Бережная_Матметоды моделирования эк cистем

(s^)^^@^=^(^)^::::^=*(7^

Рис. 3.2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схема гибели и размножения)

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию: ^0 — канал свободен;

Si — канал занят (очереди нет);

S2 — канал занят (одна заявка стоит в очереди);

S^ - канал занят (п — I заявок стоит в очереди);

Sj^ — канал занят (N — I заявок стоит в очереди). Стационарный процесс в данной системе будет описываться

следующей системой алгебраических уравнений:

X

где p = '--;

n ~ номер состояния.

Решение приведенной выше системы уравнений (3.10) для на­ шей модели СМО имеет вид

90

Следует отметить, что выполнение условия стационарности р = —<1 для данной СМО необязательно, поскольку число допу-

скаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превы­ шать N — 1), а не соотношением между интенсивностями входно­ го потока, т. е. не отношением Л/Ц ^ Р-

Определим характеристики одноканалъной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (Л^— 1):

вероятность отказа в обслуживании заявки:

абсолютная пропускная способность:

(3.15)

среднее число находящихся в системе заявок:

91

среднее время пребывания заявки в системе:

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

Lq^X{\^P^)Wq. (3.19)

Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием. Пример 3.2. Специализированный пост диагностики пред­

ставляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомо­ билей, ожидающих проведения диагностики, ограничено и равно 3 [(Л'^ — 1) = 3]. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже нахо­ дится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток ав­ томобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность X = 0,85 (автомобиля в час). Вре­ мя диагностики автомобиля распределено по показательному зако­ ну и в среднем равно 1,05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики поста ди­ агностики, работающего в стационарном режиме.

Решение

1.Параметр потока обслуживании автомобилей:

2.Приведенная интенсивность потока автомобилей определя­

ется как отношение интенсивностей Л и ц, т. е.

^ ц 0,952 ' 3. Вычислим финальные вероятности системы:

92

Р, = PPQ = 0,893 • 0,248 = 0,221 Л = Р^^о= 0.893^ • 0,248 = 0,198 Рз = Р^Ро= 0,893^ • 0,248 = 0,177 Р4 = р''Ро= 0,893^* • 0,248 = 0,158.

4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

^агк = ^4 = Р Ч « 0.158.

5. Относительная пропускная способность поста диагностики:

« = 1 - ^отк = 1 - 0.158 = 0,842.

6.Абсолютная пропускная способность поста диагностики

А= Х- д = 0,85 • 0,842 = 0,716 (автомобиля в час).

7.Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании

ив очереди (те. в системе массового обслуживания):

1-(Л^ + 1)р^+Л^р^+'

(1-р)(1-р^+>)

0,893 1-(4 + 1)0,893''+40,893^

= 1,77.

(1-0,893)(1-0,893^)

8. Среднее время пребывания автомобиля в системе:

9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

^д=Щ- 1/^1 = 2,473 - 1/0,952 = 1,423 часа. 10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

Lg = Х(1 - Pf^) Wg = 0,85 • (1 - 0,158) • 1,423 = 1,02.

Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удов­ летворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомо­ били в среднем в 15,8% случаев {Р^^ - 0,158).

93

Одноканальная СМО с ожиданием без ограничения на вмести­ мость блока ожидания (т. е. iV ~> ©о). Остальные условия функцио­ нирования СМО остаются без изменений.

Стационарный режим функционирования данной СМО суще­ ствует при / —> оо для любого « = О, 1, 2, ... и когда X < [х. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при / -> ©о для любого л = О, 1,2, ..., имеет вид

где р = Х/ц < 1.

Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без огра­ ничения на длину очереди, следующие:

среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на об­ служивание:

средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:

Пример 3.3. Вспомним о ситуации, рассмотренной в примере 3.2, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслужива­ ние автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена.

94

Требуется определить финальные значения следующих вероят­ ностных характеристик:

•вероятности состояний системы (поста диагностики);

•среднее число автомобилей, находящихся в системе (на об­ служивании и в очереди);

•среднюю продолжительность пребывания автомобиля в сис­ теме (на обслуживании и в очереди);

•среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;

•среднюю продолжительность пребывания автомобиля в оче­

реди.

Решение

1. Параметр потока обслуживания \к и приведенная интенсив­ ность потока автомобилей р определены в примере 3.2:

\1 = 0,952; р = 0,893.

2. Вычислим предельные вероятности системы по формулам

Следует отметить, что PQ определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаива­ ет). В нашем примере она составляет 10,7%, так как PQ = 0,107.

3. Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на об­ служивании и в очереди):

4. Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

^ X [ц(1-р)] [0,952(1-0,893)] = 9,817 час.

95

6. средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:

7.Относительная пропускная способность системы:

т.е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена.

8.Абсолютная пропускная способность:

A=^Xq = 0,S5 • 1 = 0,85.

Следует отметить, что предприятие, осуществляющее диагнос­ тику автомобилей, прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятии ограничения на длину очереди.

Допустим, в первоначальном варианте количество мест для сто­ янки прибывающих автомобилей было равно трем (см. пример 3.2). Частота т возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностики автомобиль не имеет возможности присоединиться к очереди:

т = X Pj^.

В нашем примере при Л^=3 + 1 = 4 и р = 0,893,

т = Х PQP"^ = 0,85 • 0,248 • 0,8934 = 0,134 автомобиля в час.

При 12-часовом режиме работы поста диагностики это эквива­ лентно тому, что пост диагностики в среднем за смену (день) будет терять 12 • 0,134 = 1,6 автомобиля.

Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить ко­ личество обслуженных клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12 ч. работы) поста диагностики. Ясно, что ре­ шение относительно расширения площади для стоянки автомоби­ лей, прибывающих на пост диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей кли­ ентов при наличии всего трех мест для стоянки этих автомобилей.

Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания

Модели с п обслуживающими каналами. В подавляющем боль­ шинстве случаев на практике системы массового обслуживания яв­ ляются многоканальными, и, следовательно, модели с п обслужива­ ющими каналами (где п > I) представляют несомненный интерес.

96

Процесс массового обслуживания, описываемый данной моде­ лью, характеризуется интенсивностью входного потока X, при этом параллельно может обслуживаться не более п клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняет­ ся 1/\х. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Ре­ жим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих ка­ налов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель исполь­ зования п параллельно включенных обслуживающих каналов за­ ключается в повышении (по сравнению с одноканальной систе­ мой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания од­ новременно п клиентов.

Граф состояний многоканальной системы массового обслужи­ вания с отказами имеет вид, показанный на рис. 3.3.

I X X X X X

Рис. 3.3. Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Состояния данной СМО имеют следующую интерпретацию: SQ — все каналы свободны;

Si — занят один канал, остальные свободны;

S/^ — заняты ровно к каналов, остальные свободны;

S^ — заняты все п каналов, заявка получает отказ в обслужи­ вании.

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы PQ, ..., i\, ..., Рп будут иметь следующий вид:

dP

- ^ = X•Pk-l-iX + k•^^)•Pk+^i•(k + l)•Pk+l 1<к<п-1 (3.26)

^ = ХР„.,-1Хп.Р„.

97

Начальные условия решения системы таковы:

где Р = ~.

Формулы для вычисления вероятностей Pf^ называются форму­ лами Эрланга.

Определим вероятностные характеристики функционирования

многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме.

Вероятность отказа определяет формула

Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию

к=\

Величина к характеризует степень зафузки СМО.

98

Пример 3.4. Пусть л-канальная СМО представляет собой вы­ числительный центр (ВЦ) с тремя (п = 3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступаю­ щих на ВЦ, имеет интенсивность X = 1 задаче в час. Средняя про­ должительность обслуживания Г^бсл ~ Ь8 час. Поток заявок на ре­ шение задач и поток обслуживания этих заявок являются простей­ шими.

Требуется вычислить финальные значения: вероятности состояний ВЦ; вероятности отказа в обслуживании заявки;

относительной пропускной способности ВЦ; абсолютной пропускной способности ВЦ; среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.

Определите, сколько дополнительно надо приобрести ПЭВМ, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.

Решение

1. Определим параметр ц потока обслуживании:

Ц = 7 ^ = т~ = 0,555.

'обсл Ьо

2.Приведенная интенсивность потока заявок равна:

р= VfA= 1/0,555 = 1,8.

3.Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эрланга (3.27):

^1=^^о=1>8-Ро;

2

i^=Y^o=i,62/b;

^3=|-^b=o,97Po;

^ « = " 7 ^ = 1 + 1,8 + 1,62+0,97°=°'^^^=

Р, = 1,8 • 0,186 = 0,334;

Рг " 1.62 • 0,186 = 0,301; Рз = 0,97 0,186 = 0,180.

99