора.
- •Билет 42. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Метод наименьших квадратов.
4.Дифференциал суммы, произведения и частного функций.
В силу равенства (1) из любой формулы для производной в точке x при умножении на dx получается соответствующая формула для дифференциала. В частности, в точках, где функции u, v удовлетворяют условиям теорем о дифференцируемости суммы, произведения или частного получаем: d(u+v)=du+dv; аналогично, d(uv)=vdu+udv, d(u/v)=(vdu-udv)/v2.
Отметим, что если C – постоянная, то dC=0, dCu=Cdu.
Вопрос 21:производные и дифференциалы высших порядков
1. Последовательные производные
Производная функцииf, в свою очередь, может иметь производную. Последнюю в этом случае называют второй производной (или производной второго порядка) функции f и обозначают обычно . Таким образом,. В соответствии с этимназываютпервой производной (или производной первого порядка) функции f. По индукции определяют (в предположении, что они существуют) производные следующих порядков: f´´´ = (f´´)´ и т.д. Если f имеет n-ю производную (а значит, и производные всех меньших порядков) во всех точках некоторого промежутка I, то говорят, что f n раз (или n-кратно) дифференцируема на промежутке I. Функцию f, имеющую на I производные всех порядков, называют бесконечно дифференцируемой на I. Таковы, например, на всем множестве действительных чисел алгебраические многочлены, показательные функции.
Для обозначения порядка производной, если он невелик, используют также римские цифры. Так, fIV – четвертая производная функции f. Вообще же, n-ю производную функции f обозначают f(n) (в частности, f(1) = f´). При этом удобно саму функцию f обозначать символом f(0). В таких обозначениях, очевидно, f(n) = (f(k))(n-k) для всех k, 0≤k≤n.
Итак, функция f имеет в точке x0(a,b) производную f(n)(x0) (обозначение: fD(n)(x0)) в том и только в том случае, когда в некоторой окрестности точки x0, (a,b), существуют производные функции f(k) всех порядков , и функция f(n-1) имеет в x0 производную (f(n-1))´(x0) = f(n)(x0).
Вторая производная имеет важный механический смысл. Если прямолинейное движение материальной точки описывается уравнением S = f(t), то, как было показано, V = f´(t) – скорость точки в момент t. Величину j = f´´(t) ("скорость изменения скорости") называют ускорением точки в момент t. Согласно третьему закону классической механики, сила F, приложенная к точке, пропорциональна ускорению, F = mj; коэффициент пропорциональности m называют массой точки.
Для некоторых бесконечно дифференцируемых функций легко указать формулу для вычисления n-ой производной.
2. Примеры
1) f(x) = xα, x>0, α - фиксировано. Поскольку f´(x) = αxα-1, f´´(x) = α(α-1)xα-2, то, по индукции, получим f(k)(x) = α(α-1)…(α-k+1)xα-k, x>0, . Если α = n, то f(x) = xn определена на всем и (xn)(k) = n(n-1)…(n-k+1)xn-k, x, 1≤k≤n-1. При получим (xn)(n) = для всех x (так как (xn)(n-1) = n!x, x), и поэтому (xn)(m) = 0 для всех x и всех.
2) f(x) = ex, x. Поскольку f´(x) = ex, f´´(x) = ex, то f(k)(x) = ex, x, k.
3) f(x) = sinx, x. Поскольку f´(x) = cosx = sin(x+), то f´´(x) = (sin(x+))´ = cos(x+)∙(x+)´ = cos(x+) = sin(x+2), x, и, по индукции, f(k)(x) = sin(x+k), x, k.
4) f(x) = cosx, x. Так как f´(x) = -sinx = cos(x+), то f´´(x) = (cos(x+))´=-sin(x+)∙(x+)´ = -sin(x+) = cos(x+2), x, и, по индукции, f(k)(x) = cos(x+k), x, k.
5) f(x) = (1+x)α, x>-1, α - фиксировано. Как и в примере 1, получим f´(x) = α(1+x)α-1(1+x)´ = α(1+x)α-1, f´´(x) = α(α-1)(1+x)α-2 и f(k)(x) = α(α-1)…(α-k+1)xα-k, x>-1, k.
6) f(x) = ln(1+x), x>-1. Так как f´(x) = (1+x)´ = = (1+x)-1, то, на основании примера 5 с α = -1, получим f(k)(x) = (f´)(k-1)(x) = ((1+x)-1)(k-1) = (-1) (-2)…(-1-(k-1)+1)∙(1+x)-1-(k-1) = (-1)k-1(k-1)!(1+x)-k = , k.