Математека 6 Уявлення про закон великих чисел

Уявлення про закон великих чисел. Вибірковий метод у статистиці.

План.

1. Уявлення про закон великих чисел.

2. Вибірковий метод у статистиці.

Рекомендована література.

Математика: Підручник / О.М.Афанасьєва, Я.С.Бродський, О.Л.Павлов, А.К. Сліпенко. – К.: Вища шк., 2001. 447с.

Розділ 10.§ 1.

Дайте письмові відповіді на запитання.

Сформулюйте суть:

1. Уявлення про закон великих чисел.

2. Вибірковий метод у статистиці.

Закон великих чисел

Закон великих чисел

Як відомо, наперед неможливо передбачити яке із можливих значень набуде випадкова величина в результаті випробування.

Оскільки в цьому плані про кожну випадкову величину ми маємо мало інформації, то чи можна встановити закономірності поведінки достатньо великого числа випадкових величин.

Виявляється, що при деяких досить широких умовах сумарна поведінка достатньо великого числа випадкових величин майже втрачає випадковий характер і стає закономірною.

Для практики якраз важливо знання умов, при виконанні яких сукупна дія великого числа випадкових причин приводить до результату, який майже не залежить від випадку, оскільки дозволяє передбачити хід явища.

Ці умови і вказуються в теоремах, які мають загальну назву закону великих чисел. Сюди відносять теореми Чебишева, Бернуллі, Ляпунова та інші

Теорема Бернуллі

Якщо проводиться n незалежних випробувань випадкової події A, ймовірність якої P(A) = p, то відносна частота /n появи події A (   число появ A) при великому n приблизно дорівнює імовірності p:

.

Уточнення: будемо писати при , якщо для кожного >0 і для досить великих n співвідношення

(5.1)

виконується з імовірністю, що прямує до 1 з ростом n; запишемо це так:

при .

У цьому полягає теорема Бернуллі. Помітимо, що теорема не стверджує, що співвідношення (5.1) є вірогідним, однак, якщо n досить велике, то ймовірність того, що воно є справедливим близька до 1 (наприклад, 0.98 чи 0.999), що практично вірогідно. Якщо проводиться експеримент, який складається з цього досить великого числа n випробувань, то можна бути впевненим, що співвідношення (5.1) буде виконано. Продемонструємо це не абсолютно достовірне твердження на прикладах. Слід зауважити, що при оцінюванні виглядності збіжності застосовується нерівність Чебишева.

Нерівність Чебишева

Ймовірність того, що відхилення випадкової величини X від її математичного сподівання за абсолютною величиною менше додатного числа ε, не менша, ніж 1-D(X)/ ε², тобто

P(|X-M(X)|< ε)≥1-D(X)/ ε²

Закон великих чисел у формі Чебишева

Одне з основних тверджень закону великих чисел полягає в тому, що значення середнього арифметичного випадкових величин з рівними математичними сподіваннями при великому n (при деяких широких умовах) виявляється приблизно рівним a:

Уточнимо: будемо писати

при ,

якщо для кожного  >0 і досить великих n співвідношення

(5.2)

виконується з імовірністю, що прямує до 1 з ростом n; запишемо це так:

при n .

Це одне з тверджень закону великих чисел. Помітимо, що, як і теорема Бернуллі, воно не означає, що співвідношення (5.2) вірогідно; однак, якщо n досить велике, то імовірність його виконання близька до 1, наприклад, 0.99 чи 0.999, що означає практично вірогідно. Наведемо повне формулювання однієї з теорем закону великих чисел у формі Чебишева,

Теорема Чебишева. Якщо - послідовність попарно незалежних випадкових величин, що мають скінченні дисперсії, обмежені однією і тієї ж константою:

,

то для будь-якого >0

при .

Вибірковий метод у статистиці.

Існує два основні методи зібрання статистичних даних - шляхом безпосереднього спостерігання та за допомогою усного або письмового опитування. Останній метод широко застосовується для вивчення попиту на продукцію. При контролі якості у більшості випадків використовується метод безпосереднього спостерігання.

Сутність цього методу складається в тому, що питання про якість виробу розв’язується на основі безпосередніх показників вимірювального приладу або на основі специфічної для даного виробу числової характеристики, яка встановлюється також за допомогою показників вимірювального приладу.

Зібрання даних для контролю якості виконується або шляхом контролю всіх 100 % виробів, або шляхом відбору деяких одиниць продукції з партії. Під одиницею продукції розуміють окремий екземпляр штучної продукції, який проходить випробовування або визначена кількість не штучної продукції.

Вибіркова сукупність або просто вибірка - це сукупність одиниць продукції, які взяті з сукупності, яка досліджується. Якщо досліджується не штучна продукція, то її частина називається пробою.

Генеральною сукупністю називається множина одиниць продукції, з яких виконують вибірку.

Малою вибіркою вважається вибірка до 25 одиниць продукції. Якщо об'єм вибірки є більшим за 25 одиниць, то вона вважається великою.

При аналізі виробничих процесів завжди приймають великі вибірки, які складаються з 50 - 100 одиниць продукції; при контролі та регулюванні - малі вибірки об'ємом 3-10 одиниць.

Визначення метода відбору одиниць продукції у вибірку залежить від способу представлення продукції на контроль.

Розрізняють наступні методи відбору одиниць продукції у вибірку:

-випадкового відбору;

-найбільшої об'єктивності;

- систематичного відбору.

Розподілення вибірки. Графічне зображення статистичних розподілень

Вибірковий метод дозволяє вирішити дві основні задачі, які мають велику практичну значення. Перша заключається у встановленні закону розподілення величини, яка вивчається та параметрів цього розподілення за даними вибірки, друга - в статистичній перевірці гіпотез, які висовуються при різних виробничих дослідженнях.

На основі закону великих чисел можливо твердити, що якщо генеральна сукупність підкоряється визначеному закону розподілення, то вибірка з цієї сукупності, якщо об'єм її є достатньо великим, буде підкорятися цьому ж закону. Твердження буде тим точнішим, чим буде більшим об'єм вибірки.

Нехай з генеральної сукупності виключена вибірка, при чому х1 спостерігалось п1 разів; хг - пг разів; хк- пк та ∑ пі=п - об'єм вибірки. Значення які спостерігаються називають варіантами, а послідовність варіанту - варіантним рядом. Числа спостережень називають частотами, а їх відношення до об'єму вибірки - відносними частотами.

Статистичною функцією розподілення називають функцію Р(Х), яка визначає для кожного значення л- відносну частоту подій X < х.

де пх - число спостережень менших за х; п- об'єм вибірки.

У порівнянні зі статистичною функцією розподілення вибірки інтегральну функцію Р(х) розподілення генеральної сукупності називають теоретичною. Різниця між статистичною та теоретичною функціями складається в тому, що теоретична функція Р(х) визначається ймовірністю події X <х, а

статистична функція F*(х) - відносну частоту цієї ж події.