Волковой М.С. Метрология
.pdf
41
|
m |
2 |
||||
S |
|
i |
S |
x2 |
. |
|
3 |
||||||
|
i 1 |
|
|
|
||
При отсутствии НСП и для одной группы наблюдений S = . Тогда границы погрешности результата измерений Г равны
Г kS ,
где k |
|
|
|
|
|
или k |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
m |
Q2 |
|
||||
|
S |
x |
|
|
i |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
11. Записать окончательный результат измерений в сокращенной форме:
X Г, P
или в более полной форме:
mx, Sx , n, , P.
Качество и точность измерений тем выше, чем меньше СКО, тем меньше вероятность рассеивания результатов наблюдений D, тем больше вероятность P того, что большинство случайных погрешностей в них мало.
12. Записать окончательный результат измерений в сокращенной форме:
X Г, P
или в более полной форме:
mx, Sx , n, , P.
Алгоритм обработки результатов измерений одной группы наблюдений приведен на рис. 1.16 [1].
42
n измерений xi
Математическое ожидание mx X
Остаточные погрешности i xi X
n
i 0
i1
n
i2 min
i 1
Среднеквадратичное отклонение
n
( i2)/(n 1)
i 1
Среднее квадратичное отклонение
среднеарифметического ~ ~
x / n
Доверительная вероятность P
Доверительный интервал 1,2 p,n~x
t
Результат измерения X 1,2
Рис. 1.16. Алгоритм обработки результатов измерений одной группы наблюдений
43
1.2.3. Косвенные измерения
При косвенных измерениях искомое значение величины находят на основе измерения других величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью
A f (a1,a2,...an). |
(1) |
Погрешность в оценке А зависит от погрешностей при измерениях аргументов ai.
При нелинейных косвенных измерениях проводят приближенную оценку погрешности результата косвенного измерения на основе линеаризации функции (1).
Применив метод линеаризации, основанный на разложении (1) в ряд Тейлора с ограничением ряда членами, содержащими только первые производные, получим
А А |
|
f |
a |
|
f |
|
a |
|
|
f |
|
a ..., |
(2) |
a |
a |
|
|
a |
|
||||||||
д |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
где Aд – действительное значение косвенно измеряемой величины; |
a – по- |
||||||||||||
грешность результата измерения аргумента a; f значение частной про-
a
изводной от функции от аргумента a в точке, где аргумент имеет действительное значение.
Для зависимых переменных, если результаты измерения аргументов зависимы друг от друга, абсолютная погрешность определяется согласно (3):
А |
f |
a |
|
f |
a |
|
|
f |
|
a ... |
(3) |
|
a |
|
|
a |
|
||||||||
|
1 |
|
a |
2 |
|
2 |
|
3 |
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
Для независимых переменных, если результаты измерения аргументов независимы друг от друга,
– абсолютная погрешность определяется согласно (4):
|
|
|
|
|
|
f |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
f |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
f |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
... |
|
|
|
|
|
|
an ; |
|
|
|
|
(4) |
||||||||
|
|
а |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а1 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
– относительная погрешность определяется согласно (5): |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A |
|
|
|
f |
|
2 |
a1 |
|
|
|
|
|
f |
|
|
a2 |
|
|
|
|
f |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
an |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
A |
|
а |
|
) |
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
( A |
) |
|
. |
(5) |
|||||||||||||||||||
|
( |
|
A |
|
|
|
2 |
|
( |
|
A ) |
|
... |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если результаты прямых измерений ai |
|
определены со среднеквадра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тичными отклонениями Si , то оценка среднеквадратичного отклонения результата косвенных измерений
2 |
2 |
2 |
SA 
af1 S12 af2 S22 ... afn Sn2 .
44
Если погрешности a1, a2,...,an коррелированны, то оценка среднего арифметического отклонения [1]
|
|
|
|
f |
2 |
S 2 |
|
f |
2 |
|
2 |
|
f |
|
n |
|
2 |
|
n |
f |
|
f |
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
S |
... |
|
|
S |
|
|
|
S S |
r |
, (6) |
|||||||||
A |
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
а1 |
|
1 |
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j i, j |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
i, j 1 ai aj |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i j |
|
|
|
|
|
|
||
где ri,j – коэффициент корреляции 1 r |
1 ; |
f |
|
S |
– частные погреш- |
|||||||||||||||||||||
a |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
ности косвенного измерения.
Установление корреляционных связей между погрешностями часто затруднительно, поэтому если они есть, то ri, j 1, если нет, то ri, j 0.
Анализ формулы (3) позволяет получить простые правила оценивания погрешности результата косвенного измерения.
А) Погрешности в суммах и разностях.
При линейных косвенных измерениях функциональной зависимости
4
Abiai
i 1
предельное значение абсолютной погрешности A определяется как сумма абсолютных погрешностей
4 |
|
|
|
A |
|
A b a ; |
|
|
|
. |
|
|
|
||||
i 1 i i |
|
A |
|
A |
|
Пример 1.6. Пусть задана |
функциональная зависимость |
||||
A 5a1 2a2 3a3 4a4 .
Необходимо определить абсолютную и относительную погрешности.
A 5 a |
2 а |
|
3 а |
|
4 а |
|
...; |
A |
|
A |
, |
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
A |
||
где знак предельной абсолютной погрешности может быть любым при измерении a1, a2 ,a3 , a4 .
Б) Погрешности в произведениях и частных.
Если измеренные значения a1 и a2 используются для вычисления
A aa |
|
или A |
a1 |
, |
|
2 |
a2 |
||||
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
то суммируются относительные погрешности без учета знака:
A a |
a |
|
, где a |
|
ai |
. |
|
|
|||||
1 |
|
2 |
i |
|
a |
|
|
|
|
|
|
i |
|
45
Пример 1.7. A |
a1a2 |
; |
A a |
a |
a . |
|
|||||
|
a3 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
||
В) Измеренная величина умножается на точное число.
Если a используется для вычисления произведения A ba, в котором b не имеет погрешности, то A b a.
Пример 1.8. A 5a1; A 5 a1; a1 a1 . a1
Г) Возведение в степень.
Если a используется для вычисления степени A an , то A n a. Пример 1.9. A a15; A 5 a1.
Д) Погрешность произвольной функции одной переменной.
Если a используется для вычисления A(a), то A dA a.
|
|
|
|
da |
Пример 1.10. Пусть аргумент (20 3) . Необходимо найти функ- |
||||
цию cos [17]. |
|
|
|
|
Наилучшая |
оценка |
для |
cos20 0,94. |
Погрешность |
, т.к. 3 20 . Выразим в радианах: 3 0,05рад.
Тогда
(cos ) (sin 20 )0,05 0,34 0,05 0,02.
Окончательно запишем
cos 0,94 0,02.
Систематическая погрешность при косвенных измерениях
Оценка систематической погрешности при косвенных измерениях включает:
–методическую погрешность;
–инструментальную погрешность прибора;
–дополнительную погрешность от температуры окружающей среды, влияния магнитных полей.
Суммарная систематическая погрешность определяется по формуле
n
с сi ,
i1
где ci – i-я составляющая систематической погрешности.
Выполним анализ систематической погрешности, когда источник питания электрической схемы представляет собой:
46
–идеальный источник ЭДС (Rвн 0);
–реальный источник питания (0 Rвн ).
Пример 1.11. Определим методическую (систематическую) погрешность при косвенном измерении мощности на активном сопротивлении при питании от идеального источника ЭДС методом амперметра и вольтметра, где методическая погрешность возникает из-за внутреннего сопротивления приборов и схемы их включения.
Дано: R = 115 Ом; RA = 10 Ом; U~ = 250 B; RV = 1 000 Ом.
На схеме, приведенной на рис. 1.17,а, вольтметр реагирует на сумму падений напряжений на амперметре, т.к. RA ≠ 0 и на нагрузке R.
I |
|
IΣ |
|
|
|
|
|
|
IV IR
RV
RV R
R
а |
б |
Рис. 1.17. Электрическая схема установки
Определяем ток в цепи:
I |
A |
|
U~ |
|
250 |
2 А. |
R R |
|
|||||
|
|
|
115 10 |
|||
|
|
|
A |
|
|
|
Расчетное значение активной мощности на нагрузке
P = UV IA = 250 · 2 = 500 Вт.
Действительное значение активной мощности на нагрузке
Pд IА2 R 4 115 460 Вт.
Тогда абсолютная погрешность
IА2 RА P Pд 500 460 40 Вт.
Поправка в расчетах
40 Вт.
Относительная погрешность
100 % RА 100 % 10 100 % 8,7 %. Pд R 115
Данную погрешность в 40 Вт необходимо исключить из расчетного значения 500 Вт. Тогда действительная активная мощность, выделяемая на нагрузке, составит 460 Вт.
47
Для схемы, приведенной на рис. 1.17,б, где амперметр включен перед точкой соединения вольтметра, рассчитать методическую абсолютную и относительную погрешности.
R |
RVR |
|
115 1000 |
103,13 Ом. |
|||||
|
|
115 1000 |
|||||||
|
R |
R |
|
||||||
|
V |
|
U~ |
|
|
250 |
|
|
|
|
I |
|
|
|
2,4 А. |
||||
|
R |
|
|||||||
|
|
|
103,13 |
|
|||||
P U~I 250 2,4 600 Вт.
IV U~ 250 0,25 А.
RV 1000
IR I IV 2,4 0,25 2,15 А.
Pд IR2R 2,152 115 531,6 Вт.
P Pд 600 531,6 68,4 Вт.
100 % 68,4 100 % 12,9 %.
Pд 531,6
Данную погрешность (поправку) 68,4 Вт необходимо исключить из вычисленного значения Р = 600 Вт, и действительная активная мощность, выделенная на нагрузке, составит 531,6 Вт.
В данном примере выполнен расчет методической погрешности при измерении по методу амперметра и вольтметра, где предпочтительнее случай а, т.к. он допускает относительную погрешность 8,7 % против 12,9 % случая б.
Пример 1.12. Необходимо определить действительное напряжение источника ЭДС реального источника питания, имеющего внутреннее сопротивление Rвн 50 Ом, аналоговым вольтметром, внутреннее сопротивление которого RV и нагрузка R 5 Ом. В результате прямого измерения аналоговым вольтметром напряжение на зажимах реального источника ЭДС Uизм= 12,2 B. Электрическая схема установки приведена на рис. 1.18.
I
Uизм RV |
R |
Rвн
Рис. 1.18. Электрическая схема установки
48
По второму закону Кирхгофа
Uизм E IRвн,
где I E .
R Rвн
Тогда E Uизм(R Rвн) 12,5(50 5) 6,39 В.
2Rвн R |
2 50 5 |
Определяем ток в измерительной цепи:
I 6,39 0,116 В. 50 5
Определяем поправку измерений:
П IRвн 0,116 50 5,81 В.
Окончательно запишем:
EUизм П 12,2 5,81 6,39 В.
1.2.4.Совокупные измерения
Совокупными измерениями называют одновременные измерения нескольких одноименных величин, при которых их значения находят решением системы алгебраических уравнений, получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.
Пример 1.13. Необходимо найти сопротивления треугольника согласно рис. 1.19.
Прямым измерением определены в треугольнике сопротивления резисторов Rab, Rbc, Rca . Требуется определить сопро-
тивления резисторов треугольника R1 , R2, R3 .
Для определения сопротивления резисторов треугольника составляем систему
Рис. 1.19. Схема треугольника уравнений:
Rab R1(R2 R3) ;
R1 R2 R3
Rbc R2(R1 R3) ;
R1 R2 R3
Rca R3(R2 R1) .
R1 R2 R3
49
Решая систему алгебраических уравнений, находим R1 , R2 , R3 .
1.2.5. Совместные измерения
Цель измерений: установление функциональной аналитической зависимости между величинами.
Для нахождения зависимости y = f(x) между переменными x и y необходимо, последовательно устанавливая и измеряя значения x, одновременно измерять величину y, получив координаты точек исследуемой зависимости (xi, yi). Поскольку результаты измерения величин содержат погрешности, то полученные координаты точек не могут принадлежать истинной зависимости. Для того чтобы наилучшим образом приблизиться к ней, при выполнении совместных измерений необходимо решить задачу аппроксимации y = f(x).
Оптимальный подход к решению подобных задач возможен на основе применения метода наименьших квадратов (МНК). Суть МНК состоит в том, что наивероятнейшими значениями аргументов искомой аналитической зависимости будут те, при которых сумма квадратов отклонений экспериментальных значений функции yi от самой функции y будет наименьшей:
n
yi y 2 min .
i 1
МНК предполагает следующее:
–значения аргументов xi известны точно;
–систематические погрешности исключены, и результаты измерения yi содержат лишь случайные погрешности, которые независимы и имеют одинаковые дисперсии;
–погрешности измерения yi имеют нормальное распределение.
Пусть имеется зависимость между xi и yi , где i 1,n. Необходимо определить коэффициенты наилучшей прямой y kx b, приняв за критерий минимизации
n
Q (yi kx b)2 .
1
При этом разность между точным и приближенным значениями должна быть минимальной.
Для этого найдем производные по k и b и приравняем их к нулю.
50
|
Q |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y |
i |
kx b)x |
i |
0, |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
k |
1 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Q |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y |
i |
kx b) 1 0. |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
b |
1 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Получаем систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n |
|
x |
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
0, |
|
|
|
|
y |
i |
|
kx2 |
bx |
i |
||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
n |
1 |
n |
1 |
|
|
|
|
|||
|
y |
i |
kx b 0. |
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Преобразуем: |
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||
|
nb k x |
y |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
xi yi; |
|||||
|
b xi k |
xi |
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
n |
n |
|
|
|
|
xi |
|
||
D |
n |
|
1 |
|
|
|
|
n |
2 |
||
|
|
|
|||
xi |
xi |
|
|||
1 |
|
1 |
|
|
|
n
D2 n xi1
k D2 , D
Получаем:
n yi
D1 n1
xi yi
1
n |
|
|
yi |
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
xi yi |
||
|
||
1 |
|
b D1 . D
n |
|
|
xi |
|
|
1 |
|
|
n |
2 |
|
|
||
xi |
|
|
1 |
|
|
|
n |
n |
|
n |
|
|
n |
n |
n |
n |
|
|
n xi yi xi yi |
|
|
xi2 |
yi xi xi yi |
||||||
k |
1 |
1 |
|
1 |
, |
b |
1 |
1 |
1 |
1 |
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
n |
|
n |
|
|
|
n |
n |
2 |
||
|
n xi2 |
|
xi |
|
|
n xi2 |
xi |
||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||