Дополнительная литература

1.Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. – М.: Наука, 1972.

2.Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. – М.: ИЛ, 1949.

3.Зоммерфильд А. Дифференциальные производные в частных производных физики. – М.: ИЛ, 1950.

4.Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, тт. 1-ый и 2-ой – М.: Гостехиздат, 1951.

5.Снеддон И. Преобразование Фурье, - М.: ИЛ, 1955.

6.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Гостехиздат,

1953.

2. ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА

1.Классификация дифференциальных уравнений второго порядка: типы дифференциальных уравнений; преобразование дифференциальных уравнений, уравнения характеристик.

2.Приведение к каноническому виду уравнений: а) гиперболического типа, б) параболического типа, в) эллиптического типа.

3.Вывод уравнения колебания струны.

4.Начальные и граничные условия для уравнения колебания струны.

5.Постановка задач для уравнения гиперболического типа, их физический смысл.

6.Корректная постановка задач математической физики, примеры некорректно поставленных задач.

7.Задача Штурма – Лиувилля: постановка задачи.

8.свойства собственных чисел и собственных функций: 1) о единственности;

2)о соответствии собственных чисел и собственных функций; 3) об ортогональности собственных функций; 4) о вещественности; 5) о счетности

28

множества собственных чисел (без доказательства); 6) о неотрицательности собственных чисел; 7) о собственном числе λ =0 ;

8)теорема Стеклова ( без доказательства).

9.Физический смысл решения первой краевой задачи.

10. Задача Коши для уравнения гиперболического типа ( решение Даламбера, формула Даламбера). Принцип Дюамеля для неоднородного уравнения.

11.Устойчивость решения задачи Коши.

12.Физический смысл формулы Даламбера: а) прямая и обратная волны; б) распространение начальных возмущений.

13.Решение волнового уравнения с начальной скоростью (лемма 1).

14.Решение волнового уравнения с начальным возмущением (лемма 2).

15.Вывод формулы Кирхгофа. Физический смысл формулы.

16.Вывод формулы Пуассона методом спуска. Физический смысл формулы.

17.Уравнение Бесселя. Функции Бесселя и их свойства.

18.Рекуррентная формула функций Бесселя. Формулы дифференцирования и интегрирования.

19.Нули функций Бесселя. Ортогональные системы функций Бесселя.

20.Вывод уравнения распространения тепла в твердом, изотропном теле.

21.Начальные и граничные условия для уравнения теплопроводности.

22.Постановка задач для уравнений параболического типа, их физический смысл.

23.Принцип максимума – минимума для однородного уравнения теплопроводности.

24.Следствия из принципа о единственности устойчивости первой краевой задачи.

25.Замечание об интегральном преобразовании Фурье. Свойства преобразования. Свертка абсолютно интегрируемых функций.

26.Построение формального решения задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности бесконечного стержня.

27.Обоснование решения задачи Коши.

29

28.Следствия из интеграла Пуассона: а) о дифференцируемости решения, б) о скорости распространения тепла, в) о непрерывной зависимости от начального условия.

29.Физический смысл фундаментального решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.

30.Решение задачи Коши для неоднородного уравнения при помощи принципа Дюамеля.

31.Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа.

32.Гармонические функции и фундаментальные решения уравнения Лапласа.

33.Свойства гармонических функций: а) о нормальной производной. б) интегральное представление гармонической функции, в) о дифференцируемости.

34.Постановка краевых задач для уравнений эллиптического типа.

35.Принцип максимума – минимума для гармонической функции, следствия о единственности и устойчивости внутренней задачи Дирихле.

36.Теорема о единственности внешней задачи Дирихле.

37.Теоремы о единственности внутренней и внешней задач Неймана (без доказательства).

38.Функция Грина задачи Дирихле. Свойства функции Грина.

39.Отыскание функции Грина при помощи метода электростатических изображений. Решение задачи Дирихле для полупространства.

40.Решение задачи Дирихле для шара.

41.Построение функции Грина с помощью конформных отображений.

42.Введение потенциалов.

43.Основные свойства потенциала простого слоя.

44.Основные свойства потенциала двойного слоя.

45.Об интегральных уравнениях Фредгольма.

46.Приведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям.

47.О свойствах ядер интегральных уравнений для задач Дирихле и Неймана.

30

48.Исследования интегральных уравнений: леммы, теоремы о разрешимости уравнений

I, IV и II, III.

49.Исследование разрешимости задач Дирихле и Неймана.

50.Решение задачи Дирихле для круга при помощи теории потенциала.

3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ

1.Как определить тип квазилинейного уравнения?

2.Сформулировать задачу Коши для квазилинейного уравнения.

3.Сформулировать задачу Коши для уравнения колебаний.

4.Сформулировать задачу Штурма - Лиувилля.

5.Дать определения собственного числа и собственной функции.

6.Сформулировать свойства собственных функций и собственных чисел задачи Штурма – Лиувилля.

7.Как ставится задача математической физики?

8.Что означает, что задача математической физики поставлена корректно?

9.Приведите примеры корректно поставленных задач и некорректно поставленных.

10.Описать в общем виде метод Фурье.

11.Дать определение стационарной начально-краевой задачи.

12.Сформулировать принцип максимума – минимума для решения однородного уравнения теплопроводности.

13.Интегральное преобразование Фурье и его свойства.

14.Свертка абсолютно интегрируемых функций и ее свойства.

15.Дать определение гармонической функции.

16.Привести примеры гармонических функций.

17.Сформулировать принцип максимума – минимума для гармонических функций. Справедлив ли принцип для бесконечных областей? Следствия из принципа.

31