1. Көлік ағымын талдауға арналған қажетті математикалық түсініктер мен деректер Көлік қозғалысының математикалық үлгілері

1.1 Макроскопиялық үлгілер

Бұл тарауда макроскопиялық үлгілердің негізгі (тарихи және мүмкін болатын қосымшалар тұрғысынан алғанда) түрлері келтірілген, әсіресе біржолақты көлік ағымына мысалдар келтірілген. Гидродинамикалық аналогияларға терең назар аударылған. Бұл бөлімнің кілттік түсінігі сақталу заңына арналған көлік ағымын суреттейтін бастапқы Коши есебінің жалпы шешімі болып табылады.

1.1.1 Лайтхилл-Уизем-Ричардс үлгісі

ХХ ғасырдың 40 жылдарының екінші жартысы мен 50 жылдары КСРО мен АҚШ жарылғыш заттың атылуы кезінде пайда болатын үдерістерді зерттеумен қарқынды айналысқан. Сонымен қоса сақталу заңының теңдеулеріне арналған бастапқы-шеткі есепті (және осындай теңдеулер жүйесін) байқауға көп көңіл бөлінген. Осы уақытта осыған ұқсас теңдеулер кездесетін қосымшалардың артуы байқалған. Осылайша 1955 жылы тәуелсіз зерттеулер барысында алғашқы біржолақты (жол екі жаққа қарай шексіз, қозғалыс солдан оңға қарай (анықтылық үшін), ешқандай автокөліктік құралдар ағыны жоқ) көлік ағымының макроскопиялық (гидродинамикалық) үлгісі ұсынылып, кейіннен Лайтхилл-Уизем-Ричардс үлгісі атанды (осы үлгіні жиі Лайтхилл-Уизем¹ үлгісі деп атайды).

Лайтхилл-Уизем-Ричардс үлгісінде келесілер бағамдалады:

1. Ағымның v(t,x) жылдамдығы мен ρ(t,x) тығыздығы арасында өзара бірмәнді тәуелділік бар;

2. АКҚ тығыздығының ρ(t,x) сақталу заңы орындалады.

ρ(t,x) жазуы t уақытындағы х координаталы трасса нүктесінің маңайындағы ұзындық бірлігінің АКҚ санын білдіреді. Яғни, v(t,x) - t уақытындағы х координаталы трасса нүктесінің маңайындағы АКҚ жылдамдығы. Ары қарай барлық жерде көлік ағымы макроскопиялық үлгілермен сипатталатын кеңістік масштабтары АКҚ-ға тән көлемді айтарлықтай асыратындығы болжанады.

­¹ Кейде «Уитемнің» орнына «Уизем» деп атайды( С.П.Новиковтың еңбектерінде).

1.1.2 Танака үлгісі

1963 жылы Танакада ұсынылған V(ρ) тәуелділігін анықтаудың бір тәсілін мысал ретінде келтірейік.

Автокөлік құралдарының біржолақты ағымы қарастырылады. Тығыздық ρ(V)=мұнда d(V)=L++– V ағым жылдамдығы берілген автокөлік құралдарының арасындағы орташа (қауіпсіз) арақашықтық (сонымен қоса, d(V) динамикалық габарит немесе көріну дистанциясы деп те атайды) , L – автокөлік құралдарының орташа ұзындығы , - жүргізушілердің әрекетін сипаттайтын уақыт,– тежегіш жолына пропорционалды коэффициент.d(V) тәуелділігінен (2) шартты қанағаттандыратын V(ρ) (1) тәуелділігін алуға болады.

коэффициенті негізінде жолдағы шарттарға байланысты болады. Осылайша қалыпты шарттарда

Сулы асфальт үшін

Мұз басқан жол үшін

1.1.3 Уизем үлгісі

Келесі қадам жүргізушілердің көз қырағылығына байланысты болады:

Оң жақ бөліктерінде пайда болған жаңа диффузиялық буындар ( (1) және (4) салыстырғанда) жүргізушілер алдағы көліктердің тығыздығы артқанда жылдамдықтарын азайтады және тығыздық азайғанда кері артатынына са келеді. Гидродинамикалық (макроскопиялық) үлгі (2), (5), (6) Уизем үлгісі деп аталады.