-
-
Теорема:
-
(если спросит) Замечание:
Изучать геометрические свойства, связанные с длинами и углами на самом простом пространстве
Билет 22. Линейные операторы. Примеры линейных операторов. Ранг. Ядро. Вырожденные и невырожденные операторы.
Роль функций на линейных пространствах отведена линейным операторам.
-
Линейным оператором называется такое отображение , что для , и выполняются следующие условия
-
Примеры линейных операторов
-
Если
-
Если
-
Изоморфизм является линейным оператором
-
Пусть
-
-
Линейность следует из свойств определённого интеграла
-
Та же фигня с производными
-
Простейшие свойства линейных операторов
-
Образ нуля равен нулю
-
Образ линейной комбинации есть линейная комбинация образов
-
Линейный оператор сохраняет линейную зависимость и линейную независимость систем векторов.
-
-
Понятие ранга и дефекта линейных операторов
-
|| Назовём областью значений линейного оператора множество
-
-
|| Ядро линейного оператора представляет собой подмножество
-
|| Назовём размерность пространства образов рангом линейного оператора
Размерность ядра – дефект
-
Пример. Тождественное линейное преобразование, действующее из
-
Понятие невырожденных линейных преобразований.
-
|| Назовем линейное преобразование называется невырожденным, если его ядро состоит только из нулевого элемента
-
Пример.
-
-
! Если невырожденное, то дефект А равен нулю.
-
Свойство 1: для любого для невырожденного преобразования существует единственный прообраз.
-
Докажем от противного
-
-
-
Свойство 2: произведение конечного числа линейных невырожденных преобразований невырождено.
-
Докажем свойство 2 для двух сомножителей.
-
-
! Замечание: для суммы свойство 2 неверно
Билет 23. Матрицы линейных операторов. Действия с линейными операторами и их матрицами.
Покажем, что общим способом задания линейных операторов является задание с помощью матрицы.
-
Пусть дано
-
Вывод: Линейное преобразование задано выражением 3 однозначно и полностью описано матрицей
-
(писать если спросит) Матричный смысл
-
1.
-
-
2.
|
-
Операции над матрицами
-
Пусть дано отображение
-
Тогда введём новое отображение
-
Составим матрицу
-
Складывать по формуле 1 можно только однотипные матрицы
-
-
Однотипные матрицы будут образовывать линейные пространства по отношению к введённым операциям сложения и умножения на число
-
-
Умножения матриц
-
Пусть даны
-
-
Из определения умножения операторов следует то, что можно перемножить согласованные матрицы , чтобы у левой столбцов было столько, сколько строк во второй.
Билет 24. Обратные преобразования, обратные матрицы.
-
Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
-
Свойства обратной матрицы
-
-
Обратное преобразование.
-
Свойство 1: для любого для невырожденного преобразования существует единственный прообраз.
-
Докажем от противного
-
-
Пусть
Тогда по свойству 1:
Для всех :
- обратное линейное преобразование A
Тогда:
Билет 26. Ранг матрицы и способы его нахождения. Теорема о базисном миноре.
-
Ранг матрицы
Рангом матрица A называют число R которое равно максимальному порядку ее минором отличных от 0.
Ранг нулевой матрицы равен 0. Для определения ранга используется следующие преобразования, называемые элементарными:
-
Умножение столбца на число отличное от 0
-
Сложение любых столбцов
-
Перемещение любых двух столбцов
-
Аналогичные преобразования для строк
! Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
-
Теорема о базисном миноре
Определитель, полученный из матрицы K*K называется минором матрицы.
Базисным называется минор матрицы отличной от 0, порядок которого равен рангу матрицы, тогда все строки и столбцы этого минора называются базисными.
-
Теорема: Базисные столбцы линейно независимы, а любой столбец – линейная комбинация базисных.
! Аналогичная теорема и для строк.
Предположим, что базисным является левый угловой минор.
(1)
Докажем линейную независимость первых r столбцов от противного.
Пусть – линейно зависимы, тогда один из них есть линейная комбинация остальных. , что противоречит 1 → Столбцы линейно независимы.
-
Докажем, что любой столбец – линейная комбинация первых r мтолбцов.
(2)
(3)
Возьмем произвольную i-ую строку и приведем ее вместе с j-тым
столбцом к следующему определению:
(4)
-
Докажем, что
Для доказательства соотношения 2 разложим по строке:
(5)
– для всех одинаковы
(6)
Билет 27. Теорема о совместимости линейной системы. Правило Крамера в матричной форме.