Билет 1. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства.
-
||Вектор – это направленный отрезок.
-
||Коллинеарные векторы – это векторы, лежащие на одной или параллельных прямых.
-
а ↑↑b a ↑↓b
-
-
||Компланарные векторы – это три (или более) вектора, лежащие в одной плоскости
-
Операции:
-
Сложение (правила треугольника и параллелограмма)
-
Умножение на число
-
-
|| Пусть даны два вектора aи b. Поcтроим равные им векторы ABи BC. Тогда вектор ACназывается суммой векторов aи bи обозначается
-
Свойства сложения
-
a + (-a) = 0
-
|| Произведением вектора aна вещественное число αназывается векторb, удовлетворяющий следующим условиям:
(Если же α=0, то из первого условия следует, что b=0.)
Произведение вектора а на число α обозначается α*a
-
Свойства умножения
-
Для любых векторов a, bиc и любых чисел выполненно:
-
||Вектор (-1)*a обозначается –a. Разность векторов aи bназывается суммой векторов aи –b. Она обозначается a-b.
Билет 2. Базис, теорема разложения вектора по базису, координаты вектора.
-
|| Базисом в векторном пространстве называется упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства по ней раскладывается.
-
В нулевом пространстве базиса не существует.
-
В одномерном пространстве (на прямой линии) базис состоит из одного ненулевого вектора
-
В двумерном пространстве (на плоскости) базис состоит из упорядоченной пары некомпланарных векторов.
-
В трёхмерном пространстве базис – упорядоченная тройка некомпланарных векторов.
-
-
||Система векторов называется линейно независимой, если нулевой вектор раскладывается по ней единственным образом.
-
|| Три (или более) вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.
-
Базис называется правым, если тройка правая, и наоборот.
-
|| Ортонормированным правым базисом называется базис, у которого
-
Векторы единичной длины
-
Попарно ортогональны (перпендикулярны)
-
-
ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ ПО БАЗИСУ:
-
Всякий вектор однозначно разлагается по ортонормированному базису.
-
-
Разложение вектора по базису (Письменный с. 35).
-
||Так как векторы базиса линейно независимы, коэффициенты разложения по базису для каждого вектора пространства определены однозначно. Они называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.
-
При умножении вектора на число все его компоненты увеличиваются на это число. При сложении векторов складываются их соответствующие компоненты
Билет 3. Действия над векторами в координатах, деление отрезка в заданном отношении.
Действия над векторами с заданными проекциями.
-
Пусть векторы заданы своими проекциями на оси координат или, что тоже самое:
-
Линейные операции над векторами
-
Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:
-
-
Доказательство:
Если и то
-
При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр
-
Доказательство:
Если , то
Деление отрезка в заданном отношении.
-
Если точка лежит на прямой, проходящей через две данные точки , и дано отношение , в котором точка М делит отрезок , то координаты точки М определяются по формулам:
-
Доказательство:
Найдём координаты точки М на отрезке , которая делит этот отрезок: .
Это условие можно переписать в виде . разложим обе части по базису:
Билет 4. Скалярное произведение векторов, свойства, вычисление в прямоугольных декартовых координатах.
-
|| Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается символом ab
Скалярное произведение можно так же выразить формулой
-
ab>0 если – острый
-
ab<0 если - тупой
-
ab=0 если векторы a и b перпендикулярны
Скалярное произведение aa называется скалярным квадратом и обозначается символом . Из формулы следует, что каждый скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: .
-
Свойства скалярного произведения:
-
Если векторы a и b заданы своими координатами:
То их произведение высчитывается по формуле:
Угол находится из формулы или в координатах:
Билет 5. Векторное произведение векторов, свойства и вычисление в прямоугольных декартовых координатах
-
Векторным произведением называется такой третий вектор, который
-
Имеет длину, равную произведению длин векторов на
-
Вектор направлен перпендикулярно обоим сомножителям
-
Направление вектора [ab] соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы a, b и [ab] приведены к общему началу, большой палец правой руки направлен по первому сомножителю, а указательный – по второму, то средний палец будет направлен по вектору [ab].
-
-
Геометрические свойства векторного произведения
-
Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
-
Модуль векторного произведения [ab] равняется площади параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b.
-
-
Алгебраические свойства векторного произведения
-
Векторное произведение двух векторов удобнее всего находить по формуле
-
Доказательство:
Билет 6. Смешанное произведение векторов, свойства, вычисление в прямоугольных декартовых координатах.
Смешанным произведением трех векторов a,b,c называется число равное векторному произведению [ab], скалярно умноженное на вектор c. И обозначается [ab]c.
Смешанное произведение векторов a,b,c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, b, с, взятому со знаком плюс, если тройка a,b,c правая, и со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы а, b, с компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение abc равно нулю; иначе говоря, равенство
есть необходимое и достаточное условие компланарной векторов.
Свойства:
-
Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. .
-
Смешанное произведение не меняется при перемене местами векторного и скалярного произведений, т.е.
-
Смешанное произведение меняет знак при перемене местами любых двух сомножителей, т.е.
-
Смешанное произведение равно нулю только тогда когда векторы компланарны.
Вычисление в прямоугольных декартовых координатах:
Пусть заданы векторы . Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений.
Полученную формулу можно записать короче:
Билет 7. Уравнения линий на плоскости и поверхностей в пространстве. Теорема о геометрическом смысле уравнении первой степени с 2 и 3 неизвестными.
-
|| Уравнение называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
-
Из определения следует, что линия L представляет собой множество всех тех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению . Это уравнение задаёт линию L.
-
Линия L может определяться уравнением вида , где - полярные координаты точки.
-
|| Уравнение является уравнением поверхности S в заданной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки , и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.
-
Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей, то есть как множество точек, находящихся одновременно на двух поверхностях, и соответственно этому определять линию заданием двух уравнений.
-
Теорема о геометрическом смысле линейного уравнения с тремя неизвестными.
-
Пусть давно уравнение
-
- прямоугольные декартовые координаты в трёхмерном пространстве.
Уравнение 1 с условием на коэффициенты при неизвестных 2 задаёт в прямоугольных декартовых координатах плоскость π.
-
Пусть , тогда
Выясним геометрический смысл 5
Вывод: все точки M, координаты которых удовлетворяют 5, принадлежат плоскости π, которая перпендикулярна нормальному вектору n и содержит точку
Аналогично с двумя неизвестными
Билет 8. Различные типы уравнений прямой на плоскости и плоскости в пространстве.
-
Общее уравнение прямой
Рассмотрим уравнение первой степени относительно x и y в общем виде, где А, В, С – произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно. Покажем, что приведенное выше уравнение – уравнение прямой линии. Возможны 2 случая.
-
Если, то уравнение имеет вид , причем , отсюда . Это есть уравнение прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку
-
Если, то . Это уравнение прямой с угловым коэффициентом
-
Частные случаи уравнения прямой:
-
Если , то . Прямая параллельна оси Оx
-
ЕслиВ = 0, то . Прямая параллельна оси Oy
-
Если, то получаем , прямая проходит через начало координат.
-
-
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
Пусть прямая проходит через точку М и ее направление характеризуется угловым коэффициентом к. Уравнение этой прямой можно записать в виде , где b – пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку М, то координаты точки удовлетворяют уравнению , отсюда . Подставив значение b в уравнение , получим искомое уравнение
-
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.
Пусть прямая проходит через точки . Уравнение прямой проходящей через точку имеет вид , где к- пока неизвестный коэффициент. Так как прямая проходит через точку , то координаты точки должны удовлетворять уравнению . Отсюда находим , подставляя k в уравнение получим уравнение прямой проходящей через точки .
Предполагается что . Если , то прямая параллельна оси ординат, если же , то прямая параллельна оси абсцисс.
-
Уравнение прямой в отрезках
Пусть прямая пересекает ось ОХ в точке М1(a;0), а ось ОУв точке М2(0;b). В этом случае уравнение примет вид: , т.е. . Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках так как числа а и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.
-
Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору
Найдем уравнение прямой проходящей через заданную точку М0 и перпендикулярно некоторому вектору n(А;В). Возьмем на прямой произвольную точку М(Х;У) и рассмотрим вектор поскольку векторы перпендикулярны их скалярное произведение равно 0. .
-
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку , перпендикулярно данному вектору
Пусть в пространстве OXYZ плоскость Qзадана точкой M0(X0;Y0;Z0) и вектором n(A;B;C) перпендикулярным к этой плоскости. Возьмем на плоскости точку M(X;Y;Z). Построим вектор M0M=(X-X0;Y-Y0;Z-Z0). Вектора M0Mиn перпендикулярны и их скалярное произведение равно 0..
-
Общее уравнение плоскости
Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными xyz
, предполагая, что один из коэффициентов неравен 0. НапримерВ.
Получим
-
Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки
Найдем уравнение плоскости. Проходящей через точки , не лежащих на одной прямой. Возьмем на плоскости точку M(X;Y;Z) и соответственные вектора: M1M=(X-X1;Y-Y1;Z-Z1), M2M=(X-X2;Y-Y2;Z-Z2), M3M=(X-X3;Y-Y3;Z-Z3) из условия компланарной получаем: M1M*M2M*M3M=0(смешанное произведение равно 0).
-
Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость отсекает на осях отрезки a, b, c и проходит через точки A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) подставляем координаты точек в уравнение и получаем:
Найдем определитель такое уравнение называетсяуравнением плоскости в отрезках.
-
Нормальное уравнение плоскости
Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора е, имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра. Пусть ОК =р , аα,β,γ – углы, образованные единичным вектором е с осямиОх, Оу, Oz. Тогда . Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и соединим её с началом координат. Получим вектор. Проекция радиус вектора r на направление вектора е равна
. Это уравнение называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты r и руравнение приобретает вид это нормальное уравнение плоскости в координатной форме.
Билет 9. Различные типы уравнений прямой в пространстве, их взаимосвязь.
|
(Векторное параметрическое уравнение прямой) |
-
Исключим из (2) t
(коэффициенты в знаменателе могут равняться нулю.)
-
Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений
-
Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость. Если плоскости не параллельны (координаты векторов не пропорциональны), то система 4 определяет прямую как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы
-
От общих уравнений можно перейти к каноническим. Координаты точки получаем из системы уравнений 4, придав одной из координат произвольное значение (например, z=0).
-
Так как прямая перпендикулярна векторам , то за направляющий вектор прямой можно принять векторное произведение
Замечание: все рассмотренные типы уравнений прямой переносятся на случай прямой на плоскости исключением третьих координат векторов.
Билет 10. Определение расстояния от точки до плоскости и до прямой на плоскости, до прямой в пространстве. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми в пространстве.
-
Определение расстояния от точки до плоскости
-
Пусть задана точка и плоскость Q своим уравнением
-
. Расстояние d от точки до плоскости рассчитывается по формуле:
-
Расстояние d равно модулю проекции вектора , где – произвольная точка плоскости Q, направление нормального вектора . Следовательно,
А так как точка принадлежит плоскости Q, то отсюда . Поэтому
-
Если плоскость задана уравнением , то
-
Определение расстояния от точки до прямой на плоскости
Пусть заданы прямая L уравнением и точка . Расстояние d от точки до прямой равно модулю проекции вектора , где – произвольная точка на прямой, направление нормального вектора . Следовательно
А так как точка принадлежит прямой L, то отсюда . Поэтому
-
Определение расстояния между скрещивающимися прямыми
Пусть – скрещивающиеся прямые. Натянем на них параллелепипед, тогда расстояние будет равно объему параллелепипеда деленному на его основание и равно его высоте:
Билет 11. Определение углов между плоскостями, между прямыми на плоскости и в пространстве, между прямой в пространстве и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.
-
Вычисление углов между плоскостями.
-
Пусть заданы 2 плоскости
-
-
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
-
Вычисление углов между прямыми на плоскости
-
Пусть заданы 2 прямые
-
-
Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
-
Вычисление угла между прямыми в пространстве
-
Пусть заданы две прямые
-
-
Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
-
Вычисление угла между прямой и плоскостью в пространстве
-
Пусть заданы прямая и плоскость
-
|
|
Билет 12. Кривые 2-го порядка как геометрические места точек на плоскости. Канонические уравнения кривых (вывод одного из них)
-
Линии, которые задаются уравнением вида: . Коэффициенты уравнения – действительные числа, но по крайней мере одно из чисел A, B, или C отлично от нуля. Данное уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу и параболу.
-
Уравнения кривых второго порядка:
-
Окружность:
-
Эллипс: Обозначим фокусы через расстояние между ними через 2с, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов – через 2а. по определению: . Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка . Тогда фокусу будут иметь следующие координаты и . Пусть M(x; y) – произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, , т. е. . Это по сути и есть уравнение эллипса. Преобразуем его к более простому виду:
Так как , то . Допустим, что , тогда последнее уравнение примет вид или это и есть каноническое уравнение эллипса
-
Гипербола:
-
Парабола:
Билет 13. Исследование свойств кривых второго порядка по их каноническим уравнениям.
-
ЭЛЛИПС
-
Каноническое уравнение кривой
-
Исследование формы эллипса по его уравнению.
-
Параметры называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно).
-
Точки
-
Оси симметрии
-
Центр симметрии
-
Точки , называются фокусами эллипса
-
Векторы
-
Числа , принадлежащей эллипсу.
-
В частном случае фокусы совпадают с центром, а каноническое уравнение имеет вид:
-
Эксцентриситет
-
Директрисы
-
-
-
ГИПЕРБОЛА
-
Каноническое уравнение кривой
-
Исследование формы гиперболы по её уравнению.
-
Параметры называются полуосями гиперболы
-
Точки
-
Оси симметрии
-
Центр симметрии
-
Прямые
-
Точки
-
Векторы
-
Числа , принадлежащей гиперболе.
-
Эксцентриситет
-
Директрисы
-
В частном случае , гипербола называется равносторонней; её эксцентриситет равен , а угол между асимптотами равен
-
-
-
ПАРАБОЛА
-
Каноническое уравнение кривой
-
Исследование формы параболы по её уравнению.
-
Число называется параметром параболы
-
Точка вершина параболы
-
Ось
-
Точка
-
Вектор
-
Число - фокальный радиус точки параболы
-
Директриса
-
-
Билет 14. Директрисы и эксцентриситет кривых второго порядка. Фокальные свойства и общий подход к заданию уравнений кривых второго порядка в полярной системе координат.
-
Директрисы и эксцентриситет
-
Эллипс
-
Эксцентриситет – мера сплюснутости. Если эксцентриситет равен 0, то эллипс = окружность. ,
-
Директрисы – прямые параллельные главной оси и проходящие на расстоянии от центра
-
-
-
Сумма расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов равна 2а
-
Гипербола
-
Эксцентриситет – мера сплюснутости. Если , то гипербола равносторонняя. ,
-
Директрисы – прямые перпендикулярные действительной оси и проходящие на расстоянии от ее центра
-
-
Модуль разности расстояний от точек гиперболы до фокусов равен 2а
-
Парабола
-
Директриса – прямая перпендикулярная оси и проходящие на расстоянии от вершины параболы
-
-
Общий подход к заданию уравнений кривых второго порядка в полярной системе координат
Говорят, что на плоскости введена полярная система координат , если заданы:
-
некоторая точка О, называемая полюсом;
-
некоторый луч и, исходящий из точки О и называемый полярной осью
Полярными координатами точки называются два числа: полярный радиус и полярный угол ) — угол, на который следует повернуть ось u для того, чтобы ее направление совпало с направлением вектора (при этом, как обычно, , если поворот осуществляется против часовой стрелки, и в противном случае). Запись означает, что точка М имеет полярные координаты r и φ.
Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида ). Значение полярного угла, удовлетворяющее условию , называется главным. В некоторых случаях главным значением полярного угла называют значение φ, удовлетворяющее условию
Пусть на плоскости введены правая декартова прямоугольная система координат Оху (т.е. такая, что кратчайший поворот от оси Ох к оси Оу происходит против часовой стрелки) и полярная система (О;u), причем полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. Тогда связь между декартовыми прямоугольными и полярными координатами произвольной точки дается формулами
Уравнение кривой в полярных координатах имеет вид или . Оно может быть получено либо непосредственно, исходя из геометрических свойств кривой, либо переходом к полярным координатам в уравнении этой кривой, заданном в декартовых прямоугольных координатах.
Билет 15. Линейные пространства и подпространства, примеры линейных пространств и подпространств.
Будем строить теорию линейных пространств, не заботясь о природе их элементов, а задавая только операции над ними, да и то не конкретно, а с помощью их свойств (св-в операций).
-
Определение линейного пространства
-
|| линейным пространством называется множество с элементами произвольной природы, для которого:
-
Определена операция сложения
-
-
Эти операции предполагаются удовлетворяющими следующим 8 аксиомам:
-
+
-
-
-
Примеры линейных пространств
-
Для выяснения, является ли конкретное множество с заданными на нём операциями сложения и умножения на число линейным пространством, нужно проверить возможность ввести операции «+» и «*» и справедливость всех 8 аксиом
-
Примеры
-
Множество действительных чисел
-
Множество
-
Множество многочленов в степени, не превышающей n
-
-
-
Матрицы
Билет 16. Линейная зависимость, свойства линейно зависимых и независимых систем векторов в линейном пространстве.
-
– линейная комбинация в L (1)
-
Назовем 1 тривиальной комбинацией если все коэффициенты обращаются в 0
-
Назовем 1 нетривиальной комбинацией если
-
-
Система векторов линейного пространства называется линейно зависима если существует её нетривиальная комбинация равная нуль-вектору.
-
Система векторов линейного пространства называется линейно независимой если любая из ее линейных комбинаций равна 0 и является тривиальной.
-
Простейшие свойства
-
Теорема 1. Критерий линейной зависимости.
-
Система векторов линейно зависима тогда когда хоть один из ее векторов является линейной комбинацией остальных.
линейно зависима, тогда:
; (2)
-
Теорема 2. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима
- линейно зависима
, тогда (3)
Из 3 следует, что система линейно зависима.
-
Теорема 3. Если любая подсистема линейно независима, то и вся система линейно независима.
- линейно независима
, тогда – линейно независима, но тогда вся система линейно независима
-
Геометрические свойства линейной зависимости
-
Теорема 4. Тройка компланарных векторов в линейно зависима
-
предположим, что противном случае для , тогда пара векторов будет линейно зависима, а значит и вся система будет линейно зависима.
Если не компланарна, то по теореме о разложении по базису
и тогда система будет линейно зависима.
-
Теорема 5. Любые 4 вектора в линейно зависимы.
Как и в Т.4 предположим, что некомпланарные вектора, иначе система будет линейно зависима. Но тогда – базис , то есть любой четвертый вектор будет линейной комбинацией трех других, значит вся система линейно зависима.
Билет 17. Базис и размерность линейного пространства, теорема о разложении по базису.