Тема 3. Геометрическое определение вероятности

Предположим, что пространство элементарных исходов W, соответствующее рассматриваемому испытанию, бесконечно и несчетно, а его элементы являются равновозможными. Пусть множествопредставляет собой некоторую область вn-мерном пространстве, имеющую конечную меруm(W):,m(W) <. Подмеройm(А) множестваАпонимается его длина в одномерном случае (n= 1), т.е. если множество на прямой; площадь множества в двумерном случае (n= 2), т.е. если оно на плоскости; объем – в трехмерном случае (n= 3), т.е. если множество в пространстве и т. д. Тогда, согласногеометрическому определению вероятности, вероятность событияАравна отношению мерыm(А) множестваАк мереm(W) всего пространства элементарных исходов:

.

Пример 3.1.В примере 1.11 (тема 1) найти вероятности событийA,B, … ,E.

Пример 3.2.На перекрестке установлен автоматический светофор, в котором одну минуту горит зеленый свет и полминуты – красный, затем снова одну минуту – зеленый и полминуты – красный и т. д. В случайный момент времени к перекрестку подъезжает автомобиль. Какова вероятность того, что он проедет перекресток без остановки?

Решение.Испытание – фиксация момента подхода автомобиля к перекрестку (в минутах), начиная с момента загорания зеленого света. Элементарный исход испытания – числоx(мин) и= {x: 0x1,5}. Введем событиеA= {автомобиль проедет перекресток без остановки} = {x: 0x1,0}. Так множествона вещественной прямой, то согласно геометрическому определению вероятности

. g

Пример 3.3.Во время грозы между двумя населенными пунктамиMиN, отстоящими друг от друга на 31 км, в неизвестном месте произошел обрыв электрического провода. Для обнаружения и устранения аварии из пункта M выходит ремонтная бригада и двигается вдоль линии электропередачи с постоянной скоростью 4 км/час. Через час после выхода 1-й бригады из пункта N выходит 2-я бригада и двигается навстречу 1-й со скоростью 5 км/час. Определить вероятность того, что:

a) 1-я бригада обнаружит место обрыва раньше 2-й;

b) 2-я бригада обнаружит место обрыва раньше 1-й;

3. обе бригады обнаружат место обрыва одновременно.

Предполагается, что место обрыва электрического провода равновозможно любое между пунктами M и N.

Решение.Испытание –

Пример 3.4.Внутрь круга радиусаRнаудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется вписанного в круг: а) квадрата;b) правильного треугольника.

Пример 3.5.Стержень длиныLсм. наудачу ломается в двух местах. Найти вероятность того, что из получившихся трех частей можно составить треугольник.

Решение.Пустьх(см) – длина одной части,у(см) – длина другой части; тогда длина третьей части равнаL – (x + y) (см). Следовательно, любой исход испытания, состоящего в разломе стержня на три части, определяется парой чисел (х, у), удовлетворяющих условиям 0< х <L, 0 < у <L, х+у < L. Иначе говоря, в качестве пространства элементарных исходов Ω, соответствующего рассматриваемому испытанию, можно выбрать следующее множество на плоскости:

.

Пусть событие А состоит в том, что из полученных кусков можно составить треугольник. Для этого необходимо, чтобы сумма длин любых двух кусков была больше длины третьей:

Преобразовав эти неравенства, получим

.

Рис. 3.1.

На рис. 3.1 изображены области Ω и А, которые представляют собой, очевидно, треугольники на плоскости. Тогда по геометрическому определению вероятности

= g

3.6. В одной из игр игрок бросает монету наудачу на поверхность стола, разграфленную параллельными линиями, отстоящими друг от друга на расстоянии 2a. Если монета радиусаr<aне пересечет ни одной из прямых, то игрок получает награду, в противном случае он теряет свою монету. Какова вероятность выигрыша? (Если монета падает со стола, то попытка не считается).

3.7. Та же игра, но теперь стол имеет квадратную сетку со стороной 2аи для выигрыша нужно попасть внутрь квадрата. Каковы шансы выиграть?

3.8. Два парохода должна подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождение причала, если время стоянки 1-го парохода 2 часа, а 2-го – 4 часа.