1.2 Теңдеуді өлшемсіз түрге келтіру

Обезразмеривание - приведение физических уравнений к безмерному виду с помощью использования характерных масштабов в конкретной системе. Целью обезразмеривания является переход к вычисляемым величинам с разумным порядком, а также сокращение числа арифметических операций при работе расчетной программы. Введем безразмерные переменные:

, ,,

После упрощений опуская знак « ~ » получим следующее:

Для x=0:

(11)

Для x=1:

(12)

В дискретном виде уравнения движения примут вид:

x=0: , узел 0;

, узел 1;

, узел j=2,…,N-2;

, узел j=N-1;

x=1: , узелj=N;

здесь ,N=100.

1.3 Жинақталатын массалар әдісі

Метод сосредоточенных параметров – это метод где распределенная масса заменяется массами, сосредоточенными в отдельных точках. Таким образом, система с бесконечным числом степеней свободы приводится к системе с конечным числом степеней свободы. Замену распределенной массы сосредоточенными можно выполнить двумя способами как показано на рисунке - 6.

По первому способу распределенные массы разбиваются на участки, и на каждом участке распределенная масса заменяется сосредоточенной в центре её тяжести (рис. 6, б). По второму способу массы на участках распределяются по закону рычага (рис. 6, в). Для некоторых систем этот метод дает удовлетворительный результат при вычислении первой частоты колебаний и  может привести к существенным погрешностям при нахождении высших частот.

Метод пользуется успехом в строительной механике для исследования колебаний и определения собственных частот балок. Также был успешно распространен авторами работ [2, 3, 4] на исследовании моделирования движущихся элементов механизма, рассматриваемых их как консольные и шарнирно опертые балки, совершающие плоское движение. Основное достоинство метода сосредоточенных параметров – его общность. Здесь отсутствуют ограничения на вид движения, периодический или непериодический, облегчает определение распределения напряжений в элементе. Исследуются динамические нормальные напряжения, вызванные совместным действием изгиба и осевых нагрузок.

Рисунок - 6. Замена распределенной массы сосредоточенными

1.4 Есептің қойылымын аппраксимациялау және теңдеуді дискретті түрге келтіру

Модель с сосредоточенными параметрами динамики горизонтальной бурильной колонны показан на рис.2, где стержень представлен конечным числом N равноудаленных точечных масс. Масса каждого N отрезков 2l= L/N сосредоточена на нейтральной оси в середине каждой части, а их сумма равна общей массе стержня

(13)

В случае горизонтальной бурильной колонны на свободном конце стержня сосредоточена масса , которая может быть использована для моделирования дополнительной массы.

Начальные условия для уравнения модели (1) методом сосредоточенных параметров:

(14)

Граничные условия для уравнения модели (1) методом сосредоточенных параметров:

(15)

При плоском движении общего вида на бурильную колонну действуют как и продольные, так и поперечные силы инерции. Кроме того, имеется постоянная сила, гармоническая сила, сила взаимодействия сверла с битом и сила связанная с частью массы. Переход уравнения горизонтальной бурильной колонны в конечно – разностную аппроксимацию сводит дифференциальное уравнения (1) в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, где t - это независимая переменная и будет выглядеть следующим образом:

(16)

Разностное приближение для второй производной получим из следующих разложений второй степени для и в окрестности:

(17)

(18)

Исключая отсюда получаем конечно – разностную аппроксимацию второй производной в уравнении (1) в виде

, (19)

Где

(20)

Сосредоточенные массы расположены вдоль штанги следующим образом:

(21)

(22)

Здесь узлы 0 и N+1 представляют собой концы стержня, L – длина произвольного стержня и N – число узловых масс.

Применение уравнения (1) и соответствующих граничных условий приводит к следующей системе уравнений:

, узел 0,

, узел j=1,…,N-1,

, узел j=N