Бережная_Матметоды моделирования эк cистем
.pdfS=i{yi-yif-^mm, |
(6.31) |
/=i
где Pi — расчетные (теоретические) значения исходного ряда; У1 - фактические значения исходного ряда; п — число наблюдений.
Классический метод наименьших квадратов предполагает рав ноценность исходной информации в модели. В реальной же прак тике будущее поведение процесса в большей степени определяется поздними наблюдениями, чем ранними. Речь идет о дисконтирова нии, т. е. уменьшении ценности более ранней информации.
Дисконтирование учитывают путем введения в модель (6.31) некоторых весов Р/ < 1. Тогда
^=EP/(J^/->'/) ->niin.
/=i
Коэффициенты Р/ могут быть заданы в числовой форме или в виде функциональной зависимости таким образом, чтобы по мере продвижения в прошлое веса убывали.
Метод наименьших квадратов широко применяется при про гнозировании, что объясняется его простотой и легкостью реализа ции на ЭВМ. К недостаткам МНК можно отнести следующее.
Во-первых, модель тренда жестко фиксируется, и с помощью МНК можно получить прогноз на небольшой период упреждения. Поэтому МНК относят к методам краткосрочного прогнозирова ния.
Во-вторых, значительную трудность представляет правильный выбор вида модели, а также обоснование и выбор весов во взве шенном методе наименьших квадратов.
Наконец, МНК очень просто реализуется только для линейных и линеаризуемых зависимостей, когда для получения оценок коэф фициентов моделей решается система линейных уравнений. Задача значительно усложняется, если для прогноза используется функци ональная зависимость, не сводимая к линейной.
Метод экспоненциального сглаживания является эффективным и надежным методом среднесрочного прогнозирования.
Здесь следует остановиться более подробно на учете важности ретроспективной информации.
Практически большее значение для построения прогноза име ет информация, описывающая процесс в моменты времени, стоя щие ближе к настоящему (нулевому) моменту времени. Чем даль ше мы углубляемся в ретроспекцию, тем менее ценной для прогно-
170
за становится информация. Это можно учесть, придавая членам исходного динамического ряда некоторые веса, тем большие, чем ближе находится точка к началу периода прогноза.
Это положение лежит в основе метода экспоненциального сгла живания. Сущность метода заключается в сглаживании исходного динамического ряда взвешенной скользящей средней, веса которой (со,) подчиняются экспоненциальному закону (рис. 6.1).
W |
1.0 |
0,5
—,— |
Т |
1—: |
1— |
tn |
|
|
fo-2 |
^0-1 ^0 |
Рис. 6.1. Коэффициент экспоненциального сглаживания
Пусть исходный динамический ряд описывается полиномом следующего вида:
|
yt=b,^t^t4...^^t''^t,= |
i^tUe„ |
(6.32) |
где ^0» ^ь h* —> ^р "" коэффициенты; |
|
|
|
р |
— порядок полинома; |
|
|
е, |
~ случайная ошибка. |
|
|
Метод экспоненциального сглаживания позволяет построить такое описание процесса (6.32), при котором более поздним на блюдениям придаются большие веса по сравнению с ранними на блюдениями, причем веса наблюдений убывают по экспоненте.
171
Выражение
sl'\y)-aY^(l'-aysl'_:['\y) (6.33)
называется экспоненциальной средней к-го порядка для ряда у^, где а
-параметр сглаживания.
Врасчетах экспоненциальную среднюю определяют, пользуясь рекуррентной формулой, полученной Брауном:
S}%) = а5/^-^^ (у) + (1 - a)5,JfJ(y). |
(6.34) |
Использование соотношения (6.34) предполагает задание на чальных условий SQ^^\ SQ^'^\ SQ^^K которые могут быть определены по формуле Брауна—Мейера:
sP(y)= i |
(-1)^ A . ^ i z ^ . |
£ y.(i_a)v(£zi±i)l, (6.35) |
|
p=Q |
P^' {k-iy. |
y=o |
y' |
где /7 = 1,2, ..., n + |
1; |
|
|
b — оценки коэффициентов.
Оценки коэффициентов прогнозирующего полинома определя ют через экспоненциальные средние по фундаментальной теореме Брауна-Мейера. В этом случае коэффициенты bj находят решени ем системы (р — 1) уравнений с (р + 1) неизвестными, связываю щей параметры полинома с исходной информацией.
Рассмотрим применение метода экспоненциального сглажива ния для двух наиболее употребительных случаев, когда тренд опи сывается линейной функцией и параболой.
Линейная модель Брауна
у^ = 6о + *1^ + Ч |
(6.36) |
Начальные приближения для случая линейного тренда равны (по формуле (6.35)):
экспоненциальная средняя 1-го порядка:
S^\y) = b,-'-^b,- |
(6.37) |
экспоненциальная средняя 2-го порядка:
S^M = b,-^b,. |
(6.38) |
172
Зная начальные условия S(}^^ и 5о'^' и значение параметра а,
вычисляют экспоненциальные средние 1-го и 2-го порядка: |
|
||||||
Syb) |
= ay, + (1 - |
a)S,jP(y); |
|
(6.39) |
|||
S}^^(y) = ai'/'l + (1 - a)5,jf'(у). |
|
(6.40) |
|||||
Оценки коэффициентов линейного тренда: |
|
|
|
||||
|
bo = 25/"(у) - |
i-Z^V); |
|
|
(6.41) |
||
|
й,=у^[5'1Ч(>')-^Р(>')]. |
|
|
(6.42) |
|||
|
|
|
|
|
л |
А |
|
Прогноз на / шагов (на время /j) равен: У( = bQ -^ bi - t. |
|
||||||
Ошибка прогноза |
|
|
|
|
|
|
|
G = c^^ 1—^^[1+4(1-а) + 5(1-а)^+2а(4~ЗаУ^+2а^/Я- |
(6.43) |
||||||
Параболический тренд |
|
|
|
|
|
||
|
yr = bo+b,t+^b2t^+E,. |
|
|
(6.44) |
|||
Начальные приближения |
|
|
|
|
|
||
[1] |
|
1-а^ |
. (1~а)(2-а)^ ^ |
|
(6.45) |
||
^Уй (>') = *0—Г~*1"^ |
2 |
*2; |
|
||||
еИлл |
А |
2(1~а) |
|
(1-а)(3-2а) |
|
|
|
|
|
« |
|
2а^ |
|
|
|
е[31/,л |
А |
3(1-а) |
|
(1-а)(4-За) |
|
|
|
|
|
^ |
|
2а^ |
|
|
|
Экспоненциальные средние |
|
|
|
|
|
||
^/^^(У) = ау, + (1 - |
a)5,J/^(y); |
|
|
(6.48) |
|||
S.^^b) |
= а5/^^ (у) + (1 ~ a)5,j?^(;;); |
|
(6.49) |
||||
sP^iy) |
= а5/2^ (у) + (1 ~ a)S,^p(y), |
|
(6.50) |
||||
Оценки коэффициентов параболической зависимости для тренда
173
Z»o = 3[^/"0') - SPm |
+ SP(yy, |
(6.51) |
61 =—^Ц-Г(6-5a)5^Ч(y)-2(5-4a)^P(y)+(4-Зa)5•P(y)l; |
(6.52) |
|
(1-a) •- |
-• |
|
^ = ^ ^ [ ' ^ " ' ( > ' ) - 2 ' 5 Р ' ( > ' ) + ' У Р ' Ц |
(6.53) |
|
Прогноз на момент /j |
|
|
Ошибка прогноза
G*y = Qg^ д/2а + 3a^ +3a^/i. |
(6-55) |
Для метода экспоненциального сглаживания основным и наи более трудным моментом является выбор параметра сглаживания а, начальных условий и степени прогнозирующего полинома.
Параметр сглаживания а определяет оценки коэффициентов модели, а следовательно, результаты прогноза.
В зависимости от величины параметра прогнозные оценки поразному учитывают влияние исходного рада наблюдений: чем боль ше а, тем больше вклад последних наблюдений в формирование тренда, а влияние начальных условий убывает быстро. При малом а прогнозные оценки учитывают все наблюдения, при этом умень шение влияния более ранней информации происходит медленно.
Для приближенной оценки а известны два основных соотно шения:
•соотношение Брауна, выведенное из условия равенства скользя щей и экспоненциальной средней
а = - ^ , |
(6.56) |
Л^ + 1'
где N — число точек ряда, для которых динамика рада считается однород ной и устойчивой (число точек в интервале сглаживания).
Иногда а = —-> |
где п - число наблюдений (точек) в ретро- |
л + 1 |
|
спективном динамическом раду;
174
соотношение Мейера
а^^, |
(6.57) |
где а^ — средняя квадратическая ошибка модели;
Gg — средняя квадратическая ошибка исходного ряда.
Однако достоверно определить а,, и а^ из исходной информа ции очень сложно, поэтому использование соотношения (6.57) за труднено.
Очевидно, что выбор параметра а нужно связывать с точностью прогноза, поэтому для более обоснованного выбора а можно ис пользовать процедуру обобщенного сглаживания.
В этом случае получаются следующие соотношения, связываю щие дисперсию прогноза о^^ и параметр сглаживания а:
для линейной модели
о? = |
а |
l + 4P + 5p42a(l + 3|3)T + 2 a V с^е, |
(6.58) |
|
,^ ^^2 |
||||
XT |
1 |
|
||
|
(1 + РГ |
|
|
|
для квадратичной модели |
|
|||
|
a^j^^ = [2а + За^ + За^т]а£^ |
(6.59) |
||
где Р = 1 - а;
т — период прогноза;
Gg — средняя квадратическая ошибка аппроксимации исходного дина мического ряда.
При а = О выражения, стоящие в правых частях формул (6.58), (6.59), обращаются в нуль, следовательно, для уменьшения ошибки прогноза необходимо выбирать минимальное а.
В то же время, чем меньше а, тем ниже точность определения начальных условий, а следовательно, ухудшается и качество про гноза.
Таким образом, использование формул (6.58), (6.59) приводит к противоречию при определении параметра сглаживания. В ряде случаев параметр а выбирают так, чтобы минимизировать ошибку прогноза, рассчитанного по ретроспективной информации.
Качество прогноза во многом зависит от выбора порядка про гнозирующего полинома. Известно, что превышение второго по рядка модели не приводит к существенному увеличению точности прогноза, но значительно усложняет расчет.
Отметим в заключение, что метод экспоненциального сглажи вания является одним из наиболее эффективных, надежных и ши-
175
роко применяемых методов прогнозирования. Он позволяет полу чить оценку параметров тренда, характеризующих не средний уро вень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения, и при этом отличается простотой вычислительных операций.
Пример 6.5. Пусть задан временной ряду{.
Год |
1997 |
1998 |
|
1999 |
2000 |
||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
1 |
У/ |
40 |
|
43 |
|
46 |
48 |
|
Можно считать, что аппроксимирующая функция (тренд) опи |
|||||||
сывается линейной функцией (рис. 6.2). |
|
|
|
||||
Yt |
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
35 |
-н |
-ь |
н- |
-н |
-+- |
|
|
0 |
t |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
Рис. 6.2. Динамика изменения показателя yj |
|
|
||||
|
|
Расчетная таблица |
|
Таблица 6.3 |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
Факти |
|
Расчетные значения |
|
||
Год |
Период, / |
ческое |
|
|
У = 37,5 + |
|
|
значение |
/2 |
^У, |
^У=У-У1 |
||||
|
|
У, |
|
|
+ 2,7 • / |
|
|
1997 |
1 |
40 |
1 |
40 |
40,2 |
0,2 |
|
1998 |
2 |
43 |
4 |
86 |
42,9 |
-0,1 |
|
1999 |
3 |
46 |
9 |
138 |
45,6. |
-0,4 |
|
2000 |
4 |
48 |
16 |
192 |
48,3 |
.0,3 |
|
Итого |
10 |
177 |
30 |
456 |
~ |
- |
|
176
1. Определим коэффициенты прямой у = ао + а^^ по методу на именьших квадратов. Для этого вычислим ряд промежуточных зна чений и их суммы. Результаты занесем в табл. 6.3.
Далее найдем
/)о = |
|
4 10 |
= 120-100 = 20; |
|
|
10 30 |
|
|
|
А = |
= |
177 |
10, |
= 750; |
456 30 |
||||
4177 1
А= 10 4561= 54;
оо . A = Z^ = 37,5;
^0 20
Di 54 ^ ^ ^ ^ = ^ = 20 = 2''-
Окончательно уравнение прямой имеет вид
у = 37,5 + 2,7/.
Подставив в него значения / = 1, 2, 3, 4, получим расчетные значения тренда (табл. 6.3).
Основная ошибка
0,24 (-0,1)4 (-0,4)2+0,3^ = 0,3.
2.Параметр сглаживания
а= N + \ 4 + 1= 0,4.
3.Начальные условия
^т^37,5- |
1-0,4 |
2,7 = 33,45; |
|
0,4 |
|
177
^И.3 7. 5-2<ЬМ. 2,7 = 29,4.
4.Для / = 2 вычислим экспоненциальные средние: ^-з^] = 0,4 • 40 + 0,6 • 33,45 = 36; ^•j'^' = 0,4 • 36 + 0,6 • 29,4 = 32;
значения коэффициентов:
До = 2 • 36 - 32 = 40,
0.4
ai=:1-0,4 (36-32) = 2,6; прогнозируемые значения:
j'j = 40 + 2,6 • 1 = 42,6; отклонения от фактического значения:
АУ2 = 42,6 - 43 = -0,4. Аналогичные вычисления выполним для / = 3,
/ = 4, / = 5. Результаты представим в табл. 6.4.
Таблица 6.4
Ъшовая таблица для построения прогаоза по методу экспоненциального сглаживания
|
|
Факти |
|
|
Расчетные значения |
|
1 |
||||
Год |
Период, t |
ческое |
|
5/21 |
йо |
л |
* |
|
|
|
|
значение |
S}'^ |
А / |
==у* -У(\ |
||||||||
|
|
Й1 |
Уг |
||||||||
|
|
У1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1997 |
1 |
40 |
|
|
|
|
|
|
-0,4 |
|
|
1998 |
2 |
43 |
36 |
32 |
40 |
2,6 |
42,6 |
|
|
||
1999 |
3 |
46 |
38,6 |
34,6 |
42,6 |
2,7 |
45,3 |
|
-0,7 |
|
|
2000 |
4 |
48 |
41,6 |
37,4 |
45,8 |
2,8 |
48,6 |
|
0,6 |
1 |
|
2001 |
£= 1 |
- |
44,2 |
40,1 |
48,3 |
2,7 |
51 |
|
- |
||
178
Для t = 3:
53I4 = 0,4 • 43 + 0,6 • 33 = 38,6; 5з'^' = 0,4 • 38,6 + 0,6 • 32 = 34,6; flo = 42,6; а, = 2,7;
У2 = 42,6 + 2,7 • 1 = 45,3; Д / = - 0,7.
Для / = 4:
5'/'' = 0,4 • 46 + 0,6 • 38,6 = 41,6; 5'4'^1 = 0,4 • 41,6 + 0,6 • 34,6 = 37,4; ао = 45,8; а, = 2,8; ^4 = 45,8 + 2,8 • 1 = 48,6; Ау; = 0,6.
Для построения модели прогноза (^ = 1) определим
^5''^ = 0,4 • 48 + 0,6 • 41,6 = 44,2; 55'21 = 0,4 • 44,2 + 0,6 • 37,4 = 40,1; flo = 48,3; а, = 2,7.
Окончательная модель прогноза имеет вид
y,+f = 48,3 + 2,7 • е,
где ^=1,2, ... (что соответствует Г = 5, / = 6 и т. д.).
Ошибка прогноза
а . =0,3 к 4 [ 1 + 40,6+500,бЧ0,8-2,81+0,3212]=0,30,87 = 0,46.
Е. Выбор математической модели прогнозирования.
Выбор моделей прогнозирования базируется на оценке их каче ства. Независимо от метода оценки параметров моделей экстрапо ляции (прогнозирования) их качество определяется на основе ис следования свойств остаточной компоненты: (у,- — j',.,), / = 1,л, т. е. величины расхождений на участке аппроксимации (построения мо дели) между фактическими уровнями и их расчетными значениями.
179