Сторона поверхности

В ряде случаев это понятие интуитивно ясно. Если поверхность задается явным уравнением вида , можно говорить о верхней или нижней стороне поверхности, подразумевая, что осьнаправлена вверх. Если поверхность ограничивает тело, то также легко представить себе её две стороны – внутреннюю и внешнюю.

Рассмотрим гладкую поверхность , замкнутую или ограниченную кусочно-гладким контуром. Взяв на поверхности определенную точку, проведём в ней нормаль, которой припишем определённое направление – одно из двух возможных (они отличаются одно от другого знаками направляющих косинусов). Проведём на поверхности замкнутый контур, исходящий изи возвращающийся в, причём предположим, что контурне пересекает границы поверхности. Заставим точку обойти этот контур и в каждом из последовательных её положений будем приписывать нормали то из двух направлений, в котороенепрерывно переходит направление, выбранное нами в начальном положении . При этом может случиться одно из двух: либо после обхода контура мы вернёмся в точкус тем же направлением нормали, либо же с направлением, противоположному исходному.

Если найдётся такая точка и такой контур, что после его обхода мы вернёмся к исходной точке с противоположным направлением нормали, то такая поверхность называется односторонней. Классическим примером такой поверхности является поверхность Мёбиуса.

Мы такие поверхности рассматривать не будем.

Предположим теперь, что какова бы не была точка и каков бы ни был замкнутый контур, проходящий черези не пересекающий границы поверхности, после обхода его мы неизменно возвращаемся в исходную точкус исходным направлением нормали. При этих условиях поверхность называетсядвусторонней.

Пусть – двусторонняя поверхность. Возьмём на ней любую точку и припишем нормали в этой точке определённое направление. Взяв какую – либо другую точку поверхности, соединим и произвольным путём, лежащим на поверхности и не пересекающим её границы. Заставим точкуперейти из в по этому пути. Если при этом непрерывно изменять направление нормали, то точка придёт в положение с вполне определённым направлением нормали, не зависящем от выбора пути . Действительно, если бы, придя в точку изпо двум различным путями, мы получили бы в точке различные (противоположные) направления нормали, то замкнутый путь привёл бы нас в точкус направлением нормали, отличным от исходного, что противоречило бы двусторонней поверхности.

Таким образом, на двусторонней поверхности выбор направления нормали в одной точке однозначно определяет выбор направления нормали во всех точках поверхности.

Совокупность всех точек поверхности с указанными направлениями нормалей и называется определённой стороной поверхности.

Пусть поверхность задана явным уравнением в предположении, что частные производные и непрерывны. В этом случае направляющие косинусы имеют выражения:

Выбрав перед радикалом определённый знак, мы тем самым устанавливаем во всех точках поверхности определённое направление нормали. В силу сделанных предположений, направляющие косинусы будут непрерывными функциями и положение (направление) нормали будет также непрерывно зависеть от положения точки. Отсюда ясно, что выбор знака перед радикалом в формулах для косинусов определяет сторону поверхности в том именно смысле, какой выше приписан этому понятию.

Если выберем знак +, то во всех точках поверхности будет положительным, т.е. угол, составленный с осью нормалью соответствующей стороне, будет острым. Таким образом, сторона поверхности, определяемая указанным выбором знака, оказывается верхней стороной.