4.Средняя квадратическая ошибка положения конечной точки хода при уравненных и неуравненных углах

Выразим α через β:

.

5.Оценка точности угловых измерений по невязкам полигонах

1. по сумме углов:

;

,

где N– число невязок.

2. сумме превышений:

,

где L– длина хода, км.

3. по разностям двойных измерений:

6. Условные уравнения в полигонометрическом ходе

1)условное уравнение дирекционных углов:

2. условные уравнения координат:

Выразим эти условные уравнения через поправки. Для этого первое из них запишем в виде

(1)

Выводы для второго уравнения аналогичны, поэтому они не приводятся.

Разлагая условное уравнение координат в ряд Тейлора по поправкам, получим:

, (2)

где

(3) Поправки в дирекционные углы выразим через поправки в измеренные углы. Поскольку

то

Подставляем эти значения в условные уравнения (2):

.

Многомерный статистический анализ

1. Среднее значение и корреляционная матрица вектора

Если задана функция:

,

то

Нормальное распределение

1. одномерное распределение. Математическое ожидание(М) и дисперсия(D)

Одномерное распределение – это такое распределение, где исследуется один признак.

Функция нормального распределения:

,

где – стандарт;

Свойства функции: 1)всякая кривая достигает точки максимума в точке X=m;

2)функция непрерывна и приближается к оси Х;

3)симметрична относительно прямой, параллельной f(х), максимальная ордината – ;

2.Многомерное нормальное распределение

Многомерное нормальное распределение – распределение, характеризующееся вектором случайных величин, заданным математическим ожиданием этого вектора и корреляционной матрицей.

; ;

.

V– отклонение вектора, от его математического ожидания (Х_n-М_хn)

Метод наименьших квадратов

1.Параметрический способ уравнивания

Одну и ту же функцию можно выразить как через вектор параметров (Х), так и через вектор измерений (L)

Задача уравнивания сводиться к получению достаточной, несмещенной и эффективной оценке функции Z.

А) для получения несмещенной оценки запишем математическое ожидание:

Составляем систему уравнений поправок:

.

(1)

Это и есть условие несмещенности.

В) чтобы оценка была эффективной, дисперсия функции Z должна быть минимальной.

Найдем минимум функционала Лагранжа:

,

где Λ– вектор неопределенного множителя Лагранжа.

Найдем производную по вектору b и приравняем ее к нулю:

(2)

Вектор множителя Λ – неизвестен.

Подставляем (2) в (1):

(3)

Далее, (3) подставляем в (2):

.

При таком значении b получается достаточная, несмещенная и эффективная оценка функции Z.

Частный случай:

если

,

где Е– единичная матрица,то

2. Коррелатный способ уравнивания

После уравнивания геодезической сети, любая функция уравненных величин, должна определяться однозначно при любом порядке ее вычисления.

Получаемые после уравнивания оценки любых функций уравненных результатов измерений должны быть достаточными, несмещенными и эффективными.

Введем обозначения:

F(y)– функция результатов измерений;

у – вектор результатов измерений;

у=Y+Δ,

где Y– вектор истинных значений измеренных величин;

Δ – вектор истинных ошибок.

Линеаризированный вид функции:

1. С тем, чтобы оценка была достаточной, необходимо ее выводить с учетом всех измерений в геодезической сети

,

где W – вектор свободных членов;

G – матрица, которую следует определить.

2) Для достижения эффективности оценки следует найти такую матрицу G, при которой достигается минимальная дисперсия

F(Y)– безошибочна, так как Y– истинное значение

,

где В – матрица коэффициентов условных уравнений

Вид оцениваемой функции:

,

а ее дисперсия

,

где – корреляционная матрица ошибок.

,

где – поправка.

3)Полученное значение будет несмещенным, если ошибки измерений случайны: