Геометрическая интерпретация устойчивости.

P­_4­, P­₅, P₆ – САУ устойчивая

P­_7­, P­₁, P₂ – САУ на границе устойчивости.

P­₃, P­₄, P₈– САУ неустойчивая

Мнимая ось определяет границу устойчивости. Левая полуплоскость - область устойчивости, правая полуплоскость - область неустойчивости.

Для того чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости комплексной плоскости.

27Критерий Рауса.

САУ будет устойчивой, если будут положительны все элементы первого столбца матрицы Рауса.

Матрица:

Пример.

Характеристическое уравнение:

Кчастотным критериям относятся критерии: логарифмический, Михайлова, Найквиста.

Основные понятия метода пространства состояний. Решения уравнения состояния линейных непрерывных систем.

Состоянием САУ называется таmin информация об объекте, которая позволяет прогнозировать поведение системы в будущем при известных задающих воздействиях.

В основе лежит описание в виде черного ящика.

Выделяются следующие вектора:

1. вектор входных воздействий - R

2. вектор выходных переменных - Y

3. вектор внутренних переменных - X

Совокупность этих векторов определяет состояние системы (пространства состояния)

Описание системы определяет следующая система уравнений:

,где

A^* - матрица коэффициентов САУ

B^* - матрица входа САУ

C^* - матрица выхода САУ

D^* - матрица обхода САУ

Данное описание позволяет представить все стороны САУ:

• Первое уравнение описывает динамику САУ

• Второе уравнение описывает статику САУ

- обобщенный вектор состояния

Чтобы получить описание в терминах пространства состояния вводят понятие схемы переменных состояния, основой которой является единичный интегратор.

или

Схемы переменных состояния могут быть получены тремя способами:

• Метод прямого программирования

• Метод параллельного программирования

• Метод последовательного программирования

28. Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Гурвица. Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением

,

устойчива, если при a₀>0 положительны все определители ∆₁, ∆₂, . . .∆_п вида

Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива. Если главный определитель ∆_п=0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.

Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для n=1;2;3;4. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.

1. Для уравнения первого порядка (n=1)

условие устойчивости: а₀>0 и ∆₁=а₁>0, т.е. для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.

2. Для уравнения второго порядка (n=2)

условие устойчивости:

Т.о., и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.

3. Для уравнения третьего порядка (n=3)

условие устойчивости:

При n=3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля и произведение средних коэффициентов уравнения (а₁, а₂) было больше произведения крайних (а₀, а₃).

4. Для уравнения четвертого порядка (n=4)

кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия

.

При n=4 система будет устойчива при всех коэффициентах больших нуля и при

.

Т.о., для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель

∆_п-1 были положительными.

Алгебраические критерии устойчивости для систем выше пятого порядка становятся трудоемкими для вычисления. Кроме того, алгебраические критерии не отражаются наглядностью, поэтому на практике широкое распространение получили частотные критерии устойчивости: критерий Михайлова, критерий Найквиста. И тот, и другой критерии базируются на принципе комплексного аргумента.

.