4.3. Равносильность формул
Пусть формулы Fи Gимеют одно и то же множество свободных переменных, тогда:
– Fи Gравносильны(эквивалентны) в данной модели, если на любом наборе значений свободных переменных они принимают одинаковые значения.
– Fи Gравносильны (эквивалентны) на множестве M, если они равносильны во всех моделях, заданных на множествеM.
– F и G равносильны (эквивалентны) (в логике предикатов), если они равносильны на всех множествах (тогда будем писать F=G).
Пример 38.Пусть на множествеM={a,b} заданы предикатыP1(x,y) иP2(x,y):
|
x |
y |
P1(x,y) |
P2(x,y) |
|
a |
a |
И |
И |
|
a |
b |
Л |
И |
|
b |
a |
Л |
Л |
|
b |
b |
И |
Л |
Рассмотрим две формулы
Q(x1,x2)Q(x1,x3), (1)
Q(x1,x2)Q(x2,x3). (2)
Если основным множеством модели служит множество Mи формула Qинтерпретируется как предикат P1, то формулы (1) и (2) равносильны в этой модели, так как принимают значение И только на двух наборах свободных переменных <a,a,a> и <b,b,b>.
|
x1 |
x2 |
x3 |
P1(x1, x2) |
P1(x1, x3) |
P1(x2, x3) |
Q = P1 |
P2(x1, x2) |
P2(x1, x3) |
P2(x2, x3) |
Q = P2 | ||
|
(1) |
(2) |
(1) |
(2) | |||||||||
|
a |
a |
a |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
|
a |
a |
b |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
|
a |
b |
a |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
И |
Л |
|
a |
b |
b |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
И |
Л |
|
b |
a |
a |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
|
b |
a |
b |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
|
b |
b |
a |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
Л |
Л |
Л |
Л |
Л |
|
b |
b |
b |
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
Л |
Если основным множеством модели является то же множество M, но формула Qинтерпретируется как предикат P2, то формулы (1) и (2) не равносильны, так как на наборе <a,b,b> формула (1) принимает значение И, а формула (2) – Л.
В общем случае, прямой перебор всех значений переменных может быть невозможен, если предметные переменные имеют бесконечные области определения. Поэтому в логике предикатов используются различные косвенные приемы, в том числе эквивалентные соотношения, позволяющие выполнить корректные преобразования предикатных формул.
В логике (алгебре) предикатов справедливы все эквивалентные соотношения логики (алгебры) высказываний, а также собственные эквивалентные соотношения, включающие связки и :
1. а) xyP(x,y)=yxP(x,y), б)xyP(x,y)=yxP(x,y).
2. а) xyP(x,y)yxP(x,y), б)yxP(x,y)xyP(x,y).
3. а) xP(x)=xP(x), б)xP(x)=xP(x).
4. xP(x)xQ(x)=x(P(x)Q(x)), но
xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x)).
5. xP(x)xQ(x)=x(P(x)Q(x)), но
xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x)).
6. Если в формуле Cнет свободной переменнойx, то:
а) xP(x)C=x(P(x)C), б)xP(x)C=x(P(x)C).
в) xP(x)C=x(P(x)C), г)xP(x)C=x(P(x)C).
Приведенные формулы
Формулы, в которых из логических символов имеются только символы ,,, причем символвстречается лишь перед символами предикатов, будем называтьприведенными формулами. Для любой формулы существует равносильная ей приведенная формула, которая имеет те же множества свободных и связанных переменных.
Приведенная формула называется нормальной(илипрефиксной нормальной), если она не содержит символов кванторов или все символы кванторов стоят в начале формулы (т.е. логические символы и символы предикатов стоят в области действия каждого квантора).
Для любой приведенной формулы существует равносильная ей нормальная формула той же длины. Такая формула называется нормальной формойданной приведенной формулы.
Пример
39.
Получить нормальную форму с минимальным
количеством связанных переменных для
формулы
.
.
Номера над знаками равенства соответствуют номерам эквивалентных соотношений.