Математека 7 Ортогональне проектування

Ортогональне проектування.

Двогранний кут.

План.

1. Ортогональне проектування.

2. Кут між площинами.

3. Двогранний кут.

Рекомендована література.

Математика: Підручник / О.М.Афанасьєва, Я.С.Бродський, О.Л.Павлов, А.К. Сліпенко. – К.: Вища шк., 2001. 447с.

Розділ 3.§ 5.п 5.3.

Дайте письмові відповіді на запитання.

Запишіть формулу площі ортогональної проекції.

Ортогональне проектування.

Окремими випадком паралельного проектування є ортогональне проектування.

Паралельне проектування, напрямок якого перпендикулярний до площини проекції, називають ортогональним проектуванням. Паралельну проекцію фігури, що утворюється при ортогональному проектуванні, називають ортогональною проекцією фігури.

Важливою є наступна теорема.

Теорема про площу ортогональної проекції. Площа ортогональної проекції многокутника на площину дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною многокутника і площиною проекції.

Доведення.

Розглянемо спочатку трикутник і його проекцію на площину, яка проходить через одну з його сторін (рис.1) Проекцією трикутника АВС є трикутник АВС1

у площині . Проведемо висоту СD трикутника АВС. За теоремою про три перпендикуляри відрізок С1D – висота трикутника АВС1. Кут СDС1 дорівнює куту φ між площиною трикутника АВС і площиною проекції . Маємо:

C1D=CD cos φ , SABC=1|2AB∙CD, SABC=1|2AB∙C1D.

Звідси SABC=SABC∙ cos φ.

Таким чином , для розглядуваного випадку теорема правильна.

Теорема правильна і для випадку , коли замість площини візьмемо будь-яку паралельну їй площину. Справді, при проектуванні фігури на пара –

лельні площини її проекції суміщаються паралельним перенесенням у напрямі проектування. А суміщені паралельним перенесенням фігури рівні.

Розглянемо тепер загальний випадок .

Розіб’ємо даний многокутник на трикутники. Кожний трикутник, який не має сторони , паралельної площині проекції , розіб’ємо на два трикутники із спільною стороною , паралельною площині проекції як це показано для чотирикутника АВСD (рис. 2). Тепер для кожного трикутника ∆ нашого розбиття і його проекції ∆/ запишемо рівність S∆ / = S∆∙cos φ.

Всі ці рівності додамо почленно. Тоді дістанемо зліва площу проекції многокутника, а справа – площу самого многокутника, помножену на cos φ.

Теорему доведено.

Ортогональне проектування широко застосовується в технічному кресленні.

Двогранний кут

Двогранним кутом називається фігура, яка утворена напівплощинами із загальною обмежуючою їх прямою (рис. 1). Напівплощини називаються гранями , а обмежуюча їх пряма — ребром двогранного кута.

Рис. 1

Площина, яка перпендикулярна ребру двогранного кута, перетинає його грані по двом напівпрямих. Кут, утворений цими напівпрямими, називається лінійним кутом двогранного кута.

За міру двогранного кута приймається міра відповідного йому лінійного кута. Всі лінійні кути двогранного кута сполучаються паралельним переносом, з цього виходить що вони рівні. Тому міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута.

Тригранний і багатогранний кути

Розглянемо три промені a, b, с які виходять з однієї точки й не лежать в одній площині. Тригранним кутом (abc) називається фігура, яка складена із трьох плоских кутів (ab) (bc) і (ас) (рис. 2). Ці кути називаються гранями тригранного кута, а їхні сторони — ребрами. Загальна вершина плоских кутів називається вершиною тригранного кута. Двогранні кути, утворені гранями тригранного кута, називаються двогранними кутами тригранного кута.

Рис. 2 Рис. 3

Аналогічно визначається поняття багатогранного кута (рис. 3).