- •Поверхностные интегралы
- •Составители: с.Н. Алексеенко
- •Предисловие
- •Определение направляющих косинусов нормами
- •Площадь поверхности
- •Сторона поверхности
- •Орентация поверхности.
- •Поверхностные интегралы первого типа
- •Поверхностные интегралы второго типа.
- •Формула остроградского-гаусса
- •Формула интегрирования по частям
- •Формула грина
- •Формула стокса
- •Литература
- •Задания
Определение направляющих косинусов нормами
Пусть имеется поверхность, уравнение которой имеет вид ,- произвольная точка на заданной поверхности.
Пересечём заданную поверхность плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно координатной плоскости.
Уравнение такой плоскости имеет вид . Пересечение поверхностис плоскостьюдаёт некоторую кривую, параметрические уравнения которой имеют вид:,,(здесь- параметр).
Вектор, касательный к линии , будет иметь вид.
В точке :.
Также пересечём поверхность плоскостью, через точкупараллельно плоскости. Пересечение поверхностис плоскостьюдаёт некоторую кривую, параметрические уравнения которой имеют вид,,(Здесь- параметр).
Вектор, касательный к линии , будет иметь вид.
В точке :.
Вектор будет направлен по нормали в точке.
, ;.
Искомый единичный вектор нормали, компоненты которого равны направляющим косинусам, будет иметь вид:
; .
;
;
.
ЗАМЕЧАНИЕ. Если взять , топоменяет направление, а следовательно перед радикалами поменяются знаки. Т. е. в общем виде надо перед радикалами ставить «±».
Площадь поверхности
Предварительно рассмотрим искажение площади при проектировании плоских областей.
Пусть плоскости иобразуют между собой двугранный угол, т. е.- это угол между двумя нормалями, проведёнными в каждой из плоскостей к общей точке на линии пересеченияи.
Обозначим линию пересечения через .
Пусть на плоскости задана прямоугольная область, у которой одна сторона параллельна линии, а другая перпендикулярна. Спроектируем областьна плоскость. На плоскостиобразуется прямоугольная область, у которой тоже одна сторона будет параллельна, а другая перпендикулярна. Обозначим сторонупараллельнуючерез, а сторону перпендикулярнуючерез. Для соответствующих сторон, которые мы обозначим через,, будем иметь,. А тогда,, или.
Пусть теперь на плоскости задана криволинейная область. Спроектируем её на плоскость. Обозначим проекцию через. Разобьем областьпрямыми линиями, параллельными и перпендикулярными линии, на некоторое число подобластей. При достаточно мелком разбиении большинство из подобластей будут представлять собой прямоугольники.
Тогда площадь будет приблизительно равна сумме площадей прямоугольников, целиком принадлежащих:
.
Спроектировав линии разбиения на плоскость , разобьём областьна соответствующее число подобластей, из которых будетпрямтугольников.
.
Причем , откуда следует.
При всё более мелком разбиении области на прямоугольники, получим
.
Соответственно . Так как для каждой из подобластей справедливо равенство, гдене зависит от, то приходим к:
.
Выведем это соотношение ещё раз через преобразование интегралов.
Пусть на плоскости задана декартовая система координат, у которой одна ось совпадает с линией пересечения плоскостейи, а другая перпендикулярна ей. Пусть это осии. Тогда. Спроектируем оси измененияина плоскость. Обозначим проекциии. Введём на осях те же единицы длины, что и на осяхи.
Длина любого отрезка на оси при этом совпадает с длиной любого отрезка на оси. Следовательно, при таком проектировании для координатылюбой точки наи соответствующей ей при проектировании координатеточки набудем иметь.
В то же время, для координаты любой точки наи соответствующей ей при проектировании координатеточки набудет выполняться соотношение. Это означает, что при таком проектировании происходит преобразование координат,.
Имеем .
Подсчитаем , отсюда получим
.
Таким образом, при проектировании площадь плоской фигуры умножается на косинус угла между той плоскостью, с которой проектируется и той, на которую проектируется.
Определим теперь для произвольной поверхности понятие площади. Ограничимся случаем, когда уравнение поверхности имеет вид .
Положим, что цилиндр проектирует заданную поверхностьна плоскостьв виде области. Разобьём площадьна малые элементы. Цилиндры, построенные на основаниях, разобьютна элементы.
Возьмем в каждом из элементов по точке, которой соответствует на поверхноститочка, где.
Проведем в точке касательную плоскость и нормальк поверхности, и обозначим черезплоскую площадку, вырезаемую на этой касательной плоскости цилиндром с основанием.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Площадью поверхности назовем предел суммы площадей плоских площадокпри бесконечном уплотнении разбиения области, т.е. когда число элементовбесконечно растет, а каждый из них бесконечно уменьшается по всем направлениям.
В дальнейшем переход к пределу при бесконечном уплотнении разбиения некоторой области (Q) будем обозначать символом (Q)0.
Покажем, что когда иявляются непрерывными функциями, то этот предел существует и выражается двойным интегралом по области.
Элементы есть проекция плоского элементана плоскость, причем нормали к плоскостям, в которых лежат эти две плоские площадкиисоставляют угол. Следовательно, угол между самими плоскостями тоже равен.
Следовательно ,отсюда следует. Берем нормаль в ту сторону, чтобы. То есть если, то.
Таким образом, для площади , рассматриваемой поверхности, мы имеем по определению:
.
В случае непрерывных ипредел, стоящий в правой части равенства, существует и представляет собой двойной интеграл по области.
Получим .
Этим доказано существование площади и установлено её выражение.
Можно написать формулы для площади и так:
, считая угол острым.
Или , если не требовать, чтобы уголбыл острым.
Нужно брать абсолютное значение , т.к. площадь считается величиной положительной.
Выражение называется элементом площади поверхности.
Если на заданной поверхности в заданной системе координат есть такие участки, где , то для определения площади таких участков надо или проектировать их на другие координатные плоскости, или изменять систему координат.
Скажем, есть участок поверхности, где и где уравнение поверхности можно записать в виде, то площадь такого участка можно определить через его проекцию на координатную плоскость. Тогда.