6.3. Пример расчета консольной балки на прочность по нормальным напряжениям Пример

Для заданной балки (рис. 6.3) из условия прочности по нормальным напряжениям определить размеры различных по форме поперечных сечений: двутавра, прямоугольника (с соотношением сторон = 1,8), квадрата, круга, кольца (при = = 0,8) и оценить их рациональность.

a = 1,0 м, b = 1,4 м, F = 18 кН, q = 20 кH/м, М = 16 кHм, [] = 160 МПа.

Решение

Составить уравнения поперечных сил и изгибающих моментов по участкам и построить их эпюры.

Запишем уравнения статики и определим опорные реакции:

: ;

;

: ;;

Проверка: :.

Выражения для внутренних усилий Q_у, М_х получим с помощью метода сечений. Поперечная сила в произвольном сечении балки равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения. При этом поперечная сила считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа – вниз, т.е. стремится сдвинуть левую отсеченную часть балки относительно правой вверх.

Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно данного сечения всех внешних сил, приложенных к отсеченной части. Момент считается положительным, если сжатые волокна находятся в верхней части сечения балки.

На рис. 6.3, а показаны выделенные участки балки. Запишем для каждого из них выражения внутренних усилий и найдем их значения на границах участков.

1. м.

; ;.

; ;

.

2. м.

;

; ;.

3. м.

.

; ;

.

Рис. 6.3

Построение эпюр Q_у, М_х проводится по участкам на основе полученных уравнений. Положительные значения ординат откладываются выше оси, отрицательные – ниже. На первом участке поперечная сила линейно зависит от координаты, возрастая от нуля в начале участка до 40 кH в конце. Эпюра Q_у на этом участке ограничена отрезком прямой, проходящей через указанные значения. Изгибающий момент имеет на данном участке уравнение квадратной параболы с вершиной в сечении z₁ = 0, т.е. там, где равна нулю поперечная сила, являющаяся производной от М_х по координате z. Эпюра изгибающего момента ограничена кривой второго порядка, проходящей через точки с координатами 16 кHм и –24 кHм, соответственно на правой и левой границах участка. Парабола имеет выпуклость, направленную навстречу распределенной нагрузке.

На втором и третьем участках поперечная сила имеет постоянные значения, соответственно 40 кH и 22 кH. Изгибающий момент меняется по линейному закону – эпюра М_х ограничена на участках отрезками прямых, проходящих через точки с ординатами –24 кHм, –80 кHм на втором и –80 кHм, –102 кHм на третьем участках. Результаты построения эпюр Q_у, М_х приведены на рис. 6.3.

Наиболее опасным является сечение А, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по модулю значения .

Произвести проверку с помощью дифференциальных зависимостей.

Построение эпюры проводится в соответствии с формулой (6.1) на основе известных дифференциальных зависимостей между Q_у, М_х и интенсивностью распределенной нагрузки q.

В нашем случае на первый участок действует распределенная нагрузка q = const, следовательно, поперечная сила должна быть линейной функцией координаты z₁, а изгибающий момент должен меняться по закону квадратной параболы. Эпюра изгибающих моментов не имеет экстремумов, поскольку эпюра ее производной Q_у не пересекает ось (исключением является сечение D). Второй и третий участки свободны от распределенной нагрузки, т.е. производная функции Q_у тождественно равна нулю, следовательно, сама поперечная сила должна быть постоянна в границах каждого участка, а эпюра изгибающего момента описывается прямой наклонной линией.

В тех сечениях, где балка нагружена сосредоточенными внешними силами, на эпюре Q_у должно скачком меняться значение ординаты на величину этой силы с учетом ее направления. В нашем случае это происходит в сечении А, где возникает реакция R_А, и в сечении В, где приложена нагрузка F. На эпюре М_х аналогичные скачки имеют место в сечениях А и D, где действуют сосредоточенные внешние моменты. Анализируя все перечисленное, делаем вывод о правильности построения эпюр.

Подобрать размеры указанных выше сечений из условия прочности по нормальным напряжениям.

Из условия прочности при изгибе определим требуемое значение момента сопротивления сечения балки:

.

Определим размеры указанных сечений, обеспечивающие прочность балки.

1. Подбираем по ГОСТ 8239–72 номер двутавра, момент сопротивления которого наиболее близок к расчетному. В данном случае подходит двутавр № 36, у которого W_x = 743,0 см³, площадь сечения А = 61,9 см².

Определим наибольшее значение возникающих при этом напряжений:

.

2. Определяем размеры прямоугольного сечения с отношением сторон = 1,8.

;

;

.

Окончательно выбираем размер по ГОСТ 6636–69: b = 110 мм, А = bh = 217,810^–4 м².

Вычисляем наибольшее напряжение:

.

3. Определяем размер квадратного сечения.

; ;.

Окончательно: а = 160 мм, А = a² = 25610^–4 м².

Определяем наибольшее напряжение:

.

4. Определяем размеры круглого сечения.

; ;

Принимаем по ГОСТу d = 200 мм, площадь сечения .

Определим наибольшее напряжение:

.

5. Определяем размеры кольцевого сечения с отношением внутреннего и внешнего диаметров .

; ;.

Принимаем D = 250 мм, d = 200 мм.

Площадь сечения .

Вычисляем наибольшее напряжение:

.

Оценить рациональность подобранных сечений.

1. Двутавр: .

2. Прямоугольник: .

3. Квадрат: .

4. Круг: .

5. Кольцевое сечение: .

Как видим, наиболее рациональными при изгибе являются тонкостенные сечения, двутавр, кольцевое сечение.

Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении (для двутавра, кольца).

Напряжения в опасном сечении меняются по линейному закону

,

достигая максимума в наиболее удаленных от оси точках.

На рис. 6.4 показаны эпюры напряжений для указанных сечений.

6.4. Пример расчета на прочность двутавровой балки по нормальным и касательным напряжениям. Расчет по теориям прочности

Пример

Для заданной стальной балки (рис. 6.5) из условия прочности подобрать номер двутавра по ГОСТ 8239–72 и произвести полную проверку прочности.

а = 0,4 м, b = 0,6 м, l = 2,4 м, F = 150 кH, q = 200 кH/м, М = 20 кHм, [] = 160 MПа, [] = 0,6·[] = 96 МПа.