лекции МДТТ каз
.pdf
9 - сурет 10 - сурет Өзін тексеру үшін сұрақтар:
1. Кернеу функциясын пайдаланған кезде Сен-Венан шарттарын тексеру қажетпе? 2. Қуыстың маңайындағы кернеу шоғырлануы неден тəуелсіз?
Ұсынатын əдебиет:
1.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука, 1988. - 712 с.
2.Искакбаев А. Деформацияланатын қатты дене механикасының негіздері. - Алматы: Изд- во Қазақ университетi, 2007. -176 бет.
3.Партон В.З. Механика разрушения. От теории к практике. – М.: Наука,1990. – 240 с.
№ 11 - 12 дəрісі.
Тақырыптың аты: Фурье т рлендіруі ар ылы серпімді жартыжазы ты жайындағы есепті шешу. Жартыжазы ты ты шекарасына адалған к ш. Т йіспе есебі.
Дəрістің мақсаты: Жартыжазы ты ты кернеуленген к"йіне ата штампты əсерін зерттеу.
Түйінсөздер: Фурье т"рлендіру əдісі; сызы ты серпімді теорияны аралас есебі;адалған к"ш; к"ш əдісі.
Негізгі сұрақтар (ұғымдар) жəне қысқаша мазмұны:
Бұл дəрістік сабақтарда ДҚДМ негізгі ұғымдары беріледі: Фурье түрлендіруі арқылы серпімді жартыжазықтық жайындағы есепті шешу; жартыжазықтықтың шекарасына қадалған күш; түйіспе есебі.
Мазмұнын сипаттайтын негізгі схемалар, формулалар жəне б.қ., :
Фурье т рлендіруі ар ылы серпімді жартыжазы ты жайындағы есепті шешу.
Алдымен Фурье түрлендіруінің анықтамасын еске түсі-рейік. Егер f(x) – интегралданатын функция болса, x (− ∞,+∞) , онда оның Фурье бейнесі
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
||||
|
f (p) = |
|
|
|
|
∫ f (x)eipx dx, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2π |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
мұндағы p |
– нақты айнымалы. Керісінше, егер f (p) |
белгілі болса, онда |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
||
|
f (x) = |
|
|
|
∫ f (p)e−ipx dp. |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2π |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
орта жартыжазықтықты − ∞ < y < 0 |
|||||
Енді |
мына есепті қарастырамыз. Серпімді |
|||||||||||||
толтырсын, ось х – жарты-жазықтықтың шекарасы. Шекарада төмендегі шарттар берілсін
σ y (x,0) = −q(x), τxy (x,0) = 0. |
|
(6.1) |
|||||||
Тепе-теңдік теңдеулерін жазамыз: |
|
|
|||||||
∂σx |
+ |
∂τxy |
= 0, |
|
∂τxy |
+ |
∂σy |
= 0. |
(6.2) |
∂x |
∂y |
|
∂x |
∂y |
|||||
Бұл теңдеулерді |
(6.2) |
e+ipx |
көбейтіп |
жəне х – |
бойынша (− ∞,+∞) аралығында |
||||
интегралдайық. Фурье түрлендіруінің қасиеттерін ескере отырып, мына тепе-теңдік теңдеулерін аламыз:
− ipσ |
x |
+ τ′ |
= 0, − ipτ |
xy |
+ σ′ |
= 0, |
(6.3) |
|
xy |
|
y |
|
|
мұндағы (׳)- белгісі арқылы у айнымалысы бойынша туынды белгіленген. Енді Фурье түрлендіруін пайдаланып, (6.1) мына түрде жазамыз
sy (p,0) = - |
|
q(p), |
txy (p,0) = 0. |
(6.4) |
|
|
|||||
Көлемдік күшті ескермеген кезде, мына қатынас шығады: |
|
||||
Ñ |
2 |
2 |
ˆ |
(6.5) |
|
|
Ñ |
σ = 0, |
|||
яғни σˆ – бигармониялық функция. Сондықтан (6.5):
|
¶4 s |
y |
+ 2 |
¶4 s |
y |
+ |
¶4 s |
y |
= 0. |
|
|
|
|
||||||
|
¶x 4 |
¶x 2 ¶y 2 |
¶y4 |
||||||
|
|
|
|
||||||
Бұл теңдеуге Фурье түрлендіруін қолданып, |
sy |
|
– үшін мына жəй (қарапайым) |
||||||
дифференциалдық теңдеу аламыз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
syIV - 2p 2 syII + p4 sy = 0.
Бұл теңдеудің шешімін мына түрде жазамыз:
sy = (A + By)e |
|
p |
|
y , |
(6.6) |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
мұндағы sy (p,-¥) = 0. Бұл функциядан (6.6) у – |
|
бойынша туындысын аламыз |
||||||||||||||
s¢ = (A |
|
p |
|
+ B |
|
p |
|
y + B)e |
|
p |
|
y . |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Алынған қатынастарды шекаралық шарттарға (6.4) қойып, (6.3) ескере отырып, табамыз
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = - |
|
|
|
q(p), B = |
|
p |
|
|
|
(p). |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
q |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Енді (6.6) былай жазуға болады: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
σ |
y = - |
|
|
|
( p)(1 - |
|
p |
|
y)e |
|
p |
|
y . |
(6.7) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
q |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тепе-теңдік теңдеулерінен (6.3), (6.7) ескеріп, табамыз: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
txy = - |
|
|
|
p |
|
y , sx = |
|
(p)(1 + |
|
p |
|
y)e |
|
p |
|
y . |
(6.8) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
iq(p)pye |
q |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Фурьенің кері түрлендіруін sy , txy , sx – бейнелеріне қолданып, (6.7)-(6.8) қатынастарын |
|||||||||||||||||||
ескере отырып, кернеулерді анықтаймыз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
σ x = - |
2 ∞ q(ξ ) y(x - ξ ) 2 |
dξ , σ y |
= - |
2 ∞ q(ξ ) y 3 |
dξ , τ xy = - |
2 ∞ q(ξ ) y 2 |
(x - ξ ) |
dξ , |
(6.9) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
π ∫ |
r 4 |
π ∫ |
r 4 |
π ∫ |
r |
4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
||||
мұндағы r 2 |
= (x - x)2 + y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Жартыжазы ты ты |
шекарасына адалған к ш. Т йіспе есебі |
|
|
|
|
||||||||||||||
Егер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P /(2e), - e £ x £ e |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
q(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x Ï [- e, e] |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
||
онда (6.9) бойынша (e ® 0), табамыз
sx = - |
2P |
|
x 2 y |
, sy |
= - |
2P |
|
y3 |
, |
txy = - |
2P |
|
xy2 |
. |
(6.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
p r 4 |
|
p r 4 |
|
p |
|
|
r 4 |
|
|||||||
Бұл жердегі P – қадалған |
күштің шамасы, ал r2=x2+y2. Бұл формулалар |
|||||||||||||||
жартыжазықтықтың |
шекарасына |
қадалған |
күштің əсерінен |
пайда болған кернеулерді |
||||||||||||
анықтайды. Күш түскен нүк-теде (x = y = 0) кернеулер шексіз үлкен болады. Бұл қойылған есептің ерекшелігінен шығып отыр.
Енді Гук заңын пайдаланып, орын ауыстыруды іздестіреміз
∂¶v = ey = 1 (sy - nsx ). y E
Бұл қатынасты интегралдап, табамыз
−∞
v(x,0) = E1 ∫0 (σ y -νσ x )dy .
1 |
−∞ |
2P |
0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
ln(1 |
+ z) |
0 |
|
1 |
|
2P |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|||
∫σ y dy = |
|
|
|
y dy |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
y |
|
|
|
||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
= z |
= |
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
ln 1 |
+ |
|
|
|
|
+1 . |
6.11) |
||||
E |
0 |
πE |
−∞(x |
2 |
+ y |
2 |
) |
|
x |
|
|
|
2 |
|
−∞ |
|
2 |
|
πE |
|
πE |
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бұдан шығатын қорытынды мынандай: жазық есепте қадалған күш түскен нүктесі мен қатар басқа барлық нүктелерде ақырсыз орын ауыстыру құбылысы болатынын көреміз. Мұндай парадокс ( айшы за ) жазық есептің қойылу ерекшелігінің салдары.
Екінші интегралдың мəні ақырлы болатындықтан, оның шамасын келтірмейміз. Енді табылған өрнекті (6.11) ескере отырып, мына туындыны табамыз.
|
|
¶v(x,0) |
|
P ¶ |
|
y |
2 |
|
|
0 |
|
2P |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
¶x |
= |
|
|
|
ln 1 + |
|
|
|
|
|
= |
|
× |
|
. |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
pE ¶x |
|
|
|
−∞ |
|
pE x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v ¹ 0, бірақ ол сызықтың |
||||
Сонымен y = 0 сызығында, x = 0 - нүктеден басқа нүктелерде |
|||||||||||||||||||
бойында орын ауыстыру ақырсыз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Егер жартыжазықтықтың шекарасына нормаль жүктеме q(ξ) əсер етсе, онда |
|||||||||||||||||||
деформацияланған шекара |
жанамасының |
бұрыштық |
коэффициентін α(x) былай |
||||||||||||||||
анықтаймыз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a(x) = |
2 ∞ q(x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
−∫∞ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.12) |
||
pE |
x - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Енді мына т йіспе есебін қарастырамыз: жартыжазық-тықтың x Î[- a, a] учаскесіне қатаң штамп үйкеліссіз сығып кірген; сонымен түйіспе учаскеде v(x,0) = g(x); txy = 0 –
бар-лық нүктелерде; түйіспе учаскеде σ y |
= -q(x) , ал оның сыртын-да σ y |
= 0 . |
||||||||||||||
Енді α(x) = g′(x) екенін ескеріп, (6.12) қатынасынан, белгісіз функция q(x) анықтау |
||||||||||||||||
үшін мына интегралдық теңдеуді аламыз |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
a |
q(x)dx |
= - |
1 |
pEg¢(x). |
|
|
|
|
|
|
|
(6.13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
−∫a x - x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Біздің жағдайда g(x) = const, g′ = 0. Сондықтан (6.13) шешімін былай жазамыз: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
q(x) = |
1 |
const. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 - x2 |
|
|||||
|
|
|
|
Тұрақты көбейткішті төменгі шарттан табамыз |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ q(x)dx = P, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−a |
|
||||
|
|
|
|
|
|
м ндағы Р-штамп а əсер ететін к ш (11-Сурет). Сонымен |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ысым шін Чаплыгин-Садовский формуласын (6.14) аламыз: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q(x) = |
|
P |
(6.14) |
||
11-Сурет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
a 2 - x 2 |
||||||||||
Өзін тексеру үшін сұрақтар:
1. Үшінші шектік есептің бірінші шектік есептен не айырмашылығы бар? 2. Үшінші шектік есептің екінші шектік есептен не айырмашылығы бар?
Ұсынатын əдебиет:
1.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука, 1988. - 712 с.
2.Искакбаев А. Деформацияланатын қатты дене механикасының негіздері. - Алматы: Изд- во Қазақ университетi, 2007. -176 бет.
№13 - 14 дəрісі.
Тақырыптың аты: Сызаттар тəріздес а аулар. Гриффитс тəжірибесі. Гриффитсті" идеясы. Гриффитс есебі. Гриффитс формуласы. Заттарды" беттік энергиясы. Материалды" морт ирауы.
Дəрістің мақсаты: Гриффитс сызат теориясыны негізін беру.
Түйінсөздер: сызатты ш т рі; на ты беріктік; теориялы беріктік; сызаттар тəріздес а аулар; заттарды беттік энергиясы.
Негізгі сұрақтар (ұғымдар) жəне қысқаша мазмұны:
Бұл дəрістік сабақтарда ДҚДМ негізгі ұғымдары беріледі: Гриффитс сызатының моделі; Гриффитстің идеясы; Гриффитс есебі; Гриффитс формуласы.
Мазмұнын сипаттайтын негізгі схемалар, формулалар жəне б.қ., :
Сызаттар тəріздес а аулар. Гриффитсті" тəжірибесі. Гриффитсті" идеясы.
Сызаттар теориясының негізін жасаған ағылшын ғалымы А.Гриффитс 1920 жылы шыны талшықтарының беріктігін тəжірибе əдісімен зерттеген. Ол шыны талшықтарының диаметрі азайған сайын, олардың беріктігі тез өсіп кететінін (12-Сурет) дəлелдеген. Гриффитс теориялы жəне на ты (техникалы ) беріктіктердің айырмашылығын былай түсіндірді: нақты денелерде көзге көрінбейтін сызаттар бар жəне олардың өлшемдері молекулааралық қашықтықтарға қарағанда өте үлкен.
Енді деформацияланатын қатты денедегі нақты сызатты (13-Сурет) қарастырайық: 1
– сызат шебі; 2 – сызатты" жиектері.
Гриффитс мынандай тұжырым жасады: сызат таралу үшін материалда жаңа беттер жасайтындай жұмыс жұмсалуы қажет; оның шамасы сызаттың ұзындығына пропорционал (14-Сурет) болуы керек. Сызаттың таралу процесінде, оның маңайындағы серпімді энергия босап шығып сызаттың төбесіне жинақталады жəне сол жерде материалды
қиратуға жұмсалады (14-Сурет). |
|
|
Гриффитс формуласы: σ0 = |
EγS . |
(7.1) |
|
λc |
|
15-сурет: Қираудың классикалық схемасы; 16-сурет: Қираудың классикалық емес |
||
схемасы. 18-сурет: Гриффитс қисығы. |
|
|
|
Y |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
0 |
X |
|
Z |
|
12-Сурет |
13-Сурет |
14-Сурет |
|
|
У |
Р |
П |
С |
|
|
x |
2L |
|
|
15-сурет |
16-сурет |
|
|
|
σ = |
2Еγ |
σ |
W |
πl |
l |
|
|
|
2 |
|
|
σ |
|
|
l0 |
|
|
σ |
l |
|
|
|
W0 |
l 0 l с |
|
|
17-сурет |
18-сурет |
Өзін тексеру үшін сұрақтар:
1. Беріктік сызат ұзындығынан тəуелдіме? 2. Кернеу қарқындылыгы қуыстардың жиегінен тəуелдіме?
Ұсынатын əдебиет:
1.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука, 1988. - 712 с.
2.Искакбаев А. Деформацияланатын қатты дене механикасының негіздері. - Алматы: Изд- во Қазақ университетi, 2007. -176 бет.
3.Клюшников В.Д. Физико-математические основы прочности и пластичности. - М.:
МГУ, 1994. - 190 с.
4.Кернштейн И.М. и др. Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: МГУ, 1989. - 140 с.
№ 15 - 16 дəрісі.
Тақырыптың аты: Ирвинні əдісі. Сызатты ма айындағы кернеуленген к й. К К. Ирвинні ирау критерийі.
Дəрістің мақсаты: Ирвин сызат теориясыны негізін беру.
Түйінсөздер: математикалык кескін; жазык деформация; жазык кернеуленген к й; кернеу ар ындылығыны коэффициенты (К К).
Негізгі сұрақтар (ұғымдар) жəне қысқаша мазмұны:
Бұл дəрістік сабақтарда ДҚДМ негізгі ұғымдары беріледі: Ирвиннің əдісі; сызаттың маңайындағы кернеуленген күй; кернеу қарқындылығының коэффициенты (КҚК); Ирвиннің қирау критерийі.
Мазмұнын сипаттайтын негізгі схемалар, формулалар жəне б.қ., :
Сызы ты ирау механикасы. Қуыстың эталондық пішіні ретінде Ирвин эллипстің орынына арапайым объект – математикалы кескінді қабылдаған.
|
|
|
|
|
|
Колосов-Мусхелишвили формуласы |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Сызықты қирау механикасы негізіне сүйене отырып |
|||||
|
|
|
|
|
|
нормаль ж&лыну ( зіліс) сызаты (19-Сурет) жайындағы есепті |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
қарастырамыз. Бұл есепті Колосов – |
Мусхелишвили |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
формуласын пайдаланып шешеміз. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Есептің шешімін мына түрде жазамыз: |
|
||||
|
19-Сурет |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2μ(u1 + iu 2 ) = æ ϕ(z) − zϕ′( |
|
) − ψ( |
|
), |
(8.1) |
||||
|
|
z |
z |
||||||||
|
|
ж= λ + 3μ |
= 3 − 4ν , |
|
|||||||
|
|
λ + μ |
|
|
|
|
|
|
|||
мұндағы ϕ(z) жəне ψ(z) – кез-келген аналитикалық функция, z – комплексті айнымалы. Енді кернеулерді іздейтін Колосов-Мусхелишвили формулаларын келтіреміз:
|
|
|
|
σ11 |
+ σ22 = 4 Re ϕ′(z), |
|
|
|
|
(8.2) |
||||||||||||||
|
|
|
|
σ22 − σ11 + 2iσ12 = 2[ |
|
ϕ′′(z) + ψ′(z)]. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Егер æ = |
3 − ν |
|
деп алсақ, онда (8.1)-(8.3) формулаларын жазық күй есебін шешу үшін |
||||||||||||||||||||
|
1 + ν |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
пайдалануға болады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Сызатты ма айындағы. Кернеуленген к й |
( |
|
x1 − c |
|
= r << c) кернеулі- |
|||||||||||||||||
Енді |
|
|
сызаттың |
|
|
төбесінің |
|
маңайындағы (19-Сурет) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
деформацияланған күйінің асимптотикасын қарастырамыз: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
K I (1 − ν) |
|
|
|
K I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= |
|
σ22 = |
|
, K I = σ πc , |
(8.3) |
||||||||||||||||||
u 2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
μ |
π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2πr |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
мұндағы K I – кернеулер қарқындылығының коэффициенті. Егер σ = σ(x1 ), онда
K I = |
1 c |
σ(x1 ) |
|
c + x1 |
|
dx1 . |
(8.4) |
||
|
|
|
|
||||||
|
πc −c∫ |
||||||||
|
|
|
|
c − x1 |
|
||||
Сызықты қирау механикасында үш түрлі сызаттарды (20-Сурет) қарастырады. Бұл суреттегі: а) І т р – нормаль ж&лыну ( зілу) сызаты, б) ІІ т р – жазы ығысу сызаты, в) ІІІ т р – к(лдене ( арсы-жазы ) ығысу сызаты (q - х3 осі бойымен бағытталған)
Жоғарыдағы əдіс бойынша сызаттың ІІ жəне ІІІ – түрлерін зерттеуге болады:
сызатты ІІ т рі шін
σ12 = K II / 
2πr , σ11 = σ 22 = 0 (x2 = 0, x1 > c),
u = |
ж+1 |
K |
|
|
|
|
|
|
r / 2π |
, u = 0 (x = 0, |
|
x |
|
< c), |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
2μ |
|
|
|
II |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= τ |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
KII |
|
πc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
сызатты ІІІ т рі шін |
|
(x2 = 0, |
|
|
|
> c), |
|||||||||||||||||||||||
σ 23 |
= |
|
KIII |
|
|
σ11 = σ 22 = ... = σ13 = 0 |
|
x1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
KIII |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u3 = |
|
|
|
|
|
|
, |
|
u1 = u2 = 0 |
(x2 = 0, |
x1 |
< c), KIII = q πc. |
|||||||||||||||||
|
|
|
μ |
|
|
|
2π |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(8.5)
(8.6)
ирауды к штік критерийі. Ирвиннің (1957 ж.) қирау критерийі:
K α = K αc , |
(α = I, II, III.) |
(8.7) |
мұндағы K Ic , K IIc , K IIIc |
– материалды |
т&ра тылары |
(бұлардың өлшемділігі – кгс/см3/2). |
|
|
20-Сурет Өзін тексеру үшін сұрақтар:
1. Ирвин моделі Гриффитс моделінен айырмашылығы неде? 2. Сызат маңайындағы кернеуленген күй түрінен КҚК тəуелдіме?
Ұсынатын əдебиет:
1.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука, 1988. - 712 с.
2.Искакбаев А. Деформацияланатын қатты дене механикасының негіздері. - Алматы: Изд- во Қазақ университетi, 2007. -176 бет.
3.Клюшников В.Д. Физико-математические основы прочности и пластичности. - М.:
МГУ, 1994. - 190 с.
4.Кернштейн И.М. и др. Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: МГУ, 1989. - 140 с.
№ 17 - 18 дəрісі.
Тақырыптың аты: Бірбуынды модельдер. Интегралды операторлар ар ылы кернеулер мен деформациялар арасындағы байланысты жазу.
Дəрістің мақсаты: Реономды модельдерді ерекше асиеттерін зерттеу. Түйінсөздер: серпімділік модулі; т т ырлы коэффициенті; жылжымалылы
ядросы; релаксация ядросы.
Негізгі сұрақтар (ұғымдар) жəне қысқаша мазмұны:
Бұл дəрістік сабақтарда ДҚДМ негізгі ұғымдары беріледі: бірбуынды модельдер; интегралдық операторлар арқылы кернеулер мен деформациялар арасындағы байланысты жазу; серпімділік модулі; тұтқырлық коэффициенті; жылжымалылық ядросы; релаксация ядросы; реономдық модельдердің ерекше қасиеттерін зерттеу.
Мазмұнын сипаттайтын негізгі схемалар, формулалар жəне б.қ., :
Т&т ырлысерпімді денені бір буынды модельдері.
Тұтқырлысерпімді модель екі элементтерден тұрады. Оның біреуі Гук элементі (21-
Сурет) – серпімді элемент.
Серпімді элемент үшін Гук заңын былай жазамыз
σ′ = Eε′, |
(9.1) |
||
мұндағы σ′ -серпімді кернеу, Е-серпімді модуль, ε′ - серпімді деформация. |
|||
Екінші элемент, ньютон элементі (22-Cурет) – |
т&т ыр элемент. Бұл модель үшін |
||
Ньютон заңын былай жазамыз |
|
||
σ′′ = η |
dε′′ |
, |
(9.2) |
|
|||
|
dt |
|
|
мұндағы σ′′ -т&т ыр кернеу, ε′′ -т&т ыр деформация, η - т&т ырлы коэффициенті.
Төмендегі белгілеуді кіргіземіз:
|
d ≡ d / dt, |
dε′′ ≡ dε′′ / dt, |
(9.3) |
||
интегралды операторды былай белгілейміз: |
|
||||
|
|
d−1f ≡ ∫ f (t)dt. |
|
(9.4) |
|
Бұл функцияға мынандай шарт қоямыз: |
|
||||
|
|
t < 0 : f (t) ≡ 0. |
|
(9.5) |
|
Анықталған интегралды былай анықтаймыз |
|
||||
|
−1f ≡ lim |
t+α |
t + |
t |
|
d |
∫ f (τ)dτ ≡ ∫ f (τ)dτ = |
∫ f (τ)dτ, |
(9.6) |
||
|
α→0 |
−α |
0− |
0 |
|
|
|
|
|||
мұндағы α – кез-келген оң сан. Бұл (9.6) өрнектегі (-) жəне (+) таңбаларды жазбаймыз.
|
|
Енді, егер f(t) n туындысы |
болатын болса, онда оған d |
операторын n рет |
|||||||||
пайдаланып, табамыз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
dnf ≡ |
dn |
f . |
|
|
|
(9.7) |
|||
|
|
|
|
dtn |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Бұл (9.7) операторға кері оператор d−n : |
|
|
|
||||||||||
|
− n |
t |
τ1 |
τ n−1 |
1 |
|
|
t |
n −1 |
|
|
||
d |
f ≡ ∫ ∫ |
... ∫ f (τn )dτn dτn −1...dτ1 = |
|
|
∫ (t − τ) |
f (τ)dτ, |
(9.8) |
||||||
(n − 1)! |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
мұндағы n ³ 1 – |
кез-келген оң сан. Бұл формуланы (9.8) функциясының б лшек ретті |
|||||||
туындысын анықтауға пайдаланады. |
|
|
|
|||||
Егер f (t) |
жəне g(t) функциялары (9.5) шартын қанағаттандыратын болса, онда |
|||||||
табамыз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
∫ f (t − τ)g(1) (τ)dτ = ∫ f (1) (t − τ)g(τ)dτ, |
(9.9) |
||||||
0 |
0 |
|
|
|
||||
|
d |
|
|
∂ |
∂ |
|
||
f (1) (t − τ) ≡ |
|
f (t − τ) = |
|
f (t − τ) = − |
|
f (t − τ), |
(9.10) |
|
d(t − τ) |
∂t |
∂τ |
||||||
ал айнымалыны ауыстырудан шығады |
|
|
|
|||||
t |
|
|
t |
|
|
|
||
∫ f (t − τ)g (1) (τ)dτ = ∫ g (1) (t − τ)f (τ)dτ. |
(9.11) |
|||||||
0 |
0 |
|
|
|
||||
Бұл формулаларды (9.9) жəне (9.11) қорытып шығару үшін (9.6) анықтамасын пайдалану
керек, бұл формулаларда (9.10) белгілеуі қолданған. Функцияның t = 0 |
мəнін былай |
анықтаймыз |
|
f (0) ≡ f (0+ ) ≡ lim f (α). |
(9.12) |
α →0 |
|
Енді Дирактың дельта-функциясы δ(t) жəне Хевисайдтың бірлік функциясының h(t) (23-Сурет) қасиеттерін еске түсірейік:
|
|
1, |
t ³ t |
(9.13) |
||||||||
h(t - t) = |
t < t |
|||||||||||
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d(t) = dh(t)/ dt, |
(9.14) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21-Сурет |
|
|
22-Сурет |
23-Сурет |
||
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
∫ f (t - t)d(t)dt = ∫ d(t - t)f (t)dt = f (t), |
(9.15) |
|||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
∫ d(t)dt = 1, |
d(t) = 0, t ¹ 0 кезінде. |
(9.16) |
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Жоғарыдағы қатынастарды (9.13-9.16) пайдалана отырып, Гук (9.1) жəне Ньютон |
|||||||
(9.2) заңдарын интегралды түрде жазуға болады |
|
||||||
|
s¢(t) = ∫ Г1 (t - t)e¢(t)dt, |
|
|||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
(9.17) |
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
|
||
|
e¢(t) = ∫ К1 (t - t)s¢(t)dt, |
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
s¢¢(t) = ∫ Г2 (t - t)e¢¢(t)dt, |
|
|||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
(9.18) |
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
|
||
|
e¢¢(t) = |
∫ К2 (t - t)s¢¢(t)dt, |
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Г = Еd(t), К = d(t)/ Е, Г |
2 |
= hd(1)(t), К |
2 |
= h(t)/ h, |
|
||
1 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
( 9.19) |
|
|
бұл жерде (9.9)- (9.12) |
формулалары ескерілді. |
|
|
|
|
|
|
|
Бұл |
қатынастардан |
|
(9.17-9.18) мынандай |
тұжырым шығады: кернеулер мен |
|||
деформациялар арасындағы байланысты интегралдық операторлар арқылы анықтауға болады
t |
|
s(t) = ∫ Г(t - t)e(t)dt, |
(9.20) |
0 |
|
t |
|
e(t) = ∫ К(t - t)s(t)dt, |
(9.21) |
0 |
|
мұндағы Г(t) жəне К(t) – интегралдық ядролар. Бұл операторлар (9.20) жəне (9.21) өзара кері болуы керек. Осы өзара кері болу шартын табу үшін, (9.21) апарып (9.20) қоямыз жəне (24-Сурет) негізінде интегралдау ретін өзгертеміз. Осыдан табамыз
σ (t) = |
t τ |
Г(t −τ )К(τ −τ |
1 |
)σ (τ |
1 |
1 |
dτ = |
t |
t |
Г(t −τ )К(τ −τ |
1 |
|
σ (τ |
1 |
)dτ |
1 |
|
∫ ∫ |
∫ |
∫ |
|
(9.22) |
|||||||||||||
|
|
|
)dτ |
|
|
|
)dτ |
|
|
||||||||
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
τ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Енді f (t) = σ(t) деп алып, (9.22) формуланы (9.15) қатынасымен салыстыра отырып мына шартты табамыз (τ1 = 0):
t |
t |
|
∫ Г(t − τ)К(τ)dτ = ∫ К(t − τ)Г(τ)dτ = δ(t), |
(9.23) |
|
0 |
0 |
|
яғни (9.23) – |
заракерілік шарты. Гук (9.17) жəне Ньютон (9.18) |
теңдеулері үшін бұл |
шарттар (9.23) орындалатынын көреміз.
24-Сурет 25-Сурет 26-Сурет Өзін тексеру үшін сұрақтар:
1. Серпімді материалдын тұтқырлысерпімді материалдан қандай айырмашылығы бар? 2. Серпімді материалдын идеал сұйықтан қандай айырмашылығы бар? 3. Тұтқыр сұйықтың тұтқырлысерпімді материалдан қандай айырмашылығы бар?
Ұсынатын əдебиет:
1.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука, 1988. - 712 с.
2.Искакбаев А. Деформацияланатын қатты дене механикасының негіздері. - Алматы: Изд- во Қазақ университетi, 2007. -176 бет.
№ 19 - 20 дəрісі.
Тақырыптың аты: К пбуынды модельдер. Сызы ты т т ырлысерпімділік теориялар. Релаксация уа ыты. Кешігу уа ыты.
Дəрістің мақсаты: Сызы ты т т ырлысерпімділік теорияны к пбуынды модельдеріні ерекше асиеттерін зерттеу.
Түйінсөздер: Максвелл текті модельдер; Фойгт текті модельдер.
Негізгі сұрақтар (ұғымдар) жəне қысқаша мазмұны:
Бұл дəрістік сабақтарда ДҚДМ негізгі ұғымдары беріледі: көпбуынды модельдер; сызықты тұтқырлысерпімділік теориялар; релаксация уақыты; кешігу уақыты; Максвелл текті модельдер; Фойгт текті модельдер; сызықты тұтқырлысерпімділік теорияның көпбуынды модельдерінің ерекше қасиеттерін зерттеу.
Мазмұнын сипаттайтын негізгі схемалар, формулалар жəне б.қ., :
К пбуынды модельдер. Енді екібуынды модельдерді (27,28-Суреттер) қарастырамыз. Бірінші модель (27- Сурет) Фойгт моделі деп аталады, ал екінші модель (28-Сурет) Максвелл моделі деп аталады.
Алдымен Фойгт моделін қарастырамыз. Бұл модель үшін мына қатынастарды жазуға болады (27-Сурет):
ε = ε′ = ε′′, |
(10.1) |
σ = σ′ + σ′′. |
(10.2) |
Енді (10.1) ескеріп, (9.1) жəне (9.2) анықтауыш қатынастарын (10.2) қойып, табамыз
σ = Eε′ + ηdε′′ = (E + ηd)ε = Eε + ηdε / dt. |
(10.3) |
||||||||
Бұл қатынасты интегралды түрде жазуға болады (9.20): |
|
||||||||
Γ(t) = Eδ(t) + ηδ(1)(t), R(t) = E + ηδ(t). |
(10.4) |
||||||||
Фойгт теңдеуінің (10.3) шешімін былай жазамыз |
|
||||||||
|
|
t |
−(t −τ) |
E |
σ |
|
|
||
ε(t) = |
1 |
|
|
σ(τ)dτ = |
. |
|
|||
∫ e |
η |
(10.5) |
|||||||
η |
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
E + ηd |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Егер t = 0 кезінде үлгіге лездік σ0 күшін салып жəне оны тұ-рақты ұстайтын болсақ, яғни
σ = σ0h(t), |
(10.6) |
онда, (10.5) жəне (10.6) ескеріп табуға болады |
|
ε(t) = σ0Π(t). |
(10.7) |
Жүктеме тұрақты кезіндегі деформацияның уақыт t |
бойынша өсу құбылысын |
материалдың жылжымалылығы дейді (29-Сурет). Енді Максвелл моделін (28-Сурет) қарастырамыз, бұдан мынау шығады:
ε = ε′ + ε′′, |
(10.8) |
σ = σ′ = σ′′. |
(10.9) |
Анықтауыш қатынастарды (9.1) жəне (9.2) кинематикалық қатынасқа (10.8) қойып жəне (10.9) ескеріп, табамыз
|
σ′ |
|
σ′′ |
|
1 |
|
1 |
|
σ |
|
1 |
t |
|
ε(t) = |
|
+ |
|
= |
|
+ |
|
σ = |
|
+ |
|
σ(τ)dτ. |
(10.10) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
E |
|
ηd |
E |
|
ηd |
E |
|
η ∫0 |
|
|||
Бұл заңдылықтан (10.10) мынандай қатынастар табамыз
K(t) = δ(t) + |
h(t) |
, |
Π(t) = |
1 |
+ |
t |
. |
(10.11) |
η |
|
|
||||||
E |
|
|
E η |
|
||||
Осыдан (10.11) көретініміз, Максвелл моделі жылжымалылықты сипаттайды (30-Сурет). Максвелл моделінде кернеу көрсеткіш заңдылығымен (31-Сурет) азаяды.
Деформация тұрақты кезіндегі кернеудің кему құбылысын бəсе деу (релаксация) дейді,
ал функциялар Γ(t) жəне R(t) – бəсе деу ядросы жəне бəсе деу функциясы. Максвелл моделі релаксация құбылысын сипаттайтынын көреміз, ал Фойгт моделі бұл құбылысты сипаттамайды.
27 -Сурет |
28-Сурет |
29 -Сурет 30-Сурет 31-Сурет Өзін тексеру үшін сұрақтар:
1. Релаксация уақыты дегеніміз не? 2. Кешігу уақыты дегеніміз не? 3. Максвелл моделінің кешегу уақыты неге тең?
Ұсынатын əдебиет:
1.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука, 1988. - 712 с.
2.Искакбаев А. Деформацияланатын қатты дене механикасының негіздері. - Алматы: Изд- во Қазақ университетi, 2007. -176 бет.
№ 21 - 22 дəрісі.
Тақырыптың аты: Жай жəне к рделі ж ктеме. Пластикалы шарттар. Треск- Сен-Венан а ышты шарты. Мизес а ышты шарты. Идеал пластикалы ортаны к%теру абілеттілігі.
Дəрістің мақсаты: Идеал пластикалы теорияны негізін беру.