• Система 1, 2 называется совместимой, если она имеет хотябы одно решение. В противном случае она называется несовместимой.

  • Если решение единственно, то её называют определённой.

  • Если решений множество, то её называют неопределённой.

  • Теорема совместимости Кронекера – Капелли.

    • Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

      • 1. Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А к А* не изменяют ранга.

• Правило Крамера в матричной форме.

  • Пусть дана система вида

Если в системе 1 , то есть матрица , то система 1 имеет, и притом единственное, решение.

, или в компонентной записи: , где определитель, получаемый из определителя заменой столбца на столбец свободных членов.

• Матричная форма:

Билет 28. Различные подходы к понятию определителя. Свойства определителя.

• Методы вычисления определителя:

  • Общая формула:

Вычисление определителя идет по произвольной строке или столбцу.

• Определитель второго порядка рассчитывается следующим образом: определитель есть разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

• Определитель третьего порядка рассчитывается по общей формуле или по правилу треугольника.

  • Правило треугольника

Определитель равен алгебраической сумме произведений элементов, расположенных на главной и побочной диагоналях и в вершинах треугольников с основаниями параллельными диагоналям. Произведения элементов, расположенных на побочной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями параллельными ей, берутся со знаком минус.

• Свойства определителя:

1. Определитель не меняется при транспонировании. Это означает, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы (матрицы, в которой строки заменены соответствующими столбцами).

2. Если одна из строк (один из столбцов) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. От перестановки двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки(два одинаковых столбцы), равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки (некоторого столбца) умножить на некое число, то сам определитель умножится на это число.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (стоблца), равен нулю.

7. Если одна из строк (один из столбцов) определителя есть линейная комбинация его других строк (столбцов), то определить равен нулю.

8. Определитель не меняется, если к одной из его строк (столбцов) прибавляется любая линейная комбинация других строк (столбцов).

9. Если все элементы i-й строки (столбца) определителя n-го порядка представлен в виде суммы двух слагаемых: , то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме i-й, - такие же, как и в заданом определителе, а i-я строка (столбец) в одном из слагаемых состоит из элементов , в другом - из элементов

Билет 29. Общая теория и теорема о структуре общего решения однородной системы. Линейное пространство решений и его размерность.

|| Однородная система – это система с нулевыми свободными членами.

• Теорема: система 1 и 2 имеет единственное нулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных.

• Вопрос о совместности системы не вызывает сомнения, если:

  • 

• Доказать, что решение единственно

  • 

  • РАЗУЗНАТЬ!!!!!

Для исследования докажем следующую теорему.

• Теорема о пространстве решений однородной системы:

Решение однородной линейной системы 1, 2 образует линейное пространство , являющееся подпространством и его размерность равна , где - ранг матрицы коэффициентов системы.

• Докажем замкнутость

• УТОЧНИТЬ!!!!!!!!!!!! Для того, чтобы найти пространства, пусть

Билет 30. Теорема о структуре общего решения линейной неоднородной системы. Примеры.

• Структура общего решения неоднородной линейной системы

1. AX=B (1)

2. AX=0 (2)

• Разность любых двух решений системы 1 есть решение системы 2.

Общее решение неоднородной линейной системы.

• Пример:

Билет 31. Собственные векторы и числа линейных преобразований, их свойства, преобразования простой структуры.

Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования

• || Ненулевой вектор из называется собственным вектором преобразования , если образ под действием

Примеры

• 

• 

• Для поиска собственных векторов перейдём от преобразования к их матрицам

Для того чтобы система 1 имела ненулевое решение, требуется

• Характеристическое уравнение:

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть – характеристическим многочленом линейного преобразования

Характеристический многочлен не зависит от выбора базиса

• Теорема: Для того, чтобы действительное число λ являлось собственным значением линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем характеристического уравнения этого оператора

• Свойства. Пусть A — линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве, λi— собственное значение оператора A, а — соответствующий собственный вектор: A() =, ≠ 0.

  • Если

  • Если

  • Собственные значения являются корнями характеристического уравнения.

  • Оператор имеет не более различных собственных значений

  • Собственные значения матрицы совпадают

  • Если матрица обратима, то все её собственные значения отличны от нуля ; при этом собственными значениями обратной матрицы являются числа, а соответствующие собственные векторы совпадают.

  • Если число — собственное значение матрицы , то собственным значением матрицы является число , а соответствующие собственные векторы совпадают.

  • Собственный вектор, отвечающий собственному значению , является ненулевым решением линейной однородной системы

  • Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

  • Если линейный оператор имеет различных собственных значений, то соответствующие собственные векторы образуют базис пространства , который называется собственным базисом линейного оператора.

  • Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Билет 33. Квадратичные формы, их матрицы, привидение к каноническому виду.

Определение квадратичной формы.

• || квадратичная форма переменных

.

значения и , то квадратичная форма называется действительной.

• Матричная запись квадратичной формы

Её ранг равен рангу квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если

Главные миноры матрицы называются главными минорами квадратичной формы

• в пространстве квадратичную форму можно записать в виде координатный столбец вектора

• в пространстве квадратичную форму можно представить в виде линейный самосопряженный оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе равна .

Квадратичная форма называется канонической, если всето есть

Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы.

• Ортогональное преобразование пространства

, где – собственные значения матрицыА

• Метод Лагранжа - последовательное выделение полных квадратов. Например, если

Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формойи т. д. Если в квадратичной форме все, но есть то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например, , то полагаем ; ;

• Метод Якоби (в случае, когда все главные миноры квадратичной формы отличны от нуля):

Билет 34. Знакоопределение квадратичной формы, критерии знакоопределения.

• Знакоопределение квадратичной формы

• Знаконеопределена если существуют такие столбцы x и y, что:

• Положительно (отрицательно) определена если :

• Неотрицательна (не положительна) если: , для любого столбца х, причем существует ненулевой столбец для которого

• Критерии знакоопределения:

Тип квадратичной формы зависит только от множества значений, которые она прини­мает, но не зависит от переменных, в которых она записана. Поэтому, представив квадратичную форму в каноническом ви­де, сразу получаем следующие критерии для типа квадратичной формы в зависимости от множества собственных значений ее матрицы.

Тип квадратичной формы	Множество собственных значений
Положительно определенная (Для всех )	Все собственные значения положительны
Отрицательно определенная (Для всех )	Все собственные значения отрицательны
Знакопеременная (Существуют x и y для которых:)	Есть собственные значения разных знаков Существуют
Вырожденная (Существуют для которых )	Есть нулевое собственное значение Существуют