3.6. Примеры определения геометрических характеристик сложных фигур Пример 1

Определить для заданного плоского сечения (рис. 3.5) положение главных центральных осей и вычислить главные моменты инерции и радиусы инерции. R = 5 см.

Решение

1. Определение центра тяжести фигуры.

а) разобьем фигуру на полуокружность и треугольник, проведем центральные оси х₁ – у₁, х₂ – у₂ этих фигур, параллельные сторонам треугольника;

б) проведем вспомогательные оси, относительно которых будем находить смещение центра тяжести всей фигуры. Вспомогательные оси рациональнее совмещать с центральными осями какого-либо из элементов сложной фигуры, т.к. статический момент данного элемента относительно этих осей будет равен нулю. В рассматриваемом примере вспомогательные оси совместим с осями х₁ – у₁ (центральные оси полуокружности);

в) используя зависимости (3.3), определяем центр тяжести фигуры и проводим центральные оси х_С – у_С.

.

Центр тяжести С всей фигуры должен лежать на прямой, соединяющей центры тяжести полуокружности и треугольника.

2. Определяем моменты инерции относительно центральных осей, применяя зависимость (3.7).

;

, .

;

;

;

;

;

;

;

.

3. Определение положения главных центральных осей и величину главных центральных моментов инерции.

;

.

Так как ₀  0, ось х_С должна быть повернута до совмещения с главной осью U по часовой стрелке , следовательно,,.

; ;

.

4. Определяем главные радиусы инерции:

;

Пример 2

Определить для плоского сечения, изображенного на рис. 3.6, положение главных центральных осей и вычислить главные моменты инерции и радиусы инерции. Швеллер № 30, уголок 1258010.

Справочные данные:

№ 1258010

В = 12,5 см, b = 8 см,

А = 19,7 см², J_х = 311,61 см⁴,

J_у = 100,47 см⁴, J_ху = 102,0 см⁴,

x₀ = 1,92 см, y₀ = 4,14 см.

№ 30

h = 30 см, b = 10 см,

А = 40,5 см²,

J_х = 5810 см⁴, J_у = 327 см⁴,

z₀ = 2,52 см.

Решение

1. Выбираем вспомогательные оси, совпадающие с центральными осями (х₂ – у₂) швеллера, определяем центр тяжести фигуры аналогично предыдущему примеру.

;

;

;

.

2. Определяем моменты инерции относительно центральных осей.

;

см⁴

см⁴

см

см

3. Определяем направление главных центральных осей и величину главных центральных моментов инерции.

;

.

Ось х необходимо повернуть против часовой стрелки на угол ₀ до совмещения с главной осью U.

;

;

; ;

.

4. Определяем главные радиусы инерции:

Контрольная работа № 2. Геометрические характеристики плоских сечений

Для заданного плоского сечения определить положение главных центральных осей и вычислить основные геометрические характеристики.

Типы сечений и числовые данные выбираются в соответствии с шифром по рис. 3.7 и табл. 3.1.

Сведения о геометрических характеристиках прокатных профилей даны в ГОСТ 8239–72 (двутавры), ГОСТ 8240–72 (швеллеры), ГОСТ 8509–86 (уголки равнополочные), ГОСТ 8510–86 (уголки неравнополочные).

Таблица 3.1

Номер строки	Цифра шифра
	1-я	2-я	3-я	4-я	5-я	6-я
	Тип сечения	№ швел-лера или двутавра	Размеры равнополочного уголка	b, см	R, см	Размеры неравно-полочного уголка
1	1	12	7070´8	10	6	75´60´6
2	2	14	80´80´8	12	8	80´50´8
3	3	16	90´90´9	14	10	90´56´8
4	4	18	100´100´10	11	12	100´63´10
5	5	20	110´110´8	13	14	110´70´8
6	6	22	120´120´12	15	7	125´80´10
7	7	24	140´140´12	16	9	140´90´10
8	8	24а	150´150´10	17	11	160´100´12
9	9	30	160´160´14	18	13	180´110´12
0	10	36	180´180´12	20	15	200´125´14