Определения кванторных высказываний

		Утвердительные высказывания		Отрицательные высказывания
Общие высказывания	положительный смысл	[Верно, что]* для всех x выполняется свойство P	xP(x)=И	xP(x)=И	[Верно, что] для всех x не выполняется свойство P	положительный смысл	Общие высказывания
		[Верно, что] не существует x, для которого не выполняется свойство P	xP(x)=И	xP(x)=И	[Верно, что] не существует x, для которого выполняется свойство P
	отрицательный смысл	Не верно, что не для всех x выполняется свойство P	xP(x)=Л	xP(x)=Л	Не верно, что не для всех x не выполняется свойство P	отрицательный смысл
		Не верно, что существует x, для которого не выполняется свойство P	xP(x)=Л	xP(x)=Л	Не верно, что существует x, для которого выполняется свойство P

Окончание табл. 8

		Утвердительные высказывания		Отрицательные высказывания
Частные высказывания	положительный смысл	[Верно, что] существует x, для которого выполняется свойство P	xP(x)=И	xP(x)=И	[Верно, что] существует x, для которого не выполняется свойство P	положительный смысл	Частные высказывания
		[Верно, что] не для всех x не выполняется свойство P	xP(x)=И	xP(x)=И	[Верно, что] не для всех x выполняется свойство P
	отрицательный смысл	Не верно, что не существует x, для которого выполняется свойство P	xP(x)=Л	xP(x)=Л	Не верно, что не существует x, для которого не выполняется свойство P	отрицательный смысл
		Не верно, что для всех x не выполняется свойство P	xP(x)=Л	xP(x)=Л	Не верно, что для всех x выполняется свойство P

* Слова «верно, что» могут быть опущены.

4.1. Алгебра логики предикатов

Алфавит логики предикатов содержит следующие символы:

1. символы предметных переменных – обычно строчные латинские буквы с индексами или без них;

2. символы предикатов – обычно прописные латинские буквы с индексами или без них;

3. логические символы: ^,,,,;

4. символы кванторов – ,;

5. скобки и запятую.

Слово в алфавите логики предикатов называется формулой, если оно удовлетворяет следующему индуктивному определению:

1. если P– символ предиката,x₁,x₂,...,x_n– символы предметных переменных, тоP(x₁,x₂,...,x_n) – формула. Такая формула называетсяатомарной. Все предметные переменные атомарных формул свободные, связанных переменных нет;

2. пусть A– формула. Тогда^Aтоже формула. Свободные и связанные переменные формулы^A– это соответственно свободные и связанные переменные формулыA;

3. пусть AиB– формулы, причем нет таких предметных переменных, которые были бы связаны в одной формуле и свободны в другой. ТогдаAB,AB,AB,ABесть формулы, в которых свободные переменные формулAиBостаются свободными, а связанные переменные формулAиBостаются связанными;

4. пусть A– формула, содержащая свободную переменнуюx. ТогдаxA,xA тоже формулы, переменнаяxв них связана. Остальные переменные, которые в формулеAсвободны, остаются свободными, а переменные, которые в формулеAсвязаны, остаются связанными. Говорят, что формулаAестьобласть действия квантора;

5. слово в алфавите логики предикатов 1–5 является формулой только в том случае, если это следует из правил 1–4;

Заметим, что по определению формулы никакая переменная не может быть одновременно свободной и связанной.

Значение формулы определено лишь тогда, когда задана какая-нибудь интерпретация (модель) входящих в нее символов, т.е. система D=<M,f >, состоящая из непустого множестваMи соответствия f, которое для каждого предикатного символа P⁽ⁿ⁾определяетn‑местный предикат.