Волковой М.С. Метрология

51

Значения коэффициентов k и b можно определить подстановкой,

n n

yi k xi

Пример 1.14. Найти аналитическую зависимость функции. Представим изменение платинового термометра сопротивления типа

ТСП-100 (гр.22) в интервале (–50... +350) °С уравнением

Rti R0(1 ti ) R0 R0 ti .

Заменим

Rti yi; R0 b; R0 k; ti C xi.

Задаваясь интервалом температур xi = 50 °C, определяем экспериментально значения переменной yi и данные заносим в табл. 1.2.

Определяем k и b:

k 9 269155 1350 1 415,07 0,379, 9 35 250 13502

b 352 500 1 415,07 1350 269155 100,34. 9 352 500 13502

Уравнение прямой функции

y 0,379x 100,34.

52

Определяем для всех значений xi значение yi и заносим в таблицу.

Далее определяем и .

Максимальная абсолютная погрешность max = 1,4.

Поскольку погрешность максимальна только в начале и в конце диапазона и незначительно превосходит допустимую, то задача линеаризации решена.

Оценим погрешности в определении постоянных коэффициентов k и b, исходя из погрешностей измерения y1, …, ym.

Среднее квадратичное отклонение погрешности измерения y может быть получено до начала измерений либо вычислено по формуле

Окончательная запись коэффициентов b и k с учетом границ погрешности имеет вид

(b b ) Ом; (k k ) Ом/град.

Пример 1.15. Определить интерполяционный полином минимальной степени и оценить максимальную погрешность интерполяции.

Из гр. 22 датчика ТСП-100 выбираем девять точек и заносим в табл. 1.3.

Таблица 1.3

53

Выбор интерполяционного полинома определяется расположением узлов интерполирования (значениями независимой переменной).

Если узлы расположены равномерно, то для интерполирования могут быть взяты любые интерполяционные формулы, например первая интерполяционная формула Ньютона, вторая интерполяционная формула Ньютона, формула Гаусса и др.

Если для построения полинома используется часть узлов, то для интерполяции в начале таблицы используется первая формула Ньютона, в конце – вторая формула Ньютона, в середине – формула Гаусса. Порядок полинома определяется поведением конечных разностей. Для этого строится таблица конечных разностей и определяется порядок, при котором все разности становятся почти одинаковыми. Это и есть порядок интерполяционного полинома.

Если узлы расположены неравномерно, то используется либо формула Лагранжа, либо формула Ньютона для неравномерно отстоящих узлов.

Погрешность интерполирования определяется общей формулой

где f n 1( ) – максимальное значение n + 1 производной от точной функции на участке интерполирования;

Пn 1(x) (x x0)(x x1)...(x xn ),

где x0 , x1,..., xn – узлы интерполирования.

В случае если точная функция неизвестна, то заменяют (n + 1)-ю производную максимальным значением конечной разности (n + 1)-го порядка

f n 1( ) max n 1 f (x) , hn 1

где h – шаг таблицы.

Полученная погрешность Rn(x) должна быть меньше заданной. Если при решении задачи необходимо построить полином наимень-

шей степени и при этом обеспечить заданную погрешность, то можно применить полином Чебышева. Однако при этом значения независимой переменной должны соответствовать узлам Чебышева.

Пример 1.16. Составить интерполяционный полином, используя первую интерполяционную формулу Ньютона для равноотстоящих узлов. Приведенная погрешность не должна превышать 0,9.

54

Rn(x) y0 hy0 (x x0) 2y20 (x x0)(x x1) ... 2!h

n yh0 (x x0)(x x1)...(x xn 1). h!h

Шаг h = 50.

Данные расчета приведены в таблице конечных разностей (табл. 1.4).

Таблица 1.4

Полином третей степени имеет вид

R3 = 79,98 + 0,4 (х + 50) – 64 10–6 (х2 + 50х) + 26 10–9 (х3 – 2 500х) = = 99,98 + 0,3 969х – 64 10–6 х2 + 26 10–9 х3.

55

Определим погрешность полинома третьей степени, приведенную в табл. 1.5.

Таблица 1.5

Погрешность соответствует заданному значению. Снизим степень полинома до второй.

Р2 = 99,98 + 0,3969х – 64 10–6х2.

Составим табл. 1.6.

Таблица 1.6

Снизим степень полинома до первой.

R1 = 99,98 + 0,3 969х.

Составим табл. 1.7.

Таблица 1.7

56

1 7,19 100 4,74 %. 151,73

Наименьшая степень полинома, удовлетворяющая заданию, вторая:

R2 = 99,98 + 0,3 969х – 64 10–6 х2.

По данному алгебраическому уравнению можно определить любую точку из таблицы гр. 22 терморезистора типа ТСП-100.

Пример 1.17. Определить коэффициенты уравнения

Rt = R0 [1 + At + Bt2 + Ct3(t – 100)].

Для этого необходимо при активном эксперименте выполнить совокупные измерения сопротивления платинового сопротивления типа ТСП100 при температурах: –183 °C; 0 °C; 100 °C; 444 °C.

Решая систему из четырех уравнений

Rt = R0 [1 + A(–183) + B(–183)2 + C(–183)3(–283)];

Rt = R0;

Rt = R0 [1 + A·100 + B·1002];

Rt = R0 [1 + A·444 + B·4442 + C·344·4443];

определяем R0, А, В, С.

1.3. Методы повышения точности измерений

Стремясь к более точным измерениям, измерительная техника выработала ряд общих методов достижения точности, которые можно подразделить на несколько групп.

1.Методы стабилизации параметров средств измерений (датчиков) технологическим путем, т.е. использование новых материалов, новых технологий, применение новых физических явлений, применение предварительного старения элементов перед их установкой и т.д.

2.Методы пассивной защиты от быстро изменяющихся влияющих величин, т.е. уменьшение случайных погрешностей путем применения фильтрации (усреднения), теплоизоляции, экранирования, амортизации аппаратуры и т.п.

3.Методы активной защиты от медленно изменяющихся влияющих величин путем стабилизации этих величин. Это стабилизация питающего напряжения, стабилизация температуры наиболее ответственных элементов, стабилизация аппаратуры в пространстве с помощью гироскопов и т.д.

4.Методы коррекции систематических и прогрессирующих (дрейфующих) погрешностей. Это наиболее экономичный путь повышения точности по сравнению с методами активной защиты, т.к. предполагает авто-

57

матическую оценку погрешности и автоматический ввод поправки (ввод автоматической поправки от разогрева холодных спаев термопары в автоматических потенциометрах, применение магнитных шунтов в мегаомметрах, температурная компенсация в тензометрии). Прогрессирующие погрешности устраняются созданием более совершенных схем (создание операционных усилителей с большим коэффициентом усиления и введением глубокой отрицательной обратной связи).

5. Применение методов измерений, переводящих систематические погрешности в случайные:

–метод рандомизации (от англ. random – перемешивание, создание беспорядка, хаоса) основан на принципе перевода систематических погрешностей в случайные погрешности. Метод позволяет эффективно уменьшить систематическую погрешность (методическую, инструментальную и др.) путем измерения некоторой физической величины (ФВ) рядом однотипных приборов с последующей оценкой результата измерения в виде математического ожидания выполненного ряда наблюдения. Пусть некоторая физическая величина измеряется n раз (n = 15) однотипными приборами, имеющими систематические погрешности одинакового происхождения. Для одного прибора эта погрешность постоянная, но от прибора

кприбору она изменяется случайным образом. Поэтому если измерять неизвестную ФВ n приборами и затем вычислить математическое ожидание, то значение систематической погрешности существенно уменьшается;

–метод двух отсчетов (метод компенсации погрешности по знаку или «вилочный» метод) используется для устранения систематической погрешности, у которой в зависимости от условий измерения изменяется только знак. При этом методе выполняются два измерения, результаты ко-

представляет собой окончательный результат измерения, не содержащий систематической погрешности с . Этот метод используется при измерении экстремальных значений (максимума и 0) неизвестной ФВ.

6. Повышение быстродействия датчиков и снижение динамической погрешности в измерениях.

1.3.1. Оценка динамической погрешности

Современные технологические процессы осуществляются при высоких скоростях изменения ФВ, подлежащих измерению. Избежать появления значительных динамических погрешностей можно, применяя все менее инерционные средства измерения. Однако существуют физические пределы уменьшения инерции материальных систем, в том числе и средств измерения.

58

Динамическая погрешность датчика с сосредоточенными параметрами характеризуется его нелинейностью и инерционностью. Если допустить линейность статической характеристики, то переходные процессы в датчике могут быть описаны линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами:

Tdx kx y, dt

где x – измеряемая величина; T – постоянная времени; k – коэффициент передачи; y – действительное значение измеряемой величины.

Представим все многообразие входных воздействий в виде типовых сигналов: ступенчатого воздействия (скачок), импульсного воздействия (дельта-функция), линейного воздействия (степенная функция первого порядка), гармонического воздействия (качка). Реакции (отклики) датчика на типовые воздействия показаны на рис. 1.20.

Рис. 1.20. Реакция датчика на типовые воздействия: а – на скачок; б – на дельта-функцию; в – на линейное воздействие; г – на гармоническое воздействие

Качественно динамическая погрешность определяется в режиме ступенчатого воздействия площадью, ограниченной асимптотой и откликом; в режиме импульсного воздействия – площадью, ограниченной откликом и осью времени (осью абсцисс); в режиме линейного воздействия – скоростной ошибкой; в режиме гармонического воздействия – сдвигом фаз между первой гармоникой отклика и первой гармоникой входного сигнала, а также уменьшением амплитуды первой гармоники отклика по отношению к амплитуде первой гармоники входного сигнала.

Если по откликам датчика на скачок дельта-функцию и линейно нарастающую функцию входа можно судить о динамических свойствах датчика, то по отклику на гармоническое воздействие – о его частотных свойствах. Количественную оценку можно получить, представив передаточную функцию датчика в виде передаточной функции апериодического звена:

59

W p k ,

Tp 1

где необходимо определить экспериментально коэффициент передачи

k xвых ( ) x(0)

xвх ( )

и постоянную времени Т – псевдовремя изменения выходной величины. На рис. 1.21 приведены способы определения постоянной времени Т.

Рис. 1.21. Способы определения постоянной времени Т

Запишем аналитические выражения динамической погрешности:

– на ступенчатое воздействие

t t

(t) x0 x0 x0e T x0e T ;

– на импульсное воздействие

t

(t) t k e T ; T2

60

–на линейное воздействие

(t) bT ; k

–на гармоническое воздействие

argW( j ) arctg T;

1

A modW( j ) . 1 ( T)2

Анализ формул динамической погрешности показывает, что для уменьшения динамической погрешности нужно уменьшать постоянную времени T и увеличивать коэффициент передачи k датчика.

Рассмотрим ряд способов снижения динамической погрешности.

1. Согласное последовательное включение обычной и скоростной термопары (СТП) позволяет получить термопару с малой постоянной времени. Временные характеристики скоростной термопары показаны на рис. 1.22.

E2

Рис. 1.22. Временные характеристики термопар

2. Охват датчика отрицательной обратной связью (ООС).

На рис. 1.23 приведена структурная схема данного вида коррекции.

Рис. 1.23. Структурная схема коррекции с помощью ООС

Введение ООС уменьшает постоянную времени Т в (1+k) раз и ослабляет отклик в (1+k) раз. Для компенсации ослабления отклика потребуется усилитель с коэффициентом усиления в (1+k) раз.