Бережная_Матметоды моделирования эк cистем

Качество модели определяется ее адекватностью исследуемому процессу и точностью. Адекватность характеризуется наличием и учетом определенных статистических свойств, а точность — степе­ нью близости к фактическим данным. Модель прогнозирования будет считаться лучшей со статистической точки зрения, если она является адекватной и более точно описывает исходный динамиче­ ский ряд.

Модель прогнозирования считается адекватной, если она учи­ тывает существенную закономерность исследуемого процесса. В ином случае ее нельзя применять для анализа и прогнозирования.

Закономерность исследуемого процесса находит отражение в наличии определенных статистических свойств остаточной компо­ ненты, а именно: независимости уровней, их случайности, соответ­ ствия нормальному закону распределения и равенства нулю сред­ ней ошибки.

Независимость остаточной компоненты означает отсутствие ав­ токорреляции между остатками (у^ — у^^).

Перечислим последствия, вызываемые автокорреляцией ос­ татков^:

1)недооценка дисперсии остатков функции регрессии;

2)наличие ошибки при оценке выборочной дисперсии параме­ тров регрессии.

Ошибки в вычислении дисперсий — препятствие к корректно­ му применению метода наименьших квадратов при построении мо­ дели исходного динамического ряда.

Очевидно, важно иметь критерий, позволяющий устанавливать наличие автокорреляции. Таким критерием является критерий Дар­ вина—Уотсона, в соответствии с которым вычисляется статистика d:

'=1

где yf, з'/-! - уровни фактического динамического ряда;

Л/» Ут1-1 - теоретические (прогнозные) уровни динамического ряда;

п— объем выборки.

Возможные значения статистики лежат в интервале О < d < 4. Согласно методу Дарбина и Уотсона существует верхний dg и ниж-

' См.: Ферстер Э., Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа. — М.: Финансы и статистика, 1983.

180

НИИ cf„ пределы значений статистики d. Эти критические значения зависят от уровня значимости а, объема выборки п и числа объяс­ няющих переменных т (для трендовых моделей /w = 1). В прило­ жении 4 приведены значения Jg и d^ для 5 %-го уровня значимос­ ти при п от 15 до 100 и числе объясняющих переменных от 1 до 5.

Вычисленное по (6.60) значение d сравнивается сrfgи rf„, най­ денными по приложению 4. При этом руководствуются следующи­ ми правилами:

Критерий Дарбина-Уотсона обладает двумя недостатками. Пер­ вый из них — наличие области неопределенности, в которой с по­ мощью данного критерия нельзя прийти ни к какому решению. Второй недостаток заключается в том, что при объеме выборки меньше 15 для d не существует критических значений Й?„ и d^. В этом случае для оценки независимости уровней ряда можно ис­ пользовать коэффициент автокорреляции Гд. Данный показатель приближенно можно вычислить по формуле

где d — статистика Дарбина-Уотсона.

Расчетное значение г^ сравнивают с табличным r^j (приложе­ ние 3). Критическое значение коэффициента автокорреляции r^j имеет одну степень свободы,т. е. / = п. Если г^ < г^, то уровни динамического ряда независимы.

Для проверки случайности уровней ряда можно использовать критерий поворотных точек, который называется также критери­ ем «пиков» и «впадин». В соответствии с этим критерием каждый уровень ряда сравнивается с двумя соединенными с ним. Если он больше или меньше их, то эта точка считается поворотной. Далее подсчитывается сумма поворотных точек К.

В случайном ряду чисел должно выполняться строгое нера­ венство:

181

Соответствие рада остатков нормальному закону распределения важно с точки зрения правомерности построения интервалов про­ гноза. Основными свойствами рада остатков являются их симмет­ ричность относительно тренда и преобладание малых по абсолютной величине ошибок над большими. В этой связи определяется бли­

зость к соответствующим параметрам нормального закона распреде­ ления коэффициентов асимметрии ~ А^ (мера «скошенности») и эксцесса — Э}^ (мера «скученности») наблюдений около модели, т. е.

Если эти коэффициенты близки к нулю или равны нулю, то рад остатков распределен в соответствии с нормальным законом. Для оценки степени их близости к нулю вычисляют средние квадратические отклонения:

(6.65)

124/|(/|-2)(л-3)

^^(n+lf(n+3)(n+5)'

Если выполняются соотношения:

Ш ^ h5S„

182

то считается, что распределение ряда остатков не противоречит нормальному закону В случае когда

\Ас\ > 25"^ или |5;tl > 25'з,

то распределение ряда не соответствует нормальному закону рас­ пределения, и построение доверительных интервалов прогноза не­ правомочно. В случае попадания А^и Э/^в зону неопределенности (между полутора и двумя среднеквадратическими отклонениями) может быть использован 7?5-критерий:

где ^тах"" максимальный уровень ряда остатков (у/ — у^/), / = 1,л; ^пйп "~ минимальный уровень ряда остатков (у/ — yj^, / = 1, л; S — среднее квадратическое отклонение остатков.

Если значение этого критерия попадает между табулированны­ ми границами с заданным уровнем значимости (приложение 5), то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков прини­ мается.

Равенство нулю средней ошибки (математическое ожидание, случайной последовательности) проверяют с помощью /-критерия Стьюдента:

Гипотеза равенства нулю средней ошибки отклоняется, если tp больше табличного уровня /-критерия с/| = (« — !) степенями сво­ боды и выбранным уровнем значимости а (приложение 1).

После проверки всех моделей прогнозирования из выбранно­ го массива на адекватность необходимо выполнить оценку их точ­ ности.

В статистическом анализе известно большое число характерис­ тик точности'.

Наиболее часто в практической работе встречаются следующие характеристики.

' Чуев Ю. В., Михайлов Ю. Б., Кузьмин В. И. Прогнозирование количе­ ственных характеристик процессов. - М.: Советское радио, 1975.

183

1. Оценка стандартной ошибки:

l[yi-f(Xi)]

где и — число наблюдений;

р— число определяемых коэффициентов модели.

2.Средняя относительная ошибка оценки

••100%. (6.69)

3. Среднее линейное отклонение

(6.70)

4. Ширина доверительного интервала в точке прогноза.

Для получения данной статистической оценки определим дове­ рительный интервал в прогнозируемом периоде, т.е. возможные от­ клонения прогноза от основной тенденции протекания рассматри­ ваемого процесса. Для решения этой задачи построим интерваль­ ные оценки параметров рефессии UQH ai в формах:

Здесь серединами интервалов являются точечные оценки GQ И й], рассчитанные с помощью метода наименьших квадратов. Вели­ чина tp — теоретическое значение критерия Стьюдента при уровне значимости, равном 5%, и числе степеней свободы, равном К] = л — m — 1 (приложение 1).

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии а^ и а^ вы­ числяются по следующим формулам:

% = 1

(6.72)

<Уа,= т

S(^/-^)Т7Ч2

184

Несмещенная оценка дисперсии случайной составляющей

где X/, У1 — фактические значения динамических рядов х и у;

у^( — теоретическое значение, рассчитанное по уравнению регрессии; JC — среднее значение фактора х.

Верхняя Y^ и нижняя Y" границы доверительного интервала в точке прогноза будут равны:

(6.74)

где a(f; QQ — верхнее и нижнее значения параметра GQ модели прогноза; Oi^; Qi — верхнее и нижнее значения параметра Oi модели прогноза; х„ — значение фактора времени в точке прогноза.

Надо отметить, что ширина доверительного интервала зависит:

•от числа степеней свободы и тем самым от объема выборки,

те. чем больше объем выборки, тем меньше (при прочих равных условиях) значение критерия t и, следовательно, уже доверитель­ ный интервал;

•от величины стандартной ошибки оценки параметра регрес­ сии (a^j и а^^). Чем меньше а^^ и а^^, тем меньше при равных ус­ ловиях ширина доверительного интервала.

Лучшей по точности считается та модель, у которой все пере­ численные характеристики имеют меньшую величину. Однако эти показатели по-разному отражают степень точности модели и поэтому нередко дают противоречивые выводы. Для однозначно­ го выбора лучшей модели исследователь должен воспользоваться либо одним основным показателем, либо обобщенным крите­ рием.

Итогом работ по выбору вида математической модели прогно­ за является формирование ее обобщенных характеристик. В обоб­ щенную характеристику должны быть включены вид уравнения регрессии, значения его параметров, оценки точности и адекват­ ности модели и сами прогнозные оценки, точечные и интер­ вальные.

185

6.4. Прогнозирование на основе временных рядов с использованием пакета программ для персональных ЭВМ

Как видно из вышеизложенного, вычислительные процедуры рассмотренных методов прогнозирования громоздки и трудоемки. Задача исследователя значительно облегчается при использова­ нии пакета прикладных программ для ПЭВМ, в основу которых положены рассмотренные в подразд. 6.3 алгоритмы прогнозиро­ вания методами наименьших квадратов и экспоненциального сглаживания.

Исходная информация предоставляется в виде временного ря­ да значений прогнозируемого показателя у^, где ^ = 1, 2, 3, ..., N.

Прогноз осуществляется по специально подобранной зависимо­ сти на ^ шагов вперед, т. е. определяется y^+i, где ^ = 1, 2, 3..., М.

Программы используют следующие виды прогнозов:

•экстраполяцию с использованием 16 двухпараметрических за­ висимостей;

•экспоненциальное сглаживание;

•комбинированный прогноз, включающий прогнозы на осно­ ве экстраполяции и экспоненциального сглаживания.

Прогноз с использованием метода экстраполяции. Прогноз осу­ ществляется по одной из моделей, приведенных в табл. 6.2. Пара­ метры моделей определяются с использованием метода наимень­ ших квадратов. Для каждой модели рассчитывается корреляцион­ ное отношение. По максимальной величине корреляционного от­ ношения производится выбор модели при комбинированном прогнозе.

Прогноз с использованием экспоненциального сглаживания. Про­ гноз осуществляется по линейным и параболическим зависимос­ тям. Параметры моделей рассчитываются по формулам, предло­ женным Брауном. Выбор параметра сглаживания а производится в пределах от 0,1 до 0,9 с шагом 0,1. При комбинированном прогно­ зе выбор параметра производится по формуле а = 2/(N + 1), где Л^ — число точек временного ряда.

Комбинированный прогноз. Комбинированный прогноз включа­ ет следующие этапы:

•оценку принадлежности вариантов прогноза к одной сово­ купности с использованием критериев Фишера и Стьюдента;

•определение весовых коэффициентов ц^, ixj,

186

РАЗДЕЛ II

Оптимизационные методы и модели в управлении экономическими системами

Глава 7 Линейное программирование

Оптимизационная задача - это экономико-математическая за­ дача, которая состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

В самом общем виде задача математически записывается так:

Для того чтобы решить задачу оптимизации, достаточно найти ее оптимальное решение, т. е. указать XQ е И^такое, 4TOJ{XQ) > ДА) при любом XG IV, или для случая минимизации — Л-^о) -Л^ при любом X е W,

Оптимизационная задача является неразрешимой, если она не имеет оптимального решения. В частности, задача максимизации будет неразрешима, если целевая функция ДА) не ограничена свер­ ху на допустимом множестве W.

Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида целевой функции ДА), так и от строения допустимого множества W, Если целевая функция в задаче является функцией п перемен­ ных, то методы решения называют методами математического про­ граммирования.

В математическом программировании принято вьщелять следу­ ющие основные задачи в зависимости от вида целевой функции f(X) и от области W:

188

• задачи линейного программирования, если ДА) и fFлинейны;

• задачи целочисленного программирования, если ставится ус­ ловие целочисленности переменных jc^, Х2, ..., х„;

• задачи нелинейного программирования, если форма У(А) но­ сит нелинейный характер.

7.1. Задачи линейного программирования

Задачей линейного программирования называется задача исследо­ вания операций, математическая модель которой имеет вид:

При этом система линейных уравнений (7.3) и неравенств (7.4), (7.5), определяющая допустимое множество решений задачи JV, на­ зывается системой ограничений задачи линейного программирования,

а линейная функция f{X) называется целевой функцией, или крите­ рием оптимальности.

В частном случае, если / = 0, то система (7.3) - (7.4) состоит только из линейных неравенств, а если / = Л/, то — из линейных уравнений.

Если математическая модель задачи линейного программирова­ ния имеет вид:

то говорят, что задача представлена в канонической форме.

189