2 Стохастическая модель

Стохастические модели широко используются в нефтяной промышленности для характеристики коллекторов. В настоящее время существует многочисленная литература, в которой представляются новые модели или делается обзор старых моделей, но большая часть этих статей написана с расчетом на профессиональных геостатистиков. Это затрудняет понимание методов потенциальными пользователями, и выявление их сильных и слабых сторон.

Существует много ситуаций, когда для принятия решения будут существенны результаты стохастического моделирования. В стохастической модели может быть задано вероятностное распределение значений параметра. В результате получается набор результатов, а не один результат, получаемый при детерминистическом оценивании. Затем может анализироваться распределение результатов, давая возможность рассчитать среднее значение конкретной статистики и ее колебания относительно среднего значения.

За последние 15 лет было разработано множество стохастических моделей для целей имитации коллекторов; это вызвано возросшим интересом к стохастическим моделям в нефтяной промышленности. Их использование в промышленности становится повседневной практикой, и они доказали свою полезность во многих случаях. Однако после начальных успехов, опыт показал, что ни одна модель не удовлетворяет полностью во всех практических ситуациях. Это стало причиной новых разработок, а также улучшило представление о возможностях и ограничениях существующих моделей. Для того чтобы определить ошибки и сообщить пользователю, на что можно реально рассчитывать, требуются исследования и сопоставления. Остаются открытыми некоторые общие вопросы: какие модели лучше использовать – объектно-ориентированные, которые используют определенные правила построения объектов в пространстве, или модели пикселей, которые присваивают значения одному узлу грида за другим? На первый взгляд, геологи предпочитают первые модели, поскольку они чувствуют себя более комфортно,

имея дело с объектами, называемыми руслами и барами в качестве основных «строительных блоков» модели, даже если их форма идеализирована и может

быть далекой от действительной геометрии, которая должна быть воспроизведена. На этой стадии следует сделать важное замечание: большинство имеющихся методов (если не все методы) пытаются имитировать результат сложных процессов, но они не готовы учитывать какую-либо информацию о генезисе этих процессов. Это относится и к моделям пикселей, и к объектно-ориентированным моделям. Стохастическая модель, наряду со средним значением, потребует величин дисперсии, ковариации, асимметрии и т.д. В результате, повышается субъективность предположений и увеличивается риск ошибочности модели в связи с использованием статистически не значимых значений параметров. Однако модель нужна в ситуациях, когда указанный риск меньше риска модельной ошибки, присущей детерминистической модели. Актуарий должен решить, оправдывается ли существенный рост объема компьютерных расчетов, обеспечиваемым стохастическим моделированием увеличением объема информации. Другими важными вопросами являются степень вносимой мнимой точности и точность функций распределения, заменяющих детерминистические величины. Альтернативным стохастическому моделированию и часто не менее полезным подходом, является прогон детерминистической модели с разными значениями параметров. Субъективность (и, следовательно, «риск модельной ошибки») присутствует в детерминистических моделях при выборе набора значений, используемых для тестирования чувствительности.

Геологическая информация. Это один из ключевых моментов. Геологическая информация будет не только определять стохастическую модель, но и используемые данные, интерпретацию сейсмических данных и, иногда, интерпретацию данных испытания скважин. Лучшим способом использования геологической информации является выполнение моделирования в два шага. Сначала моделируется геология (архитектура), а затем, согласно геологии, моделируется петрофизика. Однако следует помнить, что геологическую модель может быть трудно определить даже для хорошо документированных месторождений. К тому же, поскольку керн отбирается из небольшого количества скважин, литологическую информацию необходимо получать по данным геоинформационных систем (ГИС) [7].

Модель силы трения трудна, особенно в ситуации, горизонтального бурения, где точки соприкосновения и характеристик могут быть поверхностны. Признавая этот факт,авторы работ [3] предложили для решения этой силы, как случайной силы, предположить коэффициент трения как случайное поле трения. Таким образом, определить случайное поле {v(x): x∊(0,L)} как совокупность вещественных случайных величин с вероятностным пространством (Ω,Ϝ,Ρ), где Ω является выборочное пространство, F является σ - алгеброй и P является вероятностной мерой.

Предполагается, что v является стационарно усеченным Гауссовским случайным полем на [0,L] с экспоненциальной функцией автокорреляции

, (8)

где b корреляционная длина , которая измеряет затухание автокорреляционной функции . Авторы работ [3,4] разработали дискретное стохастическое поле для решения этой проблемы – микро-скольжения. Было сделано еще одно приближение : Гауссовское усеченное поле расширена методом Карунена-Лоэва с использованием стандартных гауссовских случайных величин . Пока вероятность наличия v(x)∉[0,1] является очень низким, это приближение будет лучше ( как в случае настоящего анализа).

Стохастическое поле v расширяется с помощью метода Карунена -Loэва ( разработанный Карунена [5 ] и Loэва [6] :

(9)

где представляет собой среднее значение коэффициента трения, и k-е собственное значение и k-й собственный вектор автокорреляционной функции R, независимые стандартные Гауссовские случайные величины, N определяет точность этого представление (если N увеличивать, то точность представления улучшается). Случайная сила трения записывается в виде