Формула остроградского-гаусса

Рассмотрим трехмерную пространственную область , ограниченную кусочно-гладкими поверхностямии цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны осиz.

Направляющей поверхности служит кусочно-гладкая замкнутая криваяна плоскостиx0y, ограничивающая плоскую область (– проекциянаx0y). В частном случае на кривой может выполняться и равенство, тогдавырождается в линию.

Допустим, что в области определена функциянепрерывная вместе со своей производнойво всей, включая ее границу. Имеем для тройного интеграла в области:

Если ввести в рассмотрение поверхностные интегралы, то в силу установленных формул:

причем первый из интегралов справа распространен на верхнюю сторону поверхности , а второй нанижнюю сторону поверхность . Равенство не нарушится, если мы прибавим к правой части интеграл, распространенный навнешнюю сторону поверхности , так как он равен нулю.

Объединяя все поверхностные интегралы, получим формулу:

где – внешняя нормаль к областина ее поверхности.

Эти формулы установлены нами лишь для цилиндрических брусов, определенным образом ориентированных. Но они верны и для гораздо более широкого класса тел, которые могут быть разложены на части изученного вида с помощью цилиндрических поверхностей с образующими, параллельным оси z. Действительно, осуществив это разложение, мы можем применить к каждой части формулу (*) и затем сложить результаты. Так как интегралы, распространенные на вспомогательные цилиндрические поверхности равны нулю, мы снова приходим к формуле (*).

Можно доказать, что (*) справедлива вообще для тел, ограниченных произвольными кусочно-гладкими поверхностями.

Аналогично (*) имеют место формулы:

если функции P и Q непрерывны в области вместе со своими производнымии.

Сложив все три формулы, придем к формуле Остроградского-Гаусса:

Взяв P=x, Q=y, R=z, получим три формулы для объема тела:

Сложив эти формулы, получим:

Формула интегрирования по частям

Переобозначим координаты Для любых непрерывно дифференцируемых функцийu и v справедлива формула:

. Отсюда следует . Обозначим также. Пользуясь установленными ранее формулами, получим

Пользуясь введенными обозначениями координат и введя так же обозначения:

можем переписать формулу Остроградского-Гаусса в следующем виде:

так как .

Формула грина

Пусть в плоскости x0y задана область , ограниченная замкнутым контуром. Предположим, что прямые, параллельные осямx и y пересекают этот контур не более чем в двух точках, так что контур можно описать любым из следующих двух способов:

, ,	, x,

Пусть в области заданы функцииP и Q, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка.

Рассмотрим интеграл

Представляя его в виде двукратного получим:

Интегралы в правой части последнего выражения являются криволинейными интегралами, взятыми соответственно по верхней: и нижнейчастям контура. Но только направление обхода контуров у этих интегралов различное. Для того, что бы у обоих интегралов было одно направление обхода контура, переменим в первом из них направление интегрирования.

. Отсюда следует:

причем контур обходиться против часовой стрелки.

Аналогично

Здесь для сохранения правила обхода против часовой стрелки нужно изменить порядок интегрирования во втором интеграле справа. Тогда по аналогии получим:

Вычитая (*) из (**) получим формулу Грина:

ЗАМЕЧАНИЕ. Каждая из формул (*) и (**) дает соответствующую формулу интегрирования по частям.