Лабораторный практикум по физике оптика

Лабораторная работа №24

ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ – ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ ПРОВОДНИКА.

Цель работы

Изучение статистики Ферми-Дирака применительно к описанию электронов в металлах на примере эффекта Зеебека. Определение химического потенциала металла на основании измерений постоянной термопары.

Основы теории

Распределение Ферми-Дирака представляет собой статистическое распределение фермионов — квантовых частиц с полуцелым спином. У фермионов спин, т.е. проекция на выделенную ось собственного момента импульса, может принимать только полуцелые значения. Электроны являются фермионами. У электронов спин s = ± 1/2.

Для получения функции распределения Ферми-Дирака рассмотрим закрытую термодинамическую систему, состоящую из термостата и подсистемы квантовых частиц. В силу закона сохранения энергии, энергия подсистемы и термостата связаны согласно первому началу термодинамики. Для постоянного числа частиц изменение внутренней энергии подсистемы возможно в результате изменения температуры и совершения работы:

т.е. химический потенциал равен увеличению внутренней энергии теплоизолированной равновесной подсистемы при увеличении числа ее частиц на единицу.

Вероятность i - го состояния квантовой подсистемы с энергией Ei подчиняется распределению Гиббса:

170

где F - свободная энергия, которая для открытой квантовой подсистемы имеет вид:

здесь Ω - омега-потенциал, который находится из условия нормировки вероятности. С учетом формул (5), (4) и принципа Паули вероятность существования фермиона в выбранном

Условие нормировки вероятности для фермионной подсистемы имеет вид

описанию электронов в металлах можно на примере эффекта Зеебека, т.е. изучая термоэлектронные явления, возникающие при контакте металлов.

Величина контактной разности потенциалов зависит от многих факторов, но, прежде всего – от химических свойств граничащих веществ. Одно из практических применений явления возникновения контактной разности потенциалов – это измерение температуры. Таким образом можно измерять как очень низкие, так и очень высокие температуры.

Термоэлектрическая электродвижущая сила (ТЭДС) в

171

где

- постоянная термопары, а Тср - средняя температура контактов.

Величина ТЭДС зависит от разности температур и материалов термоэлемента, но не зависит ни от длины, ни от диаметра термоэлектродов.

Термопарой (термоэлементом) называется цепь из двух разнородных проводников, концы которых электрически соединены. Это соединение может быть паянным либо сварным, в зависимости от интервала измеряемых температур и материалов термопары.

Перед использованием термопары в качестве термометра производится градуировка – экспериментальное определение

зависимости ε T = f (T) при различных температурах рабочего

спая термопары и постоянной определенной температуре свободного спая. При небольших интервалах измеряемых температур коэффициент α термопары в формуле (11) постоянный и ТЭДС линейна по температуре.

Экспериментальная часть.

Описание установки

Внешний вид экспериментальной установки изображен на рис.1.

На передней панели расположены: PU1 - мультиметр;

PT1 - индикатор термометра;

S1 - кнопка включения установки «сеть» с индикатором;

S2 - тумблер включения нагревания печи – «нагреватель»;

S3 - тумблер включения термометра – «термометр»;

S4 - ручка регулировки нагрева печи – «нагрев» (позиция против часовой стрелки до упора – печь выключена);

S5 - переключатель термопар – «термопары» (позиция «0» - термопары не подключены).

172

Рис. 1.

Кнопкой S1 «сеть» включается установка. Тумблером S2 включается нагреватель печи термостата. Многопозиционным переключателем S4 плавно устанавливается температура термостата (до 250 C ). Переключатель S5 подключает одну из трех термопар к цифровому милливольтметру PU1 мультиметра. Температура термостата, а, следовательно, и термопар, измеряется цифровым термометром с индикатором PT1. Термометр включается тумблером S3.

Экспериментальная установка позволяет найти зависимость ТЭДС от температуры ε T = f (T) для хромель-копелевой, хромель-алюмелевой и алюмель-копелевой термопар.

Порядок выполнения работы

1.Плавно изменяя температуру термостата переключателем S4 «нагрев», начать измерения с

температуры 30 ё 40 oС и с шагом 10 oС достичь 100 oС . Записать значения температуры и

173

соответствующей ей ТЭДС для каждой термопары в таблицу 1. Рассчитать абсолютную температуру.

Таблица 1

2. По данным измерений построить зависимости

3.Считая, что в исследуемом интервале температур

зависимости ε T = f (T) для термопар линейны,

найти α 1,α 2,α 3 для каждой термопары как тангенс

угла наклона соответствующего графика и записать эти значения в таблицу 2. В таблице 2 также приведены известные в литературе величины удельных ТЭДС (постоянные термопар).

Таблица 2

4.Полученные экспериментальные значения α 1,α 2,α 3 позволяют на основании формулы (12) записать систему уравнений

174

Tcp = (Tmax − Tmin)/2.

5.Для нахождения химических потенциалов металлов материалов термопар необходимо задать химический потенциал одного из металлов согласно выражению

концентрация электронов металла, которая может быть найдена как

масса металла, z – количество валентных электронов металла. Применяя соотношения (16) и (17) для хромеля, который содержит 90% никеля и 10% хрома, получается,

что n = 1,7×1023см− 3 и химический потенциал хромеля

μ02 = 6,5эВ .

6.Используя уравнения (13) и (14), найти химические потенциалы μ 01 и μ 03 алюмеля и копеля соответственно. Подставив найденные значения μ 01

и μ 03 в уравнение (15), проверить выполнение равенства.

Контрольные вопросы

1.В чем состоит эффект Зеебека?

2.Какие квантовые частицы называются фермионами?

3.Какие значения может принимать спин у электронов?

175

4.Что такое химический потенциал?

5.Объясните условие нормировки вероятности фермионной системы частиц.

6.Напишите функцию распределения Ферми-Дирака.

7.От каких физических величин и факторов зависит термоэлектрическая электродвижущая сила?

8.Что называется термопарой?

9.Чем определяется постоянная термопары?

10.В чем состоит градуировка термопары? 11.Что такое термостат?

12.Чем определяется химический потенциал металла? 13.Правила техники безопасности при выполнении данной

лабораторной работы.

176

температур растет с повышением температуры, в то время как у металлов она уменьшается.

К полупроводникам относятся вещества с полностью заполненной валентной зоной при температуре T = 0 и шириной запрещенной зоны обычно не более 1 эВ. Картина распределения электронов по уровням показана на рис. 1.

При температуре T = 0 (рис.1а) валентная зона полностью занята, а зона проводимости свободна. Проводимость отсутствует, т.е. полупроводник ведет себя как изолятор. При повышении температуры T > 0 (рис.1б) часть электронов переходит в более высокую разрешенную свободную зону, которая становится зоной проводимости. В валентной зоне образуются вакансии, освобождающие соответствующее количество уровней, в результате чего появляется возможность движения электронов в валентной зоне. Во внешнем электрическом поле такие вакансии перемещаются в направлении, противоположном движению электрона так, как если бы они обладали положительным зарядом, равным по величине заряду электрона. Поэтому суммарный ток всех электронов валентной зоны эквивалентен току вакансий. Такие вакантные состояния называются дырками. Движение дырок не является перемещением реальных частиц, оно лишь отображает характер движения всей совокупности электронов валентной зоны. Атом в возбужденном состоянии может находиться ограниченное время, называемое временем жизни возбужденного состояния, после чего атом переходит в основное состояние. Это соответствует переходу электрона назад в валентную зону. Количество электронов в зоне проводимости будет равно количеству дырок в валентной зоне и результирующая проводимость равна сумме электронной (n ) и дырочной ( p) проводимостей. Такая электронно-дырочная проводимость, характерная для чистых (беспримесных) полупроводников с бездефектной кристаллической решеткой, называется собственной:

Таким образом, величина проводимости полупроводника будет зависеть от того, какое количество электронов при данной температуре перейдет в зону проводимости с энергией E .

178

где Ef – параметр системы, называемый уровнем Ферми.

Так как функция f (E) дает вероятность заполнения уровня с энергией E , то при T = 0 все уровни выше уровня Ферми

свободны, а ниже - все заполнены. При E = Ef функция f (E)

при любой температуре имеет значение 1/2. Следовательно, уровень Ферми совпадает с энергетическим уровнем, вероятность заполнения которого равна 1/2. А при T = 0 он лежит посередине запрещенной зоны, смещаясь в сторону зоны проводимости при повышении температуры. Поскольку при не очень высоких температурах для большинства полупроводников ширина запрещенной зоны значительно больше kT , т.е. выполняется условие

то распределение Ферми переходит в классическое распределение Больцмана

и поскольку принято считать, что уровень Ферми лежит посередине запрещенной зоны (хотя в действительности он может

находиться в любом месте запрещенной зоны), то E − Ef = Eg /2

Таким образом, для большинства полупроводников описание проводимости можно проводить на основании более простого распределения Больцмана в виде (6).

Количество электронов, перешедших в зону проводимости, и равное им количество дырок в валентной зоне будет пропорционально вероятности (6). Проводимость, в свою очередь

179