Бережная_Матметоды моделирования эк cистем

@ — K £ ) — K 5 ) — K 5 ) — 4 5)

Рис. 2.10. Граф состояний системы

Каждый профилактический ремонт успешно заканчивается с вероятностью /7, что равносильно /^-преобразованию потока окон­ чаний ремонтов, после которого он остается пуассоновским, но с интенсивностью/?Л(0. В этом примере мы имеем дело с процессом чистого размножения с ограниченным числом состояний.

2. Уравнения Колмогорова имеют следующий вид:

^^^=рхтт-Р2т

dt

dP^jt) = pX{t){P2(t)-Pi(t)y, dt

dP^jt)dt = pUt)Pi(t).

Начальные условия /'о(О) = 1; Pi(0) = ... = ^4(0) = 0. При по­ стоянной интенсивности X{t) = X и вероятности состояний опреде­ ляются по следующим формулам:

3. Математическое ожидание числа дисков, успешно прошед­ ших профилактику к моменту т, равно:

(=0

где я = 4.

60

Пример 2.6. Рассмотрим производство автомобилей на заводе. Поток производимых автомобилей — нестационарный пуассоновский с интенсивностью X(t). Найдем одномерный закон распределе­ ния случайного процесса X(t) — число выпущенных автомобилей к моменту времени t, если в момент ^ = О начат выпуск автомобилей.

Решение

Очевидно, что здесь процесс чистого размножения без ограни­ чения на число состояний, при этом ЛДО = X(t), так как интенсив­ ность выпуска автомобилей не зависит от того, сколько их уже вы­ пущено. Граф состояний такого процесса показан на рис. 2.11.

@—ц^)- (Q—HJ)—>(Q- (Q—-ц^)—••••

Рис. 2.11. Граф состояний

Одномерный закон распределения случайного процесса X(t) для графа, изображенного на рис. 2.11, определяется следующей систе­ мой уравнений Колмогорова:

Так как число выпущенных автомобилей X(t) на любой фикси­ рованный момент t распределено по закону Пуассона с параметром

a(t) = jX(t)dt,

о

ЩХ{()] = D[X{t)] = a{t).

Рассмотренный в этом примере процесс X{t) называется неодно­ родным процессом Пуассона. Если интенсивность X(t) = Х = const, то

61

получим однородный процесс Пуассона. Для такого процесса при Ро(0) = 1, Л(0) = О (/ > 0)

Характеристиками процесса Пуассона будут

2.4. Моделирование работы подвижного состава с использованием марковских случайных процессов

Представим автомобиль как некоторую систему S с дискретны­ ми состояниями -5*0, Sx, ..., 5„, которая переходит из состояния в состояние под влиянием случайных событий (отказов).

На стадии прогнозирования (планирования) работы автомоби­ ля целесообразно рассматривать следующие состояния, в которых подвижной состав может находиться в процессе эксплуатации и которые характеризуются целодневными простоями:

SQ — исправен, работает;

Si — находится на капитальном ремонте (КР); Si — проходит ТО-2;

1^3 — находится в текущем ремонте (ТР); ^4 — исправен, не работает по организационным причинам (без

водителя, шин, запасных частей); 6*5 - не работает, снятие афегата для отправки на капитальный

ремонт;

S(^ — не работает, списание агрегата, замена на новый;

S-j — исправен, не работает (выходные и праздничные дни); ijg — списывается.

Надо отметить, что в настоящее время вышеперечисленные со­ стояния автомобиля планируются при разработке годовой програм­ мы работы автотранспортного предприятия (АТП), при этом состо­ яния 5з, ^5, iS^ объединяются в одно состояние «находится в ТР».

Для анализа процесса эксплуатации автомобиля как случайно­ го процесса с дискретными состояниями удобно воспользоваться геометрической схемой, так называемым графом состояний (рис. 2.12). Граф состояний изображает возможные состояния авто­ мобиля и его возможные переходы из состояния в состояние.

На рис. 2.12 через Л/,- и \iji обозначены плотности вероятнос­ тей перехода автомобиля из состояния 5/ в состояние 5). Напри-

62

Рис. 2.12. Граф состояний автомобиля

мер, ^03 — плотность вероятности перехода автомобиля из состо­ яния «исправен, работает» в состояние «находится в текущем ре­ монте».

Можно считать, что события, переводящие автомобиль из со­ стояния в состояние, представляют собой потоки событий (напри­ мер, потоки отказов). Если все потоки событий, переводящие сис­ тему (автомобиль) из состояния в состояние, пуассоновские (ста­ ционарные или нестационарные), то процесс, протекающий в сис­ теме, будет марковским, а плотности вероятности перехода Xij в непрерывной цепи Маркова представляют собой интенсивности потока событий, переводящего систему из состояния Si в состоя­ ние Sj. Например, Лоз — интенсивность потока отказов автомоби­ ля, который переводит автомобиль из состояния «исправен, рабо­ тает» в состояние «находится в ТР».

Рассматриваемые состояния автомобиля Sj характеризуются средним числом дней пребывания автомобиля в каждом состоянии Ду Показатели Mj находят отражение в статистической отчетно­ сти автотранспортного предприятия. Отношение

(2.28)

•' Д к '

где Дк — число календарных дней в году.

Д,^ можно трактовать как вероятность нахождения автомобиля ву-м состоянии.

63

Вероятности состояний автомобиля PQ, PI у Р2, ..., Pj, ..., Рп как функции пробега в случае марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем удовлетворяют определен­ ного вида дифференциальным уравнениям (уравнениям Колмого­ рова), записываемым в виде

dP„{L) •.£,XonWPoW< dL

где PfiL) — вероятность нахождения автомобиля в /-м состоянии, / = О, п; XQI(L) — интенсивность перехода автомобиля из нулевого в /-е состоя­

ние, / = 1,л;

)Li^o(L) — интенсивность перехода из /-го в нулевое состояние, /= 1,л-1;

£с — коэффициент, отражающий связь между наработками в днях и километрах пробега (среднесуточный пробег, тыс. км).

Число уравнений в системе (2.29) зависит от числа состояний автомобиля. Вероятность нахождения автомобиля в состоянии «ис- правен-работает» PQ(L) представляет собой коэффициент выпуска аД£), а сумма вероятностей PQ(L) + Р4Щ + Р7Щ = ^тг(^) ~ коэф­ фициент технической готовности автомобиля.

Поскольку большинство интенсивностей перехода зависят от пробега, то решение системы (2.29) производится с помощью ме­ тодов численного интегрирования, например метода Рунге-Кутта, Необходимо учесть, что для расчета производственной програм­ мы АТП требуется зачастую определять показатели работы группы автомобршей определенной модели у-го возраста (коэффициент вы­

пуска и годовой пробег автомобиля у-й возрастной группы).

Для описания процесса функционирования группы автомоби­ лей может быть использован метод динамики средних. Этот метод вытекает из теории марковских случайных процессов. Удобство его заключается в том, что, зная возможные состояния одного (услов­ ного) автомобиля, можно моделировать процесс функционирова­ ния группы из любого числа автомобилей.

Схема, изображающая процесс работы условного автомобиля определенной модели, аналогична схеме рис. 2.12, лишь с той раз­ ницей, что через Х^у и Цу/ обозначены средние интенсивности пото-

64

ков событий, переводящих автомобиль из состояния iS", в состояние Sj, и наоборот. При этом каждое состояние характеризуется средней численностью автомобилей Nj(t), находящихся в нем в момент вре­ мени t. Очевидно, что для любого t сумма численностей всех состо­ яний равна общей численности автомобилей исследуемой фуппы:

Величина Nj(t) для любого t представляет собой случайную ве­ личину, а при меняющемся t — случайную функцию времени.

Зная граф состояний (рис. 2.12) и соответствующие интенсив­ ности перехода Ху и ц^, определим средние численности автомоби­ лей Щ(Ь), Ni(L), N2(L), ... , Щ{Ь) как функции пробега L.

Согласно графу состояний (рис. 2.12) система дифференциаль­ ных уравнений для средних численностей состояний запишется следующим образом:

^^^^ = -ec-No(L)[Xoy(L)+Xo2(L) + Xo3(L) + h4(L) + Xo5(L) +

+ Яоб(Х) + XojiL) + XosiL)] + HJO(X) • Ni(L) + Ц2о(^) ' Щ^^) +

+ ii^oiD • N^iL) + Ц4о(1) • N,(L) + Ц5О(Х) NsiL) + ^l6o(i) • Л^б(^) +

^^^^= i,.NQ{L)-XQ^{L)-v.bQ{L)-N^{Ly,

^^^^= e,-NQ{L)-XQ(,(L)-Vi(,Q(L)-N^(Ly

^^^^= e,-No(L)-Xoy(L)-^yo(L).NjiLy

^^^^= e,NoiL)-XQ^(L).

65

Отношение NQ(L)/N равно коэффициенту выпуска автомоби­ лей определенной модели на пробеге L с начала их эксплуатации, а отношение [Л'о(^) "^ ^4(^) + ^^{Щ/М ~ коэффициенту техниче­ ской готовности автомобилей.

Докажем, что формулы для определения коэффициентов техни­ ческой готовности (/с^-р), выпуска подвижного состава {а^ являются частным случаем, соответствующим стационарному решению систе­ мы уравнений (2.30), описывающей функционирование автопарка.

Для расчета средней численности автомобилей, находящихся в исправном состоянии, можно предварительно объединить состояния Si, ^5, S(^ в одно состояние: «исправен» — 5/. Тогда фаф состояний условного автомобиля примет вид, представленный на рис. 2.13.

Рис. 2.13. Граф состояний условного автомобиля

Система дифференциальных уравнений для средних численностей подвижного состава запишется следующим образом:

dNi Ц) = --^,(Xi2W + Xi3W + Xi4W)-A^i W+jii2lW'^2W +

d£

d£

66

Положим левые части уравнений равными нулю, получим сис­ тему алгебраических уравнений для средних численностей состоя­ ний автопарка, работающего в стационарном режиме:

o=~^iзlЛ^з+^ЛзЛ^/

Р е ш и м систему алгебраических уравнений с учетом так называ­ емого нормировочного условия:

1^21 J*3lJ Л^1 . Подставляя в первое уравнение (2.32), получим:

67

Разделим полученное уравнение на [x^ii

Последнее уравнение можно записать следующим образом:

где ^12, ^13, ^14 — интенсивности перехода автомобиля в состояния «тех­ ническое обслуживание», «текущий ремонт», «капиталь­ ный ремонт» соответственно, отк/тыс. км;

|i2i, Цз1> ^^41"~ интенсивности восстановления, равные обратным сред­ ним величинам продолжительности соответствующих ремонтных воздействий технического обслуживания (ТО-2), текущего ремонта (ТР), капитального ремонта (КР), отк/день.

Отношение

Таким образом, ^JL^^i — удельная величина, характеризую-

щая количество дней в у-м состоянии (ТО-2, ТР, КР) на 1 тыс. км пробега. Тогда формулу (2,37) можно записать в виде:

Очевидно, формула (2.38) есть частный случай, соответствую­ щий стационарному режиму работы автомобиля, который является решением системы алгебраических уравнений.

68

Рассмотрим все потоки событий, переводящие условный авто­ мобиль из состояния в состояние. Характер потока отказов автомо­ биля, переводящего условный автомобиль из состояния «исправен, работает» в состояние «находится в текущем ремонте», не изменя­ ется. При определении его величины учитывается возрастная струк­ тура автомобилей данной модели.

Наработка до первого капитального ремонта автомобиля под­ чиняется нормальному закону распределения с коэффициентом ва­ риации 0,1-0,33. Вместе с тем следует отметить значительное абсо­ лютное рассеивание пробегов до первого капитального ремонта ав­ томобиля в исследуемых группах подвижного состава. Размах меж­ ду минимальным и максимальным пробегами может составить пробег, примерно равный среднему пробегу до первого капиталь­ ного ремонта этих автомобилей.

Таким образом, поток событий, который переводит автомобиль в состояние «капитальный ремонт», протекает на значительном ин­ тервале пробега. В этом потоке интенсивность XQI(L) (среднее чис­ ло событий в единицу пробега) зависит от пробега, т. е. поток яв­ ляется нестационарным.

Очеввдно, на малом интервале пробега автомобиля (1—2 тыс. км) интенсивность XQI(L) меняется сравнительно медленно. В этом слу­ чае закон распределения наработки до капитального ремонта мож­ но приближенно считать показательным, а интенсивность AQJ при­ нимать равной среднему значению Xoi(i) на этом интервале. Ана­ логичные утверждения справедливы относительно потоков отка­ зов, переводящих условный автомобиль в состояния «капитальный ремонт агрегата» и «списание агрегата».

Общий поток отказов, связанный с попаданием автомобилей исследуемой группы в ТО-2, получается путем наложения (супер­ позиции) потоков «ТО-2» этих автомобилей. Как показывают рас­ четы, распределение интервала пробега между событиями в этом потоке подчиняется показательному закону. При этом поток «ТО-2» всех исследуемых автомобилей является пуассоновским.

Образ потока отказов, связанного со списанием автомобиля, является условным. Действительно, если автомобиль отказывает в тот момент, когда происходит первое событие данного потока, то совершенно все равно, продолжается после этого поток отказов или прекращается: судьба автомобиля от этого уже не зависит. В случае когда элемент (автомобиль) не подлежит восстановлению, поток отказов является пуассоновским.

Поток отказов автомобиля, связанный со списанием, является нестационарным, так как пробег до списания подвижного состава подчиняется закону распределения, отличному от показательного. Очевидно, на малом интервале пробега автомобиля (1—2 тыс. км)

69