2 Көлік ағымын талдауға арналған қажетті матема-тикалық түсініктер мен деректер

2.1 Макроскопиялық модельдер

Бұл тарауда макроскопиялық моделдердің негізгі (тарихи және мүмкін болатын қосымшалар тұрғысынан алғанда) түрлері келтірілген, әсіресе біржолақты транспорттық көлік ағымына мысалдар келтірілген. Гид-родинамикалық аналогияларға терең назар аударылған.Бұл бөлімнің кілттік түсінігі сақталу заңына арналған транспорттық көлік ағымын суреттейтін бастапқы Коши есебінің жалпы шешімі болып табылады.

2.1.1 Лайтхилл-Уизем-Ричардс моделі

ХХ ғасырдың 40 жылдарының екінші жартысы мен 50 жылдары КСРО мен АҚШ жарылғыш заттың атылуы кезінде пайда болатын үдерістерді зерттеумен қарқынды айналысқан. Сонымен қоса сақталу заңының теңдеулеріне арналған бастапқы-шеткі есепті (және осындай теңдеулер жүйесін) байқауға көп көңіл бөлінген. Осы уақытта осыған ұқсас теңдеулер кездесетін қосымшалардың артуы байқалған. Осылайша 1955 жылы тәуелсіз зерттеулер барысында алғашқы біржолақты (жол екі жаққа қарай шексіз, қозғалыс солдан оңға қарай (анықтылық үшін), ешқандай автокөліктік құралдар ағыны жоқ) транспорттық көлік ағымының макроскопиялық (гидродинамикалық) моделі ұсынылып, кейіннен Лайтхилл-Уизем-Ричардс моделі атанды (осы модельді жиі Лайтхилл-Уизем¹ моделі деп атайды).

Лайтхилл-Уизем-Ричардс моделінде келесілер бағамдалады:

Ағымның v(t,x) жылдамдығы мен ρ(t,x) тығыздығы арасында өзара бірмәнді тәуелділік бар;

АТҚ тығыздығының ρ(t,x) сақталу заңы орындалады. ρ(t,x) жазуы t уақытындағы х координаталы трасса нүктесінің маңайындағы ұзындық бір-лігінің АТҚ санын білдіреді. Кейде «Уитемнің» орнына «Уизем» деп атайды( С.П.Новиковтың еңбектерінде).

Яғни, v(t,x)-t уақытындағы х координаталы трасса нүктесінің маңайындағы АТҚ жылдамдығы. Ары қарай барлық жерде транспорттық көлік ағымы макроскопиялық модельдермен сипатталатын кеңістік масштабтары АТҚ-ға тән көлемді айтарлықтай асыратындығы болжанады.

Басқаша айтқанда, транспорттық көлік ағымы алдағы жағдайға байланысты АТҚ әрекеті жете суреттелген кейбір макроскопиялық модельдерге бағынады.

Және бұл модель біз қарастырып отырған макроскопиялық модельдің айырмалық және дифференциалды-айырмалық аналогы болып табылады. Осылайша ρ(t,x), v(t,x) анықтауға ұсынылған тәсілдің дұрыстығы макроскопиялық модельді микроскопиялыққа орнықты жуықтауға негізделген.

2.1-сурет. Транспорттық көлік ағымының қалып-күй теңдеуі

Бірінші жобалауды келесі шартпен көрсетеміз:

(1)

V(ρ) функциясына қатысты келесі жобаланады:

(2)

мұнда Ԛ(ρ) = ρV(ρ) – АТҚ ағымының көлемі. Ԛ(ρ) тәуелділігін көбінесе іргелі (немесе негізгі) диаграмма деп атайды. Біржолақты ағым үшін Ԛ”(ρ)<0 деп есептелінеді (мұны келесі түрде түсінуге болады: әртүрлі тығыздықтағы жолдардағы екі бірдей және тәуелсіз қозғалыс дәл осы жолдардағы бастапқы тығыздықтардың арифметикалық ортасына тең екі бірдей тығыздықтағы қозғалысқа қарағанда тиімсіздеу болады. Алайда егер бірнеше жолды бір жолға біріктірсе, онда шынайы өмірде көрсетілген көлік ағымының байқауларына сүйенсек Ԛ(ρ) ойыстығынан бас тартуға тура келеді.

Сурет 1. және Сурет 2. «Мәскеу қаласының Көлік Инфраструктурасын Зерттеу Орталығының» Автозавод көшесінен Варшавский шоссесіне дейінгі үшінші көліктік сақинаның аймағындағы төрт жолақ бойынша жиналған мәліметтер елтірілген. Негізінде V(Ԛ) тәуелділігі есептелінген еді.

АТҚ-ның бір жолдан екінші жолға орын ауыстыруы ағым көлемінің азаюына әкеледі ( бір жағынан орта бір жолдан екінші жолға орналасу тезірек қозғалуға мүмкіндік береді, алайда екінші жағынан орта есеппен мұндай тәсіл орын ауыстыруға қосымша шығын келтіреді, сонымен қоса бір АТҚ екіншінің алдына орын ауыстыру кезінде қозғалысты баяулатады).

2.2-сурет. Іргелі диаграмма

Екінші жобалауды сақталу заңымен келтірейік:

(3)

Сайып келгенде, t≥0 жартылай жазықтығындағы кез келген тікбұрышты Г контурына келесі формула орындалады:

(4)

ρ(t,x) тегіс нүктелерінде:

(5)

Бастапқы шарт түрін көрсетейік (Риман шартының түрі)

𝜌 (6)

Коши есебі (4), (5) кептеліс тарауын сипаттау кезінде пайда болады:

_­′(x)>0 , = болсын делік, мұнда - мүмкін болатын мак-сималды тығыздық, келесі мәселе транспорттық көлік ағымы бойынша алдағы кептеліс туралы мағлұматты қалай жіберуге болатынын анықтау керек.

2.3-сурет. Ажыраудағы R-H шарты

(3) арақатынасқа ораламыз. Осы арақатынас ρ(t,x) тығыздықты ажырау функциясына да орындалғанын атап өткен жөн. Оған қоса функция ажырауында ρ(t,x) – тығыздықтың кенет ұлғаюы байқалады, бұл кептеліс шекарасына сәйкес келеді. t уақытында ажырау х координата нүктесінде және ρ(t,x-0)=,ρ(t,x+0)=болсын делік. Осы ажырауға (t;x) жазықтығында қисық L сай келсін деп қарастырайық. (t,x)ϵ L нүктелерінің маңайынан Сурет 3. көрсетілгенде тікбұрышты контур аламыз (анық болу үшін сағат тілі бойынша деп бағдарлаймыз). Сонда (3) арақатынас келесіні білдіреді:

(7)

мұнда c=dx/dt - (t,x) нүктесіндегі L көлбеуіне сәйкес келеді, ∆ t - t осіндегі контур проекциясының ұзындығы. ∆ t→0 болғанда бұл теңдік с ажырауының қозғалыс жылдамдығының келесі шартына айналады. Әдетте бұл шарт Гюгонио-Ранкин² шарты деп аталады:

(8)

² Бұл шартты қосымша Гюгонио шарты деп те атайды. «Ранкинның» орнына «Ренкин» деп атайды.

(4) теңдеуінің әрқашан әлсіз шешімі болады екен (3) арақатынасты және (5) бастапқы шартты әлсіз мағынада қанағаттандырады). Бірақ келесі мысал көрсетіп отырғандай теңдеу сансыз көп шешімге ие бола алады, яғни бірмәнділік жоқ.

2.4-сурет. Ренкин шартының мысалы

Мысал. Хопф теңдеуін³ қарастырамыз

(9)

және Риманның бастапқы шарты

(10)

(11)

³ Хопф теңдеуінде айнымалыларды және белгісіз функцияны ауыстыруды Лайтхилл-Уизем-Ричардс моделінде кездесетін атақты жағдай Гриншилдс моделінде көруге болады. Функция t >0 болған кезде (4) теңдеуді және (5) бастапқы шартты қанағаттандырады (ажырауларда R-H шартының орындалуын тексеру жеткілікті).

О.А.Олейник 1958 жылы ұсынған ажырау тұрақтылығының шарты ретінде жалғыз ғана шешім іріктеу шартын таңдайды.

Мысалы t≥0 жартылай жазықтығындағы нүктеде анықталған кез келген q≥1 болған жағдайда.

Ажырауда R-H шартынан өзге Е-шарты⁴ да орындалу керек:

(12)

2.5-сурет. Жылдамдық теңдеуі

⁴ Бұл шартты қосымша энтропиялық шарт, О.А.Олейник энтропиялық шарты, Е - шартты О.А.Олейник деп те атайды.Е-шарты ( және R - H шарты ) қайдан пайда болғаны төменде аталып өтіледі.

Бөлшектік - тұрақты бастапқы шарттар класстарында Е - шартын ρ(t,x) динамикасын бірмағыналы және конструктивті анықтау арақатынасындағы мүмкін болатын ажырауларды іріктеу шарты ретінде қосылатынын атап өткен жөн.

x=0 нүктесінде бастапқы мәліметтердің ажырауын «баттастырып қою» арқылы, яғни |x|≤δ бөлшегінен бөлек ρ(0,х) сәйкес келетін (0, х) – монотонды өспелі үздіксіз функцияны енгізу арқылы көре аламыз ( мысалы, мінездемелердің⁵ классикалық тәсілін пайдалану арқылы ).

Яғни (t,x) классикалық емес шешімі тұрақты шешім болып табылмайды. (t,x) шешімінің ажырауында Е-шарты орындалмайтындығын байқау қиын емес, сондықтан (t,x) шешім болып табылмайды.

Е-шарты геометриялық интерпретацияға ие ( анықтылық үшін ):

Ԛ(ρ) функциясының графигі ρϵ(болған жағдайда ( ,Ԛ()) және( ,Ԛ()) нүктелері арқылы өтетін түзуден төмен жатқан жоқ. С ажырауының қозғалыс жылдамдығы осы түзудің көлбеуіне тең.

Мысал. Тағы да Хопф теңдеуін және бастапқы шартты қарастырамыз

(13)

Коши есебінің (4), (5) келесі әлсіз шешімдері болуы мүмкін:

(14)