Бережная_Матметоды моделирования эк cистем

Ax

/L

EF\

ВC\

В выбранных масштабах на оси абсцисс наносится шкала для реализаций случайной величины X, на оси ординат — величины

— . Пользуясь этими шкалами, строят прямоугольники ABCD, Ах

DEFG, ..., основания которых соответствуют ширине интервала Ах,

ABCEF... QORJA и является гистограммой распределения. Гистограммы чаще всего применяются для изображения вариа­

ционных рядов с непрерывными значениями случайной величины X. При уменьшении величины каждого интервала гистограмма бу­ дет приближаться к некоторой плавной кривой, соответствующей графику функции плотности распределения случайной величины X. Следовательно, в результате построения гистограммы можно по­ лучить представление о дифференциальном законе распределения случайной величины X.

Эмпирическая (статистическая) функция распределения строит­ ся следующим образом. Над каждым отрезком оси абсцисс (Ах), изображающим расстояние между концами интервалов, проводит­ ся отрезок горизонтальной прямой на уровне ординаты, равной ве­ личине накопленной частоты; концы горизонтальных отрезков со­ единяются вертикальными линиями.

Статистическая функция распределения F^(X) представляет со­ бой частоту событий Л" < х в данной выборке:

20

Xf<X

где X ~ текущая переменная;

p* — частота, или статистическая вероятность, события.

Неравенство Х/ < х под знаком суммы указывает, что суммиро­ вание распространяется на все те значения х,-, которые меньше х.

Значения F*{xD при данном значении Х/ определяется по фор­ муле

п

где /J/ - число опытов, при которых X < Х/.

При неограниченном увеличении числа опытов (наблюдений) п согласно теореме Я. Бернулли при любом Х/ частота события р*(Х < X/) приближается (сходится по вероятности) к вероятности этого события. Следовательно, если X— непрерывная величина, то при увеличении п график функции /^(х) приближается к плавной кривой F(x) — интегральной функции распределения величины X

Таким образом, фафическое изображение рядов распределения дает возможность наглядно представить эмпирическое распределе­ ние реализаций случайной величины и выразить закономерность ее распределения путем построения статистической интегральной функции распределения.

Пример 1.1. Построить гистограмму и статистическую функ­ цию распределения часовой выработки подвижного состава авто­ предприятия.

Значения часовой выработки получены в ходе наблюдения за работой автомобилей-самосвалов КамАЗ-5511 в течение календар­ ного года. Объем выборки составил л = 100 наблюдений. Размах вариации равен:

Л = ^тах ~ ^min = 15,13 - 4,0 = 11,13.

Величина интервала вариационного ряда определена по фор­

Количество интервалов вариационного ряда равно:

L. -_ ^max -^min _ 1 J , 1 3 4,U __ 49 ~ ft

Ах 1,5

21

Вариационный ряд часовой выработки автомобиля представлен в табл. 1.4.

Таблица 1.4 Вариационный рад часовой выработки автомобиля

Решение

Для построения гистограммы определим ее ординаты из выра­ жения:

Основываясь на данных табл. 1.4 и проведенных расчетах, построим гистограмму (рис. 1.4).

Следует отметить, что при неограниченном увеличении объема выборки п кривая гистофаммы частот совпадает с графиком плот­ ности вероятностей.

Построим статистическую функцию распределения часовой вы­ работки автомобиля:

22

а

0,12-

0.1-

О.ОвН

0.06-1

0,04

0,024

График статистической функции распределения представлен на рис. 1.5.

1

0.8

0.6 Н

0.4

0.2

Рис. 1.5. Статистическая функция распределения часовой выработки автомобиля

23

Статистическая функция распределения случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой про­ исходят в точках, соответствующих возможным значениям случай­ ной величины, и равны эмпирическим вероятностям этих значе­ ний. Сумма всех скачков функции F*{x) равна единице. По мере увеличения объема выборки и уменьшения интервалов Ах число скачков становится больше, а сами скачки — меньше; ступенчатая кривая становится более плавной; случайная величина постепенно приближается к непрерывной величине, а ее статистическая функ­ ция распределения — к непрерывной функции - интегральной функции распределения F(x),

1.4. Основные законы распределения случайных величин

Полигон распределения и гистограмма есть реализация распре­ деления выборочной совокупности при ограниченном числе на­ блюдений (N), а предельная кривая при Л^—> оо является распреде­ лением генеральной совокупности. Распределение генеральной со­ вокупности является теоретическим распределением. Отдельные распределения изучены и поддаются точному аналитическому опи­ санию. Приведем некоторые из них.

Дискретные законы распределения

А. Биномиальное распределение. Это распределение числа X по­ явления события А в серии из п независимых испытаний. Вероят­ ность наступления события А в каждом испытании равна р, а ве­ роятность его отсутствия д = I — р. В каждом испытании возмож­ ны два исхода: наступление или ненаступление события А. При сформулированных условиях ряд распределения числа появления события А определяется формулой Бернулли

где Р{Х — т)— вероятность появления события А равна т раз в серии из п испытаний.

Характер биномиального распределения определяется двумя параметрами/7 и п. На рис. 1.6 показаны многоугольники биноми­ ального распределения для некоторых значений этих величин.

24

Р(х = т) f

р = 0,9;л = 3

р = 0,5;/7 = 3

Рис. 1.6. Примеры кривых биномиального распределения

Определим числовые характеристики биномиального распреде­ ления случайной величины X:

математическое ожидание

Из формул (1.45) и (1.46) следует, что при р = д биномиальное распределение симметрично относительно математического ожида­ ния, следовательно, эксцесс достигает наибольшее по модулю отрицательное значение. Если Сд. > О имеется положительный экс­ цесс (вершина сильно вытянута); если с^ < О — отрицательный эксцесс (низковершинная кривая); если с^. = О — нормальное рас­ пределение.

25

Если aj^> О — асимметрия положительная; если ах< О — асимметрия отрицательная; если Дд. = О — распределение симметричное.

Пример 1.2. Техническая система состоит из пяти независимо друг от друга функционирующих узлов. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение числа отказов узлов, если вероятность отказа любого из них р = 0,2.

Решение

1. Математическое ожидание числа отказов: Л/[^ =л/^ = 5-0,2= 1.

2. Дисперсия:

Dx = npq^ 5 • 0,2 • 0,8 = 0,8.

3. Среднее квадратическое отклонение:

Од. = л / ^ = V M = 0,8944.

4. Коэффициент асимметрии:

\_Я^Р_ 0,8-0,2 ^^^^^^^

^npq V^'0,2-0,8

Б. Распределение Пуассона. Данное распределение является пре­ дельным случаем биномиального распределения. Предположим, что в биномиальном распределении /? ~> О и л ~> ©о, так, что л • /7 —> ~> М[Х\ "= а > О, Тогда плотность вероятности биномиального рас­ пределения принимает вид:

к\ к\

что и является распределением Пуассона. Формула (1.47) выража­ ет ряд распределения Пуассона. Заметим, что распределение Пуас­ сона зависит только от одного параметра — математического ожи-

26

Дания М[Х\ = а. Основные числовые характеристики случайной ве­ личины, имеющей распределение Пуассона, равны величине а > О, а именно дисперсия случайной величины X, имеющей распределе­ ние Пуассона, численно равна ее математическому ожиданию. Этим свойством пользуются для оценки близости эмпирического распределения к распределению Пуассона.

На рис. 1.7 показаны кривые распределения Пуассона, отвеча­ ющие различным значениям математического ожидания:

Р{Х=т)

Рис. 1.7. Кривые распределения Пуассона

Из рис. 1.7 следует, что при увеличении математического ожи­ дания а кривые распределения Пуассона становятся более симмет­ ричными. При а > 10 -ь И несимметричность распределения прак­ тически не ощущается и закон Пуассона можно заменять нормаль­ ным законом распределения с определенными допущениями.

Пример 1.3. Определить вероятность того, что на АЗС нахо­ дится один или хотя бы один автомобиль, если среднее число авто­ мобилей, находящихся в данном интервале времени на АЗС, а = 3.

Решение

1. Вероятность нахождения одного автомобиля на АЗС сле­ дующая:

Р(Х = 1) = ^'е~'' = ^ . в - ^ =:а.^-^ =3'е-^ =0,149.

т\ 1!

2. Вероятность того, что на АЗС находится хотя бы один авто­ мобиль, равна вероятности того, что на АЗС находится не менее одного автомобиля, т. е.

P(A^>l) = l-P(X = 0) = l~~j-.e-^=l-e"^=0,95.

27

Непрерывные распределения вероятностей

В. Нормальное распределение. Наиболее известным непрерыв­ ным распределением является нормальное. Плотность нормально­ го распределения определяется по формуле

Непрерывная случайная величина X принимает значения от »до +с». Соответствующая функция распределения равна:

ния является плавная колоколообразная симметричная кривая, уравнение которой - формула (1.48).

Перечислим основные свойства нормального распределения. 1. Нормальное распределение полностью характеризуется мате­

матическим ожиданием и дисперсией.

2. Кривая плотности вероятности Дх) нормального распределе­ ния симметрична относительно математического ожидания т^. Максимум плотности распределения соответствует абсциссе, рав­ ной т^.

28

3.При \х\ -> оо ветви кривой распределения асимптотически приближаются к оси Ох.

4.Математическое ожидание случайной величины X, распреде­ ленной в соответствии с нормальным законом, совпадает по вели­ чине с ее модой и медианой.

5.Коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распре­ деления равны нулю.

Величина математического ожидания не влияет на форму кри­ вой плотности распределения Дх). С возрастанием а^^ максималь­

кривая становится все более пологой. При уменьшении а^^. нор­ мальная кривая становится все круче, т. е. растягивается вдоль оси ординат При значении а^. = 1 и w^^ = О нормальную кривую назы­ вают нормированной, а соответствующий закон распределения -

стандартным нормальным законом распределения с плотностью

произвольными параметрами т,^ и а^ приводится к стандартному виду. Вероятность попадания случайной величины в заданный ин­ тервал от а до р равна:

29