4.7. Пример расчета при напряженном состоянии

Вопасной точке детали, выполненной из пластичного материала с пределом текучести_т = 300 МПа, произвести анализ плоского напряженного состояния, заданного напряжениями на двух взаимно перпендикулярных площадках, и оценить прочность материла в данной точке (рис. 4.12).

Исходные данные:

|_х| = 90 МПа, |_у| = 30 МПа,

|_х| = 40 МПа,  = 25, Е = 210⁵ МПа.

Решение

1. Согласно принятым правилам присваиваем заданным напряжениям и углу  следующие знаки: _х = 90 МПа, _у = –30 МПа, _х = –40 МПа,  = –25.

2. Определяем положения главных площадок:

;

.

3. Находим величины главных напряжений:

Положение главных площадок и действующие на них главные напряжения показаны на рис. 4.13. Для этого отложим от нормали к вертикальной площадке против часовой стрелки угол₀ = 16,85, получим направление большего по величине главного напряжения ₁ = 102МПа, (так как _х > _у, то угол ₀ определяет положение главной площадки, где действует _max). По перпендикулярной ей главной площадке действует напряжение ₃.

4. Определяем напряжения на взаимно перпендикулярных площадках, повернутых относительно исходных на угол  = ^–25.

Полученные результаты нанесем на исходный элемент (см. рис. 4.11).

5. Вычисляем наибольшие касательные напряжения:

6. Определяем главные деформации:

7. Вычисляем относительное изменение объема:

.

8. Вычисляем эквивалентное напряжение по четвертой теории прочности:

9. Определяем коэффициент запаса прочности:

.

Прочность детали обеспечена.

Вопросы для самопроверки

1. Какие существуют виды напряженного состояния? Дайте их определение.

2. Каковы правила знаков для нормальных и касательных напряжений?

3. Что называется главными площадками, главными напряжениями? Как они определяются?

4. Как записывается обобщенный закон Гука?

5. Как определяется относительное изменение объема?

6. Как вычисляется удельная потенциальная энергия деформации? Назовите составные части полной деформации.

7. Раскройте понятия коэффициента запаса прочности, эквивалентного напряжения, равноопасности напряженных состояний.

8. Расскажите о теории прочности, применяемые в расчетах на прочность для хрупкого материала; для пластичного материала.

Глава V. Кручение

5.1. Понятие о крутящем моменте. Внешние нагрузки, вызывающие кручение

Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает единственный силовой фактор – крутящий момент М_к. Стержни, работающие на кручение, называют валами.

Кручение возникает под действием внешних моментов (пар сил), действующих в плоскостях, перпендикулярных продольной оси вала. Внешние моменты передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес, турбин и т.п.

Часто в технических задачах известны мощность, передаваемая валом, и число оборотов вала. По этим данным может быть вычислен скручивающий внешний момент:

, (5.1)

где , или

(5.2)

где N – мощность, Вт; n – частота вращения, об/мин.

5.2. Внутренние силовые факторы.Эпюра крутящих моментов

Для определения крутящих моментов, возникающих в поперечных сечениях вала под действием внешних скручивающих моментов, применяют метод сечений.

Примем следующее правило знаков при анализе крутящих моментов в сечении: крутящий момент в сечении а-а прини- мается положительным, если при взгляде со стороны внешней нор- мали к сечению скручивающий момент вращает отсеченную часть по часовой стрелке.

Следовательно, согласно принятому правилу знаков, крутящий момент М_к в сечении а-а будет положительным.

При действии на отсеченную часть нескольких внешних моментов крутящий момент в сечении находится как алгебраическая сумма внешних скручивающих моментов, действующих по одну сторону от сечения.

Для того чтобы судить о характере распределения крутящих моментов по длине вала, строят эпюру этих силовых факторов.

Для упрощения внешние моменты будем условно обозначать в виде двух кружков, соединенных линией. Кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, с крестиком – от наблюдателя (рис. 5.2, а).

Поясним построение эпюры крутящих моментов на следующем примере: рассмотрим вал АЕ (рис. 5.2, б), опирающийся на подшипники и нагруженный в сечениях А, В, С, D, Е сосредоточенным крутящими моментами, а на участке СD – распределенным крутящим моментом (m). Вал под действием указанных моментов находится в равновесии.

Проведем сечение а-а на участке АВ. Из условия равновесия левой от сечения части получаем М_к = 200 Нм.

В сечении b-b на участке ВС М_к = 200 – 400 = –200 Нм.

В сечении с-с на участке CD М_к = 200 – 400 – 600 + 100z, м.

При z = 0 М_к = –800 Нм, при z = 1 м М_к = –700 Нм.

В сечении d-d на участке DE М_к = 200 – 400 – 600 + 100 + + 200 = –500 Нм.

Эпюра крутящих моментов имеет форму прямоугольников, за исключением участка, на котором приложен распределенный крутящий момент. Следует отметить, что в том сечении, где имеется сосредоточенный крутящий момент, ордината эпюры скачкообразно изменяется на величину приложенного здесь момента.