Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казахский национальный университет им. аль-Фараби

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Радченко.Кудряшов.УМФ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

362.2 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Федеральное агентство по образованию

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики, механики и компьютерных наук

Рассмотрено и рекомендовано	УТВЕРЖДАЮ
На заседании кафедры дифференциальных и	Декан факультета
интегральных уравнений ЮФУ	Декан факультета
Протокол №_3_____	(зам.декана по учебной работе)
Протокол №_3_____	__________________________
«_11_»_ноября___2008 г.	__________________________
Зав. кафедрой___________________	«____»______________2008 г.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС учебной дисциплины «Уравнения математической физики»

Составители: к.ф.-м.н., доц. Радченко Т. Н., к.ф.-м.н., доц. Кудряшов С. Н.

Ростов-на-Дону

2009

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Дисциплина «Уравнения математической физики» читается на третьем курсе в 5-ом и 6 -ом семестрах студентам физического факультета по специальности «Радиационная безопасность человека и окружающей среды» . На данную дисциплину по учебной программе выделено 54 часа лекций и 54 часа практических занятий, предусмотрена в конце пятого семестра отчетность

ввиде зачета, а в конце учебного года экзамен.

Вданной курсе рассматриваются задачи классификации квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, неизвестная функция которых зависит от двух или более переменных, приведению их к каноническому виду, построению общих решений и решению задачи Коши методом характеристик. Широко освящен метод Фурье для решения начально-краевых задач, являющихся математическими моделями физических явлений (колебания упругих тел и теплопроводности).

Целью данного курса является предоставление студенту знаний и навыков построения математических моделей (вывод соответствующих уравнений), постановки краевых и начальных условий, выбора подходящего метода решения, анализа полученных решений и исследование их свойств..

При изучении данной дисциплины используются знания, полученные студентами в дисциплинах, прослушанных ими в предыдущих семестрах. Имеются в виду, прежде всего, математический анализ (непрерывность функций, дифференциальное и интегральное исчисление, функциональные ряды

иряды Фурье, интегральные преобразования), дифференциальные и интегральные уравнения.

Преподавание дисциплины «Уравнения математической физики» опирается на комплекс методических указаний, изданных за период 1992-2007 гг. Методические указания содержат краткое изложение теоретических вопросов, варианты индивидуальных заданий, рекомендации для самостоятельной работы студентов при изучении теории предмета, выполнении ими индивидуальных заданий и подготовке к контрольным работам.

СОДЕРЖАНИЕ

1.Рабочая программа курса «Уравнения математической физики».. 3

1.1.Учебно-тематический план дисциплины………………………….. 4

1.2.Модульная структура дисциплины «Уравнения математической

физики»………………………………………………………………. 6

1.3.Учебно-тематический план практических занятий ………………. 25

1.4.	Общий список рекомендуемой учебной литературы…..………… 26

2.Программа экзамена………………………………………………… 28

3.Контрольные вопросы по курсу …………………………………… 31

4.Предлагаемые варианты контрольных работ и индивидуальных

заданий………………………………………………………………. 32

4.1.Задания для модуля 1……………………………………………….. 32

4.2.Задания для модуля 2……………………………………………….. 33

4.3.Задания для модуля 3……………………………………………….. 34

4.4.Задания для модуля 4……………………………………………….. 35

5.Технология обучения студента при модульном построении

курса «Уравнения с частными производными»…………………... 35

1.РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Программа курса составлена по модульному принципу: включает 4

модуля, в каждом из которых указана цель (предполагающая изучение перечисленных тем), форма контроля, предлагаемые типы практических заданий, рекомендуемая литература. Кроме того, в разделе 5 даны варианты возможных контрольных работ и индивидуальных заданий для каждого модуля в отдельности.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: математическая модель, общее решение, уравнения гиперболического, параболического, эллиптического типов,

краевые условия, начальные условия, уравнение колебаний струны, уравнение продольных колебаний стержня, метод разделения переменных (метод Фурье) , вынужденные колебания, уравнения теплопроводности, функции Бесселя, уравнение Лапласа, гармонические функции, задачи Дирихле и Неймана, потенциал простого слоя, потенциал двойного слоя, интегральное уравнение второго рода.

1.1. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ

№ п/п			Тема					Аудито	Часы на
								рные	самостоятел
								часы	ьную работу

		1-ый семестр

1	Классификация		и	приведение			к	2	2
	каноническому		виду		квазилинейных
	уравнений	с	частными		производными
	второго порядка.

2	Вывод уравнений гиперболического типа							4	2
	как математических			моделей		колебания
	упругих	тел	и	распространения
	акустических волн. Начальные и
	граничные условия. Постановка задач.

3	Решение	задачи		Коши		методом		2	2
	характеристик.

4	Метод Фурье для однородных задач.							4	2
	Общая схема Фурье.			Задача Штурма			-
	Лиувилля.

5	Неоднородные начально-краевые задачи.							2	2
	Вынужденные колебания. Стационарный
	случай. Общая задача.

6	Введение в теорию специальных функций.							4	4

					4

	Функции Бесселя, многочлены Лежандра и
	их применение к решению краевых задач
	для уравнений с переменными
	коэффициентами.

	Итого	18	14

	2-ой семестр.

7	Задачи для уравнения распространения	12	6
	тепла. Интегральные преобразования и их
	применение к решению задач
	теплопроводности стержня.

8	Основные задачи для уравнений	8	4
	эллиптического типа. Гармонические
	функции. Краевые задачи. Теоремы о
	единственности и устойчивости. Функция
	Грина. Свойства гармонических функций.

9	Введение в теорию интегральных	4	2
	уравнений..

10	Теория потенциала. Свойства потенциалов	10	4
	простого и двойного слоя. Сведение
	основных краевых задач к интегральным
	уравнениям и их исследование.

11	Уравнение Гельмгольца. Свойства	2	2
	решений уравнения ∆u −κ2u =0 . Свойства
	решений уравнения ∆u + k2u =0 .

	Итого:	36	18

1.2. МОДУЛЬНАЯ СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Модуль 1. КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК.

Этому модулю соответствует первая часть курса. Проводится квалификация уравнений, для уравнений с двумя аргументами дается рецепт приведения их к каноническому виду. Строится решение задачи Коши для уравнения гиперболического типа. Выводятся основные уравнения колебания струны и стержня, телеграфное уравнение.

Лекция 1. Общие понятия. Типы уравнений второго порядка, линейных относительно старших производных. Инвариантность типа уравнения при невырожденных преобразованиях. Уравнение характеристик. Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка при двух аргументах гиперболического, параболического и эллиптического типов. Нахождение общего решения и решение задачи Коши методом характеристик.

Лекция 2. Вывод уравнения колебания струны. Уравнение продольных колебаний стержня. Начальные условия для уравнения колебания струны и телеграфного уравнения. Граничные условия для уравнения колебаний струны и стержня (типы закреплений: жесткое, свободное или мягкое, упругое, вывод условий закрепления в аналитическом виде).

Лекция 3. Постановка задач для уравнений гиперболического типа. Понятие о корректной постановке задачи математической физики. Примеры некорректно поставленных задач. Решение задачи Коши для однородного уравнения гиперболического типа. Решение Даламбера. Формула Даламбера. Теорема об устойчивости решения задачи Коши для бесконечной струны. Физический смысл формулы Даламбера.

Лекция 4. Решение задачи Коши для неоднородного уравнения гиперболического типа при помощи метода Дюамеля. Задача Коши для

волнового уравнения в пространстве. Вывод формулы Кирхгофа. Физический смысл формулы Кирхгофа. Решение задачи Коши для уравнения колебаний бесконечной мембраны (метод спуска). Формула Пуассона и ее физический смысл.

Форма контроля: контрольная работа. Предлагаемые практические задания.

1. Определить тип уравнения x

2 ∂2u

∂2u

+ 2x

∂2u

+ y

∂u

−

∂u

в кольце

∂x2

∂y2

∂x∂y

∂x

∂y

1< x2 + y2 <7 .

2. Указать одну из подстановок, приводящих данное уравнение

2 y ∂2u

+ 2xe

y ∂2u

+ x

∂2u

к каноническому виду .

∂x2

∂x∂y

∂y2

3. Привести к каноническому виду уравнение 4y

∂2u

−4y

∂2u

−

1 ∂u

=0.

∂x2

∂y2

∂x∂y

y ∂y

4. Найти общее решение уравнения 2x ∂2u − y ∂2u −3 ∂u =0 .

∂x∂y ∂y2 ∂y

Найти решение уравнения 3x

∂2u

− y

∂2u

−2

∂u

=0 при таких начальных

∂x∂y

∂y2

∂y

условиях:

= x,

∂u

=15x2 .

y=1

∂y

y=1

Тест рубежного контроля

1) Общее решение уравнения

∂2u

2 ∂u

0 имеет вид: а) u =ϕ(ξ)η

−2

;

∂ξ∂η

∂ξ

б) u =η−2ϕ(η) +ψ(ξ); в) u =η−2ϕ(ξ) +ψ(η); г) u =ξ−2ϕ(η) +ψ(η).

2) Общее решение уравнения

∂2u

−

∂u

=0 имеет вид

∂ξ∂η

∂ξ

а) u =ξ3ϕ(η) +ψ(ξ); б) u =e3ηϕ(ξ) +ψ(η); в) u =η−2ϕ(ξ) +ψ(η);

г) u =e3ϕ(η) +ψ(ξ).

∂2u

3) Общее решение уравнения

=0 имеет вид: а) u =ξ ϕ(η) +ψ(ξ);

∂η2

б) u =ηϕ(ξ) +ψ(η); в) u =ηϕ(ξ) +ψ(ξ); г) u =ξϕ(η) +ψ(η).

4) Общее решение уравнения

∂2u

−

2 ∂u

0 имеет вид:

∂η

а) u =ηϕ(ξ) +ψ(ξ); б) u =η2ϕ(ξ) +ψ(η); в) u =e2ηϕ(ξ) +ψ(ξ);

г) u =e−2ηϕ(ξ) +ψ(η).

5) Общее решение уравнения

∂2u

+ 2

∂u

=0 имеет вид:

∂η

а) u =e−2ηϕ(ξ) +ψ(ξ); б) u =η−2ϕ(ξ) +ψ(η); в) u =e−2ηϕ(ξ) +ψ(η);

г) u =η−2ϕ(ξ) +ψ(ξ) .

6) Функция u =e−2ξϕ(η) +ψ(ξ) является общим решением уравнения

а)

∂2u

−

∂u

=0;

б)

∂2u

+ 2

∂u

=0 ; в)

∂2u

−2

∂u

=0 ; г)

∂2u

2 ∂u

=0 .

∂ξ∂η

∂ξ

∂ξ∂η

∂η

∂ξ∂η

∂η

∂ξ∂η

ξ ∂η

7) Функция u =ϕ(ξ) +ψ(η) является общим решением уравнения

а)

∂2u

∂u

=0; б)

∂2u

=0;

в)

∂2u

∂u

0; г)

∂2u

=0.

∂ξ∂η

∂η

∂ξ∂η

∂ξ

∂η2

8) Функция u =η3ϕ(ξ) +ψ(η) является общим решением уравнения

а)

∂2u

∂u

=0;

б)

∂2u

−

∂u

=0 ; в)

∂2u

−

∂u

=0 ; г)

∂2u

−

3 ∂u

=0 .

∂ξ∂η

∂η

∂ξ∂η

∂η

∂ξ∂η

∂ξ

∂ξ∂η

η ∂η

9) Функция u =e3ηϕ(η) +ψ(ξ) является общим решением уравнения

а)

∂2u

−

3 ∂u

=0;

б)

∂2u

−3

∂u

=0 ; в)

∂2u

−

2 ∂u

0 ; г)

∂

∂u

=0 .

∂ξ∂η

∂η

∂ξ∂η

∂η

∂ξ∂η

η ∂η

∂ξ∂η

∂η

10)

Общим

решением

уравнения

∂

−

∂2u

∂u

является

∂x∂y

∂y2

∂y

функция : а) u = y−2 / 3ϕ(x3 y2 ) +ψ(y) ; б)

u = x5 / 3ϕ(x2 y3 ) +ψ(x);

в) u = y3/ 5ϕ(x3 y2 ) +ψ(y); г) u = y−7 / 3ϕ(x2 y3 ) +ψ(x).

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных.- М.: ФИЗМАТГИЗ, 1961.

2.Кошляков Н.С. Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. – М.: ФИЗМАТГИЗ, 1962.

3.Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.- М.: Наука, 1964.

4.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики операций. - М.: Наука, 1972.

5.Николенко В.Н. Уравнения математической физики. Издательство МГУ

1981 .

6 . Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики.- М: Наука,

1971.

7.Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. – М.: Наука, 1972.

8.Алексеев А.Д. Радченко Т.Н. , Рогожин В.С., Хасабов Э.Г. Практикум по уравнениям математической физики.- УПЛ РГУ, 1992.

9.Кудряшов С.Н. Методические указания по курсу «уравнения математической физики» для студентов мехмат факультета, 6 выпусков, УПЛ РГУ, 1993-1996.

Модуль 2. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА. РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ФУРЬЕ. Данный раздел является центральным в курсе. В нем излагается один

из основных методов решения начально-краевых задач для уравнений с частными производными гиперболического типа, к которым сводятся задачи о колебании упругих тел – метод Фурье или метод разделения переменных. Рассматриваются и некоторые вспомогательные темы, например, элементы теории специальных функций.

Лекция 5. Задача Штурма – Лиувилля . Краевые условия Штурма. Собственные функции и собственные значения, их основные свойства. Общая схема Фурье. Задача о продольных колебаниях стержня, один из концов которого мягко закреплен .

Лекция 6. Задача о колебании струны, закрепленной на концах. Исследование решения. Частные гармоники. Регулярные и обобщенные решения. Теорема о единственности решения краевой задачи для уравнения гиперболического типа. Теорема об устойчивости решения.

Лекция 7. Неоднородные задачи для уравнения гиперболического типа. Метод собственных функций. Неоднородное уравнение гиперболического типа с неоднородными начальными и граничными условиями.

Лекция 8. Дифференциальное уравнение Бесселя. Функции Бесселя и Неймана. Основные свойства функций J0 (x) и J1(x). Общее решение однородного уравнения Бесселя. Интегрирование функций Бесселя, рекуррентные формулы. Некоторые частные случаи функций Бесселя.

Лекция 9. Ортогональные системы функций Бесселя. Разложения функций в обобщенный ряд Фурье по ортогональной системе функций Бесселя. Радиальные колебания круглой мембраны. Физический смысл.

Форма контроля: контрольная работа. Предлагаемые практические задания.

1.Исследовать задачу о колебании струны, закрепленную на концах, когда отсутствуют начальные скорости (или начальные отклонения).

2.Исследовать задачу о продольных колебаниях стержня, левый конец которого свободен, а правый жестко закреплен.

3.Изучить задачу о колебании стержня, оба конца которого мягко закреплены.

4.Стержень расположен вертикально и закреплен в верхней точке. В момент

t =0 он освобождается в нижней точке. Изучить вынужденные колебания (под действием силы тяжести) стержня.

5.Круглая мембрана закреплена по граничной окружности радиуса R и находится в положении равновесия. В момент t =0 она освобождается от опоры. Изучить вынужденные колебания мембраны под действием силы тяжести.

6.Круглая однородная мембрана радиуса R , закрепленная по контуру, находится в состоянии равновесия при натяжении T . В момент времени t =0 к

поверхности мембраны приложена равномерно распределенная нагрузка f = P0 sinωt . Найти радиальные колебания мембраны.

7. Найти собственные колебания круглой мембраны радиуса R , закрепленной по краю, начальное отклонение которой равно нулю, а начальная скорость равна

∂u

=v ,

r ≤ h < R

если h < r ≤ R, r =

если

и равна нулю,

x2 + y2 .

Данное

∂t

t=0

условие означает удар плоским молоточком радиуса h со скоростью v0 .

Тест рубежного контроля

Решение

уравнения

∂2u

= a

2 ∂2u

области

0 < x < , t >0 ,

∂t2

∂x2

u(0,t) =u( ,t) =0 ,

удовлетворяющее

условиям

u(x,0) =5sin

3πx

−

1 sin 8πx ,

∂u (x,0) =0

имеет вид:

∂t

а)

5sin

3πat

sin

3πx

;

б) 5cos

3πat

sin

3πx

− 1 cos

8πat

sin

8πx ;

в)

−1 cos

8πat

sin 8πx ; г)

5sin

3πat

sin

3πx

− 1 sin

8πat

sin

8πx .

Решение

уравнения

∂2u

= a

2 ∂2u

области

0 < x < , t >0 ,

∂t2

∂x2

u(0,t) = ∂u

удовлетворяющее

условиям

( ,t) =0 ,

5πx

∂u (x,0) =sin 3πx

∂x

u(x,0) =sin

имеет вид:

∂t

а)cos

5πat

sin

5πx

sin

3πat

sin 3πx

;б)

5cos

3πat

sin 3πx ;

3πa

в)

1 cos

3πat

sin

3πx

; г) sin

5πat

sin

5πx

+sin

3πat

sin

3πx .

Решение

уравнения

∂2u

= a

2 ∂2u

области

0 < x < , t >0 ,

∂t2

∂x2

∂u (0,t) =u( ,t) =0,

удовлетворяющее

условиям

u(x,0) =cos πx

, ∂u

3πx

∂x

(x,0) =cos

имеет вид:

∂t

а)

sin πat

sin πx ;

б)

cos πat

cos

πx +cos

3πat

sin

3πx

;

в)cos

πat cos πx

cos

3πx

sin

3πat ;

г) cos πat

sin

πx +

sin

3πx

sin 3πat .

3πa

Решение

уравнения

∂2u = a2 ∂2u

области

∂t2

∂x2

∂u

удовлетворяющее

условиям

(0,t

5πx

∂u

∂x

u(x,0) =sin2

(x,0) =0имеет вид:

∂t

а)

1 −cos

10πx

;

б)

1 cos

10πat

cos

10πx

;

в)

1 cos

10πat

−

; г)

−cos

10πat

cos

10πx .

Решение уравнения

∂2u

= a

2 ∂2u

Asin

3πx

в области

∂t2

∂x2

∂u (x,0) =0

удовлетворяющее условиям u(0,t) =u( ,t) =0 , u(x,0) =

A 2

3πat

3πx

A 2

3πat

∂t

3πx

а)

; б)

;

1+cos

sin

−cos

sin

2 2

9a π

в)

A 2

9πat

9πx

; г)

A 2

9πat

9πx

1−cos

sin

1+cos

sin

2 2

9a π

0 < x < , t >0 ,

) = ∂∂ux ( ,t) =0,

0 < x < , t >0 ,

, имеет вид:

Решение

уравнения

∂2u

= a

2 ∂2u

+cos

5πx

области

0 < x < , t >0 ,

∂t2

∂x2

∂u

удовлетворяющее условиям

(0,t) =u( ,t) =0 ,

u(x,0) =

(x,0) =0, имеет вид:

4 2

∂x

4 2

∂t

а)

5πat

5πx

;

б)

5πat

5πx

;

1−cos

cos

+cos

cos

2 2

25a π

25a

в)

4 2

5πat

5πx

; г)

4 2

5πat

5πx

−cos

sin

1−sin

cos

2 2

25a π

Решение уравнения

∂2u

= a

∂2u

+ Bsin

3πx

в области

0 < x < , t >0 ,

∂t

∂x2

∂u

удовлетворяющее условиям u(0,t) =

( ,t) =0 ,

u(x,0) =

(x,0) =0, имеет вид:

∂x

∂t

а)

4B 2

3πat

3πx

;

б)

4B 2

3πat

3πx

;

1+cos

sin

−cos

cos

2 2

в)

4B 2

3πat

3πx

; г)

4B 2

3πat

3πx

1−sin

sin

1−cos

sin

2 2

Решение уравнения

∂2u

= a

2 ∂2u

Acos

5πx

в области 0 < x < , t >0 ,

∂t2

∂x2

удовлетворяющее

условиям

∂u (0,t) =

∂u

( ,t) =0,

u(x,0) =

∂u

(x,0) =0,

имеет

вид:

∂x

∂t

а)

A 2

5πat

5πx

;

б)

A 2

5πat

5πx

;

+cos

cos

1−cos

sin

25a

25a π

в)

A 2

5πat

5πx

; г)

A 2

5πat

5πx

−cos

cos

−sin

cos

25a π

25a

Решение

уравнения

∂2u

= a

2 ∂2u

+ g

области

0 < x < , t >0 ,

∂t2

∂x2

удовлетворяющее условиям u(0,t) =

∂u

( ,t) =0 , u(x,0) = ∂u (x,0) =0, имеет вид:

gx(2 − x)

∂x

∂t

∞

а)

−

16g

∑

cos

π(2n +1)at sin π(2n +1)x

;

3 2

π a

n=0 (2n +1)

∞

б);

16 g

∑

cos π(2n +1)at sin π(2n +1)x

3 2

π a

n=0 (2n +1)

gx(2 − x)

∞

в)

−

16g

∑

sin

π(2n +1)at sin π(2n +1)x

;

3 2

π a

n=0 (2n +1)

gx(2

− x)

∞

г)

−

16g

∑

cos π(2n +1)at cos π(2n +1)x .

3 2

(2n +1)

n=0

10)

Решение

уравнения

∂2u

= a

∂2u

области

0 < x < , t >0 ,

∂t2

∂x2

∂u

u(x,0) = ∂u

удовлетворяющее

условиям

(0,t) =α; u( ,t) =0 ,

(x,0) =0,

имеет

вид:

∂x

∂t

∑

2 cos (2n +1)πat sin π(2n +1)x

;

а)α(x − ) + 8 α2

∞

n=0

(2n +1)

б)α(x − ) + 8 α2

∑

2 cos (2n +1)πat cos π(2n +1)x ;

∞

в)8 α2

n=0

(2n +1)

∑

2 cos (2n +1)πat cos π(2n +1)x ;

∞

n=0

(2n +1)

г) α(x − ) + 8 α2 ∑

2 sin (2n +1)πat cos π(2n +1)x .

∞

n=0

(2n +1)

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных.- М.: ФИЗМАТГИЗ, 1961.

2.Кошляков Н.Н., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. – М.: ФИЗМАТГИЗ, 1962.

3.Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.- М.: Наука, 1964.

4.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики операций. - М.: Наука, 1972.

5.Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики.- М: Наука,

1971.

6.Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. – М.: Наука, 1972.

7.Алексеев А.Д., Радченко Т.Н., Рогожин В.С., Хасабов Э.Г. Практикум по уравнениям математической физики.- УПЛ РГУ, 1992.

8.Кудряшов С.Н. Методические указания по курсу «уравнения математической физики» для студентов мехмат факультета, 6 выпусков, УПЛ РГУ, 1993-1996.

9.Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции.-

М.: Наука, 1984.

Модуль 3. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА. РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ.

Этот модуль посвящен рассмотрению начально-краевых задач для уравнений, описывающих процессы распространения тепла в изотропных телах, а также диффузию растворенного вещества в неподвижный растворитель. Выводятся соответствующие уравнения. Ставятся наиболее естественные краевые требования. Изучаются свойства полученных решений. Приводятся примеры задач, решаемых интегральными

преобразованиями (преобразование Фурье, синус - преобразование и косинус –преобразование).

Лекция 10. Уравнения параболического типа. Вывод уравнения распространения тепла в твердом изотропном теле. Начальные и граничные условия для уравнения теплопроводности. Уравнение диффузии. Постановка задач для уравнения параболического типа.

Лекция 11. Принцип максимума-минимума для решения уравнения теплопроводности. Первое следствие из принципа о единственности 1-ой краевой задачи. Второе следствие о непрерывной зависимости решения от начальных условий.

Лекция 12. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности стержня методом Фурье. Решение задачи для уравнения распределения тепла в стержне с внутренними источниками тепла.

Лекция 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности бесконечного стержня. Теорема о единственности решение. Понятие об интегральном преобразовании Фурье. Основные свойства преобразования. Построение формального решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Лекция 14. Обоснование формального решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Следствия из формулы Пуассона (о бесконечной дифференцируемости решения, о непрерывной зависимости от начального условия, о скорости распространения тепла). Фундаментальное решение задачи Коши и его физический смысл .

Лекция 15. Неоднородные задачи для уравнения параболического типа. Синус-преобразование Фурье. Косинус-преобразование Фурье. Решение задачи Коши для полубесконечного стержня.

Форма контроля: контрольная работа. Предлагаемые практические задания

1. Исследовать задачу о теплопроводности конечного однородного стержня, на одном из концов которого поддерживается нулевая температура, а на другом происходит свободный теплообмен с окружающей средой с температурой

равной нулю. Считаем, что начальная температура стержня известна, u(x,0) =ϕ(x) .

2.Исследовать туже задачу, когда температура на конце стержня и в окружаемом пространстве постоянна и равна u0 .

3.В цилиндрическом сосуде длиной с непроницаемой границей неравномерно

растворено вещество с начальной концентрацией C(x,0) =ϕ(x) . Изучить процесс выравнивания концентрации вещества в сосуде. Определить окончательное значение концентрации. Рассмотреть частный случай, когда начальное условие кусочно постоянно: ϕ(x,0) =C0 , если 0 ≤ x < h и ϕ(x,0) =0 , если h < x ≤ .

4.Вывести уравнение теплопроводности однородного стержня, с боковой поверхности которого происходит свободный теплообмен с окружающей средой, имеющую нулевую температуру.

5.Вывести уравнение диффузии радиоактивного вещества (радона) в растворителе (вода), распад молекул которого пропорционален концентрации вещества.

6.Найти распределение температуры стержня, длиной , при t >0, если

начальная температура его равна u(x,0) = A x , A − некоторая постоянная. На

конце x =0 поддерживается нулевая температура, а на конце x = убывает по закону u( ,t) = Ae−t .

7. Дан однородный шар радиуса R при температуре равной нулю. За все время шар обогревается равномерно по всей поверхности постоянным тепловым потоком q . Найти радиальное распределение температуры внутри шара при

t >0.

8.Решить задачу Коши для бесконечной струны преобразованием Фурье, то есть получить формулу Даламбера другим способом.

9.Исследовать радиальное распределение тепла в бесконечно круговом цилиндре радиуса R , боковая поверхность которого поддерживается при постоянной температуре u0 , а начальная температура внутри цилиндра равна

нулю.

Тест рубежного контроля

1) Решение уравнения

∂u

= a

2 ∂2u

в полуполосе 0 < x < , t >0, удовлетворяющее

∂t

∂x2

условиям: u(0,t) =u( ,t) =0 ;

u(x,0) = Ax , имеет вид:

а) 2

A ∑(

)

πka 2

A ∑(

)

πka 2

cos

; б)

sin

;

∞

−1

−

∞

−1

−

π k=1 k

A ∑(

)

πka 2

ka ; г)

∑(

)

πka 2

ka .

в)

sin

∞

−1

−

∞

−1

−

π k=1 k

Решение уравнения

∂u

= a

∂2u

в полуполосе 0 < x < , t >0,

∂t

∂x2

удовлетворяющее условиям: u(0,t) =u( ,t) =0 ;

u(x,0) = x( − x), имеет вид:

2 ∞

π (2k+1)a 2

(2k

∞

(

−1

πka

−

а)

∑

sin

1)x ; б)

A ∑

)

sin

;

(2k +1)

k=0

k=1

2 ∞

π (2k+1)a 2

∞

πka 2

в)

8 2

∑

3 e

cos π(2k +1)x ; г)

2 A ∑

13 e

sin πka .

−

π k=1

k=0

(2k +1)

3) Решение уравнения

∂u

= a

2 ∂

в полуполосе 0 < x < , t >0, удовлетворяющее

∂t

∂x2

∂u

5πx

условиям: u(0,t) =

( ,t) =0 ;

u(x,0) =1/ 2sin

, имеет вид:

∂x

1 e

5πa 2

5πx ; б)

1 e

5πa 2

cos 5πx

а)

sin

;

−

5πa 2

1 sin 5πx ; г)

1 e

sin 5πx .

в)

−

∂u

2 ∂2u

4) 1) Решение уравнения

= a

в полуполосе 0 < x < , t >0,

∂t

∂x

∂u

3πx

11πx

удовлетворяющее условиям: u(0,t) =

( ,t) =0

; u(x,0) =3sin

−sin

имеет вид:

∂x

а)

3πa 2

sin 3πx

− e

11πa 2

sin11πx ; б)

11πa 2

cos11x ;

−

11πa 2

3πa 2

в)

sin11x ;

г) e

cos 3x .

−

Решение уравнения

∂u

= a

∂2u

в полуполосе 0 < x < , t >0,

∂t

∂x2

∂u

5πx

−cos 7πx

удовлетворяющее условиям: u( ,t) =

(0,t) =0

; u(x,0) = 2cos

∂x

имеет вид:

а)

5πa 2

cos

5πx − e

7πa 2

cos 7πx ; б)

5πa 2

cos 5πx

−;

−

7πa 2

5πa 2

7πa 2

в)

cos 7πx ; г)

cos 5πx − e

cos 7πx .

−

Решение уравнения

∂u

= a

∂2u

в полуполосе 0 < x < , t >0,

∂t

∂x2

удовлетворяющее условиям: ∂u (0,t) =u( ,t) =0 ; u(x,0) =T , имеет вид:

∂x

4T0 ∑

π (2k+1)a 2

(2k

1)x

4T0 ∑(

)

πka 2

kx ;

а)

cos

; б)

sin

∞

−

∞

−1

−

k=0

(2k +1)

π k=1 k

4T0 ∑

π (2k+1)a 2

(2k

1)x

4T0 ∑

(

)

πka 2

kx .

в);

sin

;г)

cos

∞

−

∞

−1

−

k=0

(2k +1)

π k=1 k

7) Решение уравнения

∂u

= a

∂2u

в полуполосе 0 < x < , t >0, удовлетворяющее

∂t

∂x2

условиям:

∂u u( ,t) =

∂u

(0,t) =0 ; u(x,0)

=sin2 7πx

, имеет вид:

∂x

		14πa
а)	1 +	1 e
а)	1 +	1 e
		−
	2	2
		14πa
в)	1 −	1 e
в)	1 −	1 e
		−
	2	2

sin14πx

1 − 1 e

14πa 2

sin14πx

; б)

;

−

cos14πx

7πa 2

7πx .

; г)

cos

−

8) Решение уравнения

∂u

= a

∂

в полуполосе 0 < x < , t >0, удовлетворяющее

∂t

∂x2

условиям:

∂u u( ,t) = ∂u

(0,t) =0 ;

u(x,0) = −2cos

4πx

, имеет вид:

∂x

4πa 2

cos 4πx

14πa 2

14πx ;

а) 2e

; б)

1 e

sin

−

4πa 2

7πa 2

в) −2e

sin 4πx ; г)

cos 7πx .

e 2

−

∂u

2 ∂2u

πx

9) Решение уравнения

= a

−sin

в полуполосе 0 < x < , t >0,

∂t

∂x2

удовлетворяющее условиям: u(0,t) =1;

∂u ( ,t) = 2; u(x,0) = −2sin

3πx

+ 2x +1,

имеет вид:

∂x

4πa 2

cos 4πx

; б)

3πa 2

sin 3πx ;

а) 2e

−

1 4

sin πx

πa 2

sin πx

3πa 2

sin 3πx ;

−

в)−

+1+ x +

+2e

a2 π2

π2a2

1 4

sin πx

πa 2

sin πx .

г) −

+1+ x

−

a2 π2

π2a2

10) Решение уравнения

∂u

= a

2 ∂2u

−cos

7πx

в полуполосе 0 < x < , t >0,

∂t

∂x2

удовлетворяющее условиям:

∂u u( ,t) = 2;

∂u

(0,t) = 2; u(x,0) =3cos

4πx

+ 2x −4 ,

имеет вид:

∂x

14πa 2

14πx ;

а)

1 +

1 e

sin

−

4πx

7πx

−

4πa 2

7πa 2

б) 2x −4 +3e

cos

−1

;

7aπ

14πa 2

cos14πx ;

в)

1 −

1 e

−

4πx

7πx

−

4πa 2

7πa 2

г)

2x −4 +3e

sin

−1 .

7aπ

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. – М.: Физматгиз, 1962.

2.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики операций. - М.: Наука, 1972.

3.Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики.- М: Наука,

1971.

4.Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. – М.: Наука, 1972.

5.Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции.-

М.: Наука, 1984.

6.Алексеев А.Д., Радченко Т.Н., Рогожин В.С., Хасабов Э.Г. Практикум по уравнениям математической физики.- УПЛ РГУ, 1992.

7.Кудряшов С.Н. Методические указания по курсу «уравнения математической физики» для студентов мехмат факультета, 6 выпусков, УПЛ РГУ, 1993-1996.

Модуль 4. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.

В этом разделе изучаются основные краевые задачи для уравнений эллиптического типа. В основном рассматриваются уравнения Лапласа и Пуассона. Строится теория фундаментальных решений уравнения Лапласа и функции Грина задачи Дирихле. Изучаются свойства гармонических функций, приводятся решения задачи Дирихле для шара методом функции Грина и для круговых областей методом конформных отображений и методом Фурье. Особое место занимает теория потенциала, как специальных интегральных представлений гармонически функций. Основные краевые задачи для гармонических функций в плоских областях сводятся к линейным интегральным уравнениям 2-го рода и изучаются с применением теории Фредгольма. В заключении приводятся основные свойства решений уравнения Гельмгольца.

Лекция 16. Уравнения эллиптического типа. Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа. Постановка основных краевых задач для уравнения Лапласа. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Интегральное представление функций класса C2 .

Лекция 17. Определение гармонических функций. Основные примеры. Свойства гармонических функций: 1) о нормальной производной, 2) интегральное представление гармонической функции, 3) дифференцируемость, 4) теорема о среднем, 5) принцип максимума-минимума гармонической функции.

Лекция 18. Теоремы о единственности решений внутренней и внешней задач Дирихле. Теоремы о единственности решений внутренней и внешней задач Неймана. Функция Грина задачи Дирихле и ее свойства.

Лекция 19. Отыскание функции Грина задачи Дирихле методом электростатистических изображений. Решение задачи Дирихле для полупространства. Решение задачи Дирихле для шара. Построение функции Грина методом конформных отображений. Решение задачи Дирихле для круга и полуплоскости с помощью конформных отображений.

Лекция 20. Элементы теории линейных интегральных уравнений. Вводные понятия. Решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода с «малыми» ядрами (метод последовательных приближений). Единственность решения уравнения Фредгольма при малом λ. Итерированные ядра и резольвента.

Лекция 21. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Об эквивалентности интегральных уравнений и линейных систем алгебраических уравнений. Теоремы Фредгольма для систем и интегральных уравнений. Интегральные уравнения Фредгольма с непрерывными ядрами. Замечание об интегральных уравнениях со слабой особенностью.

Лекция 22. Введение в теорию потенциала. Определение потенциалов. Основные определения и свойства несобственных интегралов, зависящие от параметра. Свойства потенциала простого слоя (гармоничность, теорема о непрерывности на границе, теорема о скачке нормальной производной при переходе через граничный контур).

Лекция 23. Свойства потенциала двойного слоя. Потенциал с единичной плотностью. Скачок потенциала при переходе через граничный контур.

Лекция 24. Приведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям (I − IV ). Лемма о потенциале простого слоя. Теоремы о разрешимости уравнений I и IV . Исследование краевых задач внутренней Дирихле и внешней Неймана. Решение задачи Дирихле для круга.

Лекция 25. Лемма о разрешимости однородного уравнения (II.0). Теорема об уравнениях (II) и (III) . Теорема о разрешимости уравнений (II) и (III) . Исследование краевых задач внешней Дирихле и внутренней Неймана. Свойства объемного и логарифмического потенциалов. Решение краевых задач для уравнения Пуассона.

Лекция 26. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье. Обоснование формального решения. Формула Пуассона для задачи Дирихле для круга.

Лекция 27. Уравнение Гельмгольца. Задачи, сводящиеся к уравнению Гельмгольца. Краевые задачи. Фундаментальные решения и теория потенциала для уравнения ∆u −κ2u =0 . Исследование уравнения ∆u + k2u =0 . Объемные потенциалы и их применение.

Форма контроля: контрольная работа. Предлагаемые практические задания

Исследовать решение

задачи

Дирихле

для прямоугольной области,

0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤b .

Исследовать решение смешанной задачи для гармонических функций в

прямоугольной области, 0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤b , с такими краевыми условиями:

u(x,0) =ϕ(x),

u(x,b) =ψ(x);

∂u

= g(y),

∂u

= h(y).

∂x

x=0

∂x

x=a

∂u

Решить задачу 2 при таких краевых условиях u(x,0) =0;

= f (x);

u(0, y) =0;

∂u

= F(y) .

∂x

y=b

∂y

x=a

4.Решить задачу Дирихле для внешности круга r > R .

5.Решить задачу Дирихле для кольца 1≤ r ≤ R .

6.Решить смешанную задачу для гармонических функций в кольце 1≤ r ≤ q с

краевыми условиями: u(1,θ) = f (θ);

∂u (q,θ) = F(θ) .

∂r

Найти решение уравнения Пуассона

∂2u

= 4sin

2π y

в области

∂x2

∂y2

0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤b , обращающееся в нуль на границе.

Найти в области x

+ y

≤ 4 решение уравнения

∂2u

= 2xy ,

∂x2

∂y2

обращающееся в нуль на границе.

9.Найти в области 1≤ x2 + y2 ≤ 4 частное решение уравнения ∆u = x2 − y2 , равное нулю на границе u r=1 =u r=2 =0 .

10.Решить задачу Дирихле для полуполосы 0 ≤ x ≤ a, y >0 , если

u(x,0) =ϕ(x);ϕ(0) =ϕ(a) =0 , u(0, y) =0; u(a, y) =0; u(x,∞) =0 .

Тест рубежного контроля

1) Решение уравнения Лапласа

∂2u

0 в прямоугольнике

∂x2

∂y2

0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤b, удовлетворяющее условиям

u(0, y) =u(a, y) =0;

u(x,0

)= Asin

πx ; u(x,b) =0, имеет вид: а)

Asin

πx ; б)

Asin πx sh π (b − y) / sh πb ; в)

Asin π y

;

г)

Acos πx sh

π (b − y) / sh

πb .

2) Решение уравнения Лапласа

∂2u

0 в прямоугольнике

∂x2

∂y2

0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤b, удовлетворяющее условиям

u(0, y) =u(a, y) =0;

u(x,0

)=0; u(x,b) = Bsin

2πx

, имеет вид: а) Dsin

2πx

; б)

2πx

sh 2π

(b − y) / sh 2πb ; в)

Dsin 2π y

Bsin

;

г)

Bsin 2πx sh π y / sh πb .

∂2u

3) Решение уравнения Лапласа

0 в прямоугольнике

∂x2

∂y2

0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤b, удовлетворяющее условиям

u(0, y) =sin

π y

; u(a, y) =0;

u(x,0

)=0; u(x,b) =0 , имеет вид:

а) sin π y sh π(a − x)

/ sh πa

; б)

sin πx sh π

(b − y) / sh πb ; в) sin

π y

;

г) cos πx sh π

(b − y) / sh

πb .

4) Решение уравнения Лапласа

∂2u

0 в прямоугольнике

∂x2

∂y2

0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤b, удовлетворяющее условиям

u(0, y) =0; u(a, y) = 2sin

2π y

;

u(x,0 )=0; u(x,b) =0 , имеет вид:

а) sin π y ; б) 2sin

2πx

sh 2π (b − y) / sh 2πb

; в) sin 2π y ;

г)

2sin

2π y

sh 2π x / sh 2πb .

5) Решение уравнения Лапласа

∂2u

∂

в прямоугольнике

∂x2

∂y2

0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤b, удовлетворяющее условиям

u(0, y) =

∂u u(a, y) =0;

u(x,0

)= Asin

3πx ; u(x,b) =0 , имеет вид: а)

Asin

πx ;

∂x

б) Asin

3πx

3π

(b − y) / sh 3πb ; в)

Asin

π y

;

г)

Acos πx sh π

(b − y) / sh

πb .

6) Решение уравнения Лапласа

∂2u

∂

в прямоугольнике

∂x2

∂y2

0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤b, удовлетворяющее условиям

u(0, y) =0;u(a, y) = Bsin

π y

;

u(x,0 )=0;

∂u (x,b) =0, имеет вид: а)

Bsin

2πx

; б)

∂y

Bsin

2πx

sh 2π

(b − y) / sh 2πb ; в) Dsin 2π y ;

г)

Bsin 2π y sh

x / sh

πa .

∂2u

7) В круге x

+ y

= R

найти решение уравнения

= 4, равное нулю на

∂x2

∂y2

границе, имеет вид: а)

x + y ,б)

x2 + y2 − R2 , в) Rxy , г)

R(x + y).

8) В круге x2 + y2 =1 найти решение уравнения ∂2u + ∂2u = 4, равное нулю на

∂x2 ∂y2

границе, имеет вид: а) x + y ,б) (xy − xy(x2 + y2 )) /12 , в) xy , г) xy + x + y .

9) В круге x2 + y2 =1 найти решение уравнения ∂2u + ∂2u =12(x2 − y2 ), равное

∂x2 ∂y2

нулю на границе, имеет вид: а) x4 − y4 − x2 + y2 ,б) (xy − xy(x2 + y2 )) /12 , в) xy , г) xy + x + y .

10) В круге x2 + y2 =1 найти решение уравнения ∂2u + ∂2u =8(x + y) , равное

∂x2 ∂y2

нулю на границе, имеет вид: а) x + y ,б) (xy − xy(x2 + y2 )) /12 , в) xy , г) x3 + x2 y + xy2 + y3 − x − y .

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных. – М.: Физматгиз, 1961.

2.Кошляков Н.С., Глинер Э.В., Смирнов М.М. Основные дифференциальные

уравнения математической физики. – М.: Физматгиз, 1962.

3.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики операций. - М.: Наука, 1972.

4.Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики.- М: Наука,

1971.

5.Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. – М.: Наука, 1972.

6.Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции.- М.:

Наука, 1984.

1.3.УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

5-ый семестр. Практических занятий –18 часов.

№			Тема		Количество	Часы на
п/п					аудиторны	самостоятел
п/п					х часов	ьную работу
					х часов	ьную работу
1	Приведение	квазилинейных		уравнений	3	2
	второго порядка к каноническому виду.

2	Общее решение. Задачи на отыскание				2	2
	общего решения.

3	Задача	Коши	для	уравнения	2	2
	гиперболического типа. Решение задач на
	отыскание частных решений.

4	Контрольная работа № 1 .				2

5	Решение начально-краевых задач для				4	3
	однородных уравнений колебаний методом
	Фурье. Краевые условия однородные.

				25

6	Решение начально-краевых задач для							3	2
	однородного уравнения				теплопроводности
	стержня и шара. Краевые условия
	однородные.

7	Контрольная работа № 2							2

	Итого:							18	11

	6-ой семестр. Практических занятий – 36 часов.

8	Неоднородные			задачи	для уравнений			6	4
	колебания		и	теплопроводности			со
	стационарной неоднородностью.

9	Задачи	с	неоднородностью			специального		6	4
	вида.

10	Общие	методы		решения		неоднородных		6	4
	задач.

11	Контрольная работа № 3							2

12	Применение функций Бесселя к решению							8	4
	начально-краевых задач для уравнения
	колебаний		мембраны и		теплопроводности
	цилиндрических стержней.

13	Решение краевых задач дл уравнений							6	2
	Лапласа и Пуассона.

14	Контрольная работа №4							2

	Итого							36	18

1.4 ОБЩИЙ СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции.-

М.: Наука, 1984.

2. Кошляков Н.С., Глинер Э.В., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. – М.: ФИЗМАТГИЗ, 1962.

3.Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных. – М.: Физматгиз, 1961.

4.Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. – М : Наука.

1965.

5.Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 1. – М.: Наука, 1967, т. 4. –

Физматгиз, 1958.

6. Тихонов А.Н,, Самарский А.А. Уравнения математической физики операций. - М.: Наука, 1972.

7.Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики.- М: Наука,

1971.

8.Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. – М.: Наука, 1972.

Методическая литература

1.Алексеев А.Д., Радченко Т.Н., Рогожин В.С., Хасабов Э.Г. Практикум по уравнениям математической физики.- УПЛ РГУ, 1992.

2.Кудряшов С.Н. Методические указания по курсу «уравнения математической физики» для студентов мехмат факультета, 6 выпусков, УПЛ РГУ, 1993-1996.

3.Кудряшов С.Н.. Методические указания по курсу «уравнения математической физики» для студентов вечернего отделения факультета

математики, механики и компьютерных наук, части 1-ая и 2 -ая, УПЛ РГУ,

2006.

4.Рогожин В.С. Функция Грина задачи Штурма – Лиувилля. Методические указания для студентов 3-го и 4-го курсов мехмат факультета, УПЛ РГУ, 1983.

5.Рогожин В.С. Свойства гармонических функций. Методические указания для студентов 3-го и 4 -го курсов мехмат факультета, части 1-ая и 2-ая. УПЛ РГУ, 1984.

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.03.201573.32 Кб34Р Су кодексі.docx
#
24.03.2015171.69 Кб30Р Трын й туралы.docx
#
24.03.2015590.35 Кб59Р ылмысты іс жргізу кодексі.docx
#
24.03.2015768 Кб53Р ылмысты атару кодексі.doc
#
24.03.2015373.19 Кб31Р Экология кодексі.docx
#
24.03.2015362.2 Кб52Радченко.Кудряшов.УМФ.pdf
#
24.03.201537.68 Кб7Раздел II.docx
#
12.11.2019123.24 Кб4Резистор.docx
#
08.03.2016130.05 Кб10реферат 2.doc
#
25.12.201888.58 Кб87реферат по тдп.doc
#
17.11.201993.18 Кб6Римське право.doc