3.1. Б) Расчет показателей безотказности при резервировании замещением
Резервирование замещением – это резервирование, при котором функции основного элемента передаются резервному только после отказа основного элемента. при этом резервные элементы до включения, как правило, могут находиться в облегченном или ненарушенном режиме (например, запасные части).
Расчет показателей безотказности при резервировании замещением рассмотрим на следующем примере.
Дано: -объект, состоящий из одного основного и «m» резервных элементов, рис.1,3
Рис.1.3.
-интенсивность
отказов элементов
;
-так как
то модель функционирования такого
объекта можно представить в виде: при
отказе основного элемента включается
первый резервный, после отказа первого
– второй резервный и т.д.
Определить показатели БО :
;
;
Допущения:
1. Поток отказов элементов простейший.
2. Переключатели абсолютно надежны.
Вопрос: Когда объект будет работоспособным?
Условием нормального функционирования объекта является работоспособность хотя бы одного элемента. Реализация этого условия возможна при разных состояниях объекта.
Проведем рассуждения о возможных ситуациях РБТС объекта.
Пусть Н – событие, заключающееся в безотказной работе объекта. Оно будет иметь место при следующих событиях:
- при
- событие, заключающееся в безотказной
работе основного элемента;
- или при
- событии, заключающемся в отказе одного
(основного) элемента;
- или при
- событии, заключающемся в отказе двух
элементов (основного и первого резервного
элемента);
- или при ………………………
- или при
- событии, заключающемся в отказеmэлементов (основного и первого,
второго,…,(m-1) резервных
элементов).
Тогда событие Н
будет иметь место при возникновении
хотя бы одного события
,
что по определению соответствует суммеmсобытий, т.е.
,
т.к. по определению «Суммой нескольких
событий называется событие, состоящее
в появлении хотя бы одного из этих
событий».
Так как рассматриваемые события случайны, определим их вероятности
События
являются несовместными. В соответствии
с теоремой сложения вероятностей –
вероятность суммы несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий.
,
где:
- вероятность того, что откажут ровноiэлементов.
Известно, что в условиях простейшего потока отказов случайное число отказов для резервирования замещением подчиняется распределению Пуассона, в соответствии с которым вероятность появления ровно iсобытий (в данном случае отказов) равна:
,
тогда 
К данной схеме
может быть приведен любой объект,
состоящий из nпоследовательно
(в смысле надежности) соединённых
элементов и имеющийmтаких же резервных цепей (рис. 1.4 ). В
самом деле,nпоследовательных
элементов можно заменить одним с
интенсивностью отказов
Рис. 1.4.
Тогда ВБР этого
объекта вычисляется по зависимости 
Если все элементы в каждой цепи будут равнонадёжны, то его ВБР можно вычислить по зависимости
Средняя наработка до отказа определяется по зависимости:
Подставив сюда
выражение
и
проинтегрировав, получим:
или 
Этот же результат
можно получить из простых рассуждений,
представив себе функционирование
объекта. Основной элемент будет иметь
среднюю наработку равную
,
первый резервный -
и т.д. Поскольку число элементов (m+1),
то средняя наработка объекта равна
сумме средних наработок (m+1)
элементов, что и выражают последние две
формулы.