Математека 14 вписані і описані многогранники

Вписані і описані многогранники.

План.

1. Вписана і описана призма.

2. Вписана і описана піраміда.

Рекомендована література.

Геометрія. Стереометрія: Підруч.для 10-11 кл.загальноосвіт.навч. закладів / О.В.Погорєлов – К.: Зодіак-ЕКО, 2000.-208с.

Розділ 9.§ 4, п.4.

Дайте письмові відповіді на запитання.

Зобразіть:

1. Вписану і описану призму.

2. Вписану і описану піраміду.

Циліндр, вписаний у кулю

Основи циліндра є рівновіддаленими від центра кулі (рисунок нижче зліва). Ця комбінація тіл є симетричною відносно будь-якої площини, що проходить через центр кулі паралельно твірним циліндра. У перерізі тіла такою площиною дістанемо прямокутник і описане навколо нього коло (рисунок справа). Прямокутник ABCD є осьовим перерізом циліндра, а описане коло — велике коло даної кулі. Отже, діагональ AC є діаметром описаної кулі.

Циліндр, описаний навколо кулі

Площина, проведена через центр кулі паралельно твірним циліндра (рисунок нижче зліва), є площиною симетрії тіла. У цьому випадку висота циліндра дорівнює діаметру кулі. В осьовому перерізі цього тіла отримаємо прямокутник, у який вписане коло (рисунок справа). Але із цього випливає, що осьовий переріз даного циліндра — квадрат. Отже, діаметр циліндра дорівнює діаметру кулі.

Конус, вписаний у кулю

Вершина конуса лежить на сфері (рисунок нижче зліва). Основа конуса лежить на сфері. Комбінація є симетричною відносно площини, що містить вісь конуса. У такому перерізі дістанемо трикутник, вписаний у коло (рисунок справа).

Трикутник рівнобедрений. Бічні сторони — твірні конуса, коло — велике коло описаної кулі. Отже, радіус кулі дорівнює радіусу кола, описаного навколо осьового перерізу конуса.

Куля, вписана в конус

Площина, яка містить вісь конуса, є площиною симетрії (рисунок нижче зліва). Осьовий переріз комбінації є рівнобедреним трикутником, у який вписане коло (рисунок справа). Трикутник — це осьовий переріз конуса, тобто — твірні конуса, AB — діаметр основи конуса, а коло — велике коло вписаної кулі. Отже, радіус кулі дорівнює радіусу кола, вписаного в .

Інші комбінації геометричних тіл

Конус є вписаним у циліндр (див. рисунок нижче), коли основа конуса збігається з нижньою основою циліндра, а вершина конуса — центр верхньої основи циліндра. Осі циліндра і конуса в цьому випадку збігаються.

Циліндр, вписаний у конус (див. рисунок нижче), якщо нижня основа циліндра лежить на основі конуса, осі конуса та циліндра збігаються, верхня основа циліндра збігається з перерізом конуса площиною, паралельною основі, на відстані, яка дорівнює висоті циліндра, від основи.

Призмою, вписаною в циліндр (див. рисунок нижче), називається така призма, в якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічними ребрами — твірні циліндра. Отже, висоти призми й циліндра збігаються, а основи призми є вписаними многокутниками для основ циліндра.

Дотичною площиноюдо циліндра називається площина, яка проходить через твірну циліндра й перпендикулярна до площини осьового перерізу, що містить цю ­твірну.

Призмою, описаною навколо циліндра (див. рисунок нижче), називається призма, в якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічні грані дотикаються до циліндра. У цьому випадку основи призми є описаними многокутниками навколо основ циліндра, а висоти циліндра й призми збігаються. Випадки «призма, вписана в конус», «призма, описана навколо конуса» аналогічні комбінаціям «конус — циліндр». Їм же аналогічні комбінації «циліндр — піраміда».

Пірамідою, вписаною в конус, називається така піраміда, основою якої є многокутник, вписаний в коло основи конуса, а вершиною — вершина конуса. Бічні ребра піраміди, вписаної в конус, є твірними ­конуса.

Дотичною площиною до конуса називається площина, яка проходить через твірну конуса й перпендикулярна до площини осьового перерізу, проведеного через цю ­твірну.

Пірамідою, описаною навколо конуса (див. рисунок нижче), називається піраміда, в основі якої лежить многокутник, описаний навколо основи конуса, а вершина збігається з вершиною конуса. Площини бічних граней описаної піраміди є дотичними площинами до ко­нуса. Многогранник називається вписаним у кулю, якщо всі його вершини лежать на поверхні кулі. Многогранник називається ­описаним навколо кулі, якщо всі його грані дотикаються до поверхні кулі.

Описані кулі

Кожна грань вписаного у сферу многогранника є вписаним у деяке коло многокутником. Основи перпендикулярів, які опущені з центра описаної кулі на площини граней, є центрами описаних навколо граней кіл. Отже, центром кулі, описаної навколо многогранника, є точка перетину перпендикулярів до площини граней, які проведені через центри кіл, описаних навколо граней. Якщо призма вписана в кулю, то вона є прямою і навколо її основи можна описати коло. Наприклад, довільна правильна призма може бути вписана в кулю. Центром описаної кулі буде середина висоти призми, яка проходить через центри кіл, що описані навколо основ призми. Центр описаної навколо призми кулі може буде розташований всередині призми, поза призмою, на бічній грані. Навколо будь-якої правильної піраміди можна описати кулю. Центр її лежить на осі піраміди. Центр описаної навколо піраміди кулі може лежати всередині піраміди, поза пірамідою, на бічній грані, на основі. Центр описаної навколо піраміди кулі — точка перетину перпендикуляра, проведеного до основи піраміди через центр описаного навколо основи кола, й серединного перпендикуляра до бічного ребра, проведеного в площині, яка проходить через бічне ребро й названий вище проведений до основи піраміди перпендикуляр. Для правильної піраміди центр описаної кулі — це точка перетину прямої, яка містить висоту піраміди, й серединного перпендикуляра до бічного ребра.

Приклад На рисунку SABCD — правильна чотирикутна піраміда, вписана у сферу. P — центр описаної кулі, PN — серединний перпендикуляр до бічного ребра. (Зверніть увагу: якщо в умові задачі не задано, де лежить центр описаної кулі — усередині піраміди чи поза пірамідою, бажано розібрати, чи впливає це на розв’язання задачі та як саме.) — радіус описаної кулі Rк. OC — радіус кола, описаного навколо основи Rосн. — висота піраміди. ; або ; , де b — бічне ребро.

Якщо зрізана піраміда вписана в кулю, то її основи — многокутники, навколо яких можна описати коло. Бічні грані такої зрізаної піраміди — рівнобічні трапеції. Отже, всі бічні ребра дорівнюють одне одному. Із цього випливає, що бічні ребра вихідної піраміди рівні, значить, основа висоти вихідної піраміди — центр кола, описаного навколо її основи. Центр описаної кулі знаходимо так само, як і для повної піраміди.

Вписані кулі

Якщо куля вписана в призму, то в її перпендикулярний переріз можна вписати коло. Висота призми дорівнює діаметру кола, вписаного в перпендикулярний переріз призми, тобто діаметру вписаної кулі. Центр кулі — середина висоти призми, що проходить через центр кола, яке вписане в перпендикулярний переріз. Центр кулі, яка вписана в пряму призму, — це середина висоти призми, що проходить через центр кола, яке вписане в основу призми.

Описана піраміда

Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, яке є вписаним в основу піраміди, то центр вписаної кулі — точка перетину висоти піраміди з бісектрисою лінійного кута двогранного кута при ребрі основи. У будь-яку правильну піраміду можна вписати кулю, центр якої лежить на висоті піраміди. Точки дотику кулі й бічних граней лежать на висотах бічних граней, а точка дотику вписаної кулі й основи є центром кола, вписаного в основу. Під час розв’язування задач на кулю, що вписана в піраміду, доцільно розглянути певні трикутники. На рисунку, наведеному нижче, такими трикутниками є ; ; . O — центр кола, яке вписане в основу; P — центр вписаної в піраміду кулі; SO — висота піраміди; SD — висота бічної грані. — лінійний кут двогранного кута між площиною бічної грані CSB і площиною основи; DP — бісектриса ; ; N — точка дотику кулі й бічної грані; O — точка дотику кулі й основи; — радіус кулі; OD — радіус кола, вписаного в основу, — rосн. 1. Розглянемо . За властивістю бісектриси трикутника або , де l — довжина апофеми. 2. ; або . 3. Розглянемо . .