прикладная мех задачи
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Ульяновский государственный технический университет
В. К. Манжосов, О. Д. Новикова
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ.
СТАТИКА
Ульяновск
2007
УДК 531(076) ББК 38.112 я 7
М 23
Рецензент к. т. н., доцент Белый Д. М. Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета
Манжосов В. К.
М23 Теоретическая механика в примерах и задачах. Статика: методические указания / В. К. Манжосов, О. Д. Новикова. – Ульяновск: УлГТУ, 2007. – 43 с.
Составлены в соответствии с учебными программами по дисциплине «Теоретическая механика» для направлений «Машиностроительные технологии и оборудование», «Транспортные машины и транспортно-технологические комплексы», «Эксплуатация транспорта и транспортного оборудования», «Строительство».
Предназначены для студентов при изучении раздела «Статика», выполнении контрольных и расчетно-проектировочных заданий по данной теме, самостоятельной работе.
Работа подготовлена на кафедре теоретической и прикладной механики.
УДК 531 (076) ББК 38.112.я7
Учебное издание МАНЖОСОВ Владимир Кузьмич, НОВИКОВА Ольга Дмитриевна
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ. СТАТИКА
Методические указания
Редактор М. В. Теленкова
Подписано в печать 13.11.2007. Формат 60×84/16. Усл. печ. л 2,50 Тираж 150 экз. Заказ 1475.
Ульяновский государственный технический университет 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.
Типография УлГТУ. 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32
© Манжосов В. К., Новикова О. Д., 2007 © Оформление. УлГТУ, 2007
2
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………………………………. |
4 |
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР ТВЕРДОГО ТЕЛА........................................ |
5 |
1.1. Определение реакций опор балки…………………………………………….. |
5 |
1.2. Определение реакций опор твердого тела (задание С 1 [8])………………… |
6 |
1.3 Определение реакций опор твердого тела (плоская система сил)…………… |
8 |
1.4.Определение реакций опор твердого тела (плоская система сил, задание
С2 [8])………………………………………………………………………....... 10
1.5.Тестовые задания………………………………………………………………. 11
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В СТЕРЖНЯХ ПЛОСКОЙ ФЕРМЫ……..……… 12
2.1.Определение усилий в стержнях плоской фермы методом вырезания узлов……………………………………………………………………………. 12
2.2. |
Определение усилий в стержнях плоской фермы методом сечений ………. |
13 |
2.3. |
Определение усилий в стержнях плоской фермы (задание С 3 [8])………… |
15 |
2.4.Тестовые задания……………………………………………………………….. 19
3.ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СОСТАВНОЙ КОНСТРУКЦИИ (СИСТЕМА ДВУХ ТЕЛ) ……………………………………………………………………….. 20
3.1. |
Определение реакций в составных балках …………………………………… |
20 |
3.2. |
Определение реакций составной конструкции (задание С 4 [8])…………… |
22 |
3.3.Тестовые задания……………………………………………………………..... 24
4.ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР ТВЕРДОГО ТЕЛА (ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ)………………………………………………………………….. 26
4.1. Определение реакций опор нагруженного вала……………………………… |
26 |
4.2. Определение реакций опор твердого тела при произвольной системе сил |
|
(задание С 5 [8])………………………………………………………………… |
30 |
4.3.Тестовые задания……………………………………………………………….. 31
5.ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТЕЛА………………………………………………………. 37
5.1. Центр тяжести системы однородных стержней…………………………… |
37 |
5.2. Определение положения центра тяжести плоской однородной пластины |
37 |
5.3. Тестовые задания……………………………………………………………….. |
39 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………………… |
42 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………………………………………… |
43 |
3
ВВЕДЕНИЕ
При изучении дисциплины «Теоретическая механика» рабочими программами предусмотрено самостоятельная работа студентов при изучении тем, выполнение расчетно-проектировочных и контрольных заданий по следующим разделам:
1.Статика;
2.Кинематика;
3.Динамика.
Данные методические указания содержат примеры выполнения расчетнопроектировочных и контрольных заданий раздела «Статика» по темам:
1.Определение реакций опор твердого тела;
2.Определение реакций опор твердого тела (плоская система сил);
3.Определение усилий в стержнях плоской фермы;
4.Определение реакций опор составной конструкции (система двух тел);
5.Определение реакций опор твердого тела (произвольная система сил);
Расчетные схемы заданий с нумерацией С 1, С 2, и т. д. соответствуют расчетным схемам и примерам выполнения заданий сборника заданий для курсовых работ по теоретической механике (раздел: Статика твердого тела) под редакцией проф. А. А. Яблонского. Учитывая, что номер темы в зависимости от года издания сборника может быть различным, принятая выше нумерация тем ориентирована на методические указания Манжосова В. К. и Новиковой О. Д. «Расчетно-проектировочные и контрольные задания по теоретической механике. Часть 1. Статика». – Ульяновск, УлГТУ. 2006. – 32 с.
Раздел «Определение реакций опор твердого тела» рассматривает задачи определения опорных реакций в балках и задачи определения опорных реакций в плоских рамах при различных схемах опорного закрепления.
Раздел «Определение усилий в стержнях плоской фермы» рассматривает задачи расчета плоских ферм различными методами: методом вырезания узлов и методом сечений.
Раздел «Определение реакций составной конструкции (система двух тел)» рассматривает задачи расчета составной балки и составной рамы.
Раздел «Определение реакций опор твердого тела (произвольная система сил)» рассматривает задачи расчета при произвольном нагружении твердого тела (пространственная система сил).
Раздел «Центр тяжести тела» рассматривает задачи определения положения центра тяжести стержневой системы, однородной пластины сложной конфигурации.
Методические указания предназначены для студентов при изучении раздела «Статика», выполнении контрольных и расчетно-проектировочных заданий по данной теме, самостоятельной работе.
4
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР ТВЕРДОГО ТЕЛА
1.1. Определение реакций опор балки
Дано: двухконсольная горизонтальная балка шарнирно закреплена в точке А и опирается на катки в точке В (рис. 1.1, а). На балку действует вертикальная сила Р = 20 кН, приложенная в точке D, равномерно распределенная вертикальная нагрузка на участке BC интенсивностью q = 25 кН/м, пара сил
(N, N′), момент которой равен m = 40 кНм.
Расстояния: AD = 3 м, AB = 4 м, BC = 3 м. Определить реакции в шарнирах A и B, пренебрегая весом балки.
а) |
б) |
Рис. 1.1
Решение:
Отбросим мысленно связи, которыми в данной задаче являются опоры A и B, и заменим их реакциями (рис. 1.1, б.). Реакция в точке B направлена по вертикали и обозначена RB. Она направлена по вертикали, так как опора B опирается на катки и не препятствует перемещению по горизонтали. Реакция шарнира A может иметь любое направление в плоскости. Поэтому заменяем ее двумя составляющими XA и YA.
Распределенную нагрузку q заменяем силой Q = q ·BC = 25·3 = 75 кН. Сила Q приложена посредине отрезка
BC (рис. 1.2). Выбираем оси координат: ось x направляем из точки D вдоль балки, ось y – из точки D перпендикулярно балке вверх.
Так как проекция силы XA является единственной силой, проектирующейся на ось x, то при равновесии сил, приложенных к балке, она равна нулю:
X A =0. |
(1.1) |
Заметим, что сумма проекций сил (N, N′), образующих пару сил, на лю-
бую ось равна нулю, так как силы, образующие пару сил, равны по модулю, параллельны и направлены в противоположные стороны.
Переходим к составлению уравнений равновесия для системы параллельных сил, приложенных к балке. Сумма проекций всех сил на ось y равна нулю:
5
YA + RB −Q − P =0. |
(1.2) |
Сумма моментов всех сил относительно точки A (удобно выбрать точку, к которой приложена одна из неизвестных сил, тогда получим уравнение с одним неизвестным) так же равна нулю:
|
|
|
BC |
|
(1.3) |
||
|
P AD −m + RB AB −Q AB + |
= 0. |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
||
Решая систему уравнений (1.2) и (1.3), находим из (1.3) |
|
|
|||||
RB = |
m +Q (AB + BC 2)− P AD |
= |
40 +75(4 +1,5)−20 3 |
|
= 98,1 кН. |
(1.4) |
|
|
|
||||||
|
AB |
4 |
|
|
|
||
Далее, из уравнения (1.2) находим |
|
|
|
|
|||
|
YA = Q + P − RB = 75 + 20 −98,1 = −3,1кН. |
|
(1.5) |
||||
Знак минус показывает, что реакция направлена вниз. Вместо уравнения (1.2) можно было составить сумму моментов всех сил относительно точки B, где приложена неизвестная сила RB:
Р BD −YA AB − m −Q |
BC |
= 0. |
(1.6) |
|
2 |
||||
|
|
|
Значение неизвестного YA, найденное из этого уравнения, совпадает с (1.5).
1.2. Определение реакций опор твердого тела (задание С 1 [8])
Дано: схемы закрепления бруса (рис. 1.3, а, б, в); Р = 5 кН; М = 8 кН м; q = 1,2 кН/м.
а) |
б) |
в) |
Рис. 1.3
Определить реакции опор для того способа закрепления, при котором момент МА в заделке имеет наименьшее числовое значение.
Решение
Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к конструкции. Действие связей на конструкцию заменяем их реакциями (рис. 1.4): в схеме а – XA, YA, MA, в схеме б – YA′, M ′A и RB, в схеме в – M ′A′, ХВ и YB.
6
Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменяем равнодействующей Q = q 2 = 2,4 кН.
Чтобы выяснить, в каком случае момент в заделке является наименьшим, найдем его для всех трех схем, не определяя пока остальных реакций.
а) |
б) |
в) |
Рис. 1.4
Для схемы а
∑MiA =0; M A − P 2 sin 45°+ M −Q 5 =0.
Вычисления дают
MA = 11,07 кН м.
Для схемы б
∑MiC =0; M ′A + M −Q 5 = 0 и M ′A = 4 кН м.
Для схемы в
∑M iB = 0; M ′A′ + P BD + M +Q 1 = 0 и M ′A = −31,61 êÍ ì .
Здесь
BD = BE + ED = 
2 + 2 
2 = 4,24 ì .
Таким образом, наименьший момент в заделке получается при закреплении бруса по схеме б. Определим остальные опорные реакции для этой схемы:
∑X I |
= 0; |
P cos 45°− RB = 0, |
откуда RB = 3,54 кН; |
|||||
∑YI |
= 0; |
YA′ − P sin 45°−Q = 0, |
откуда YA′= 3,54 кН. |
|||||
Результаты расчета приведены в табл. 1. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Момент |
|
|
Силы, кН |
|
|
Схема по рис. 1.4 |
|
M A (M ′A , M ′A′ ), кН м |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
YA′ |
|
RB |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
а |
|
|
11,07 |
|
– |
|
– |
|
б |
|
|
4,00 |
|
5,94 |
|
3,94 |
|
в |
|
|
-31,61 |
|
– |
|
– |
|
7
1.3. Определение реакций опор твердого тела (плоская система сил)
Дано: Жесткая рама ABCD, размеры которой указаны на рис. 1.5, закреплена шарнирно в неподвижной точке А, а правым концом D опирается катками на гладкую наклонную плоскость.
Верхняя горизонтальная часть рамы BС на участке ВН нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q = 2 кН/м. В точке Н при-
ложена сила Р = 6 кН под углом 60° к горизонту. На наклонном участке рамы CD в точке Е приложена сила F = 8 кН, составляющая угол в 60° с CD. Расстояние DE равно одной трети длины CD. К вертикальной части рамы АВ приложена пара сил с моментом, равным М = 4 кНм.
Определитьреакции вопорахАиD, пренебрегая собственным весом рамы.
Решение
Для определения опорных реакций рассмотрим равновесие рамы ABCD. К раме приложены следующие активные силы: Р, F и равномерно распределенная по участку ВН нагрузка интенсивностью q. Заменим равномерно распределенную нагрузку сосредоточенной силой, равной Q = q BH = 6 кН и при-
ложеннойвсредней точке участка ВН.
К раме приложен также активный момент М, направленный по ходу часовой стрелки.
На раму наложены две связи: шарнирная опора в точке А и опора на катке в точке D. Отбрасывая мысленно опору А, заменим ее реакцией RA, модуль и направление которой заранее неизвестны. Поэтому вместо реакции RA возьмем две ее составляющие RAx и RAy по координатным осям. Удобно направить ось х из точкиАгоризонтальновправо, аосьу– вертикально вверх.
Опора на катке в точке D не препятствует перемещению точки D вдоль наклонной плоскости. Следовательно, реакцию RD следует направить перпендикулярно наклонной плоскости. По характеру опоры направляем RD вверх по нормали к наклонной плоскости. Расчетная схема показана нарис. 1.6.
8
В задаче три неизвестных величины: RAx, RAy, RD. Поскольку для произвольной плоской системы сил можно составить три независимых уравнения, задача является статически определенной.
Несмотря на то, что в задаче всего одна горизонтальная сила и две вертикальных, удобно составить уравнение проекций на выбранные оси, потому что углы, составляемые силами с осями х и у, либо заданы, либо легко определяются.
Реакция RD наклонена к вертикали под углом 30°. Сила F составляет с осью х угол –105°. Напомним, что cos(–105°) = cos(105°) = –cos 75°; sin(–105°) = –sin 105° = –sin 75°. Запишем уравнение проекций на оси х и у и уравнение моментов относительно точки А:
n |
|
∑Fkx = RAx − P cos 60° − F cos 75° − RD cos 60° = 0, |
(1.7) |
k =1 |
|
n |
|
∑Fky = RAy −Q − P sin 60°− F sin 75°+ RD cos30°=0, |
(1.8) |
k =1 |
|
n |
|
∑mA (Fk ) = −M −Q AL − P AN − F AS + RD AK =0. |
(1.9) |
k =1 |
|
Плечи всех сил, кроме плеча AL силы Q, которое равно 1,5 м, требуют довольно длинных вычислений. Поэтому при составлении уравнения моментов воспользуемся теоремой Вариньона. Каждую из сил Р, F и RD представим как сумму ее горизонтальной и вертикальной составляющих. Эти силы, обозначенные одним (горизонтальная составляющая) и двумя (вертикальная
составляющая) штрихами, показаны на рис. 1.7.
Хорошо видны плечи каждой из этих составляющих относительно точки А. И хотя слагаемых в уравнении моментов теперь будет больше, вычислить их будет значительно проще. Числовые значения составляющих:
Р' = Р cos 60°, |
F' = F cos 75°, |
|
R'D = RD cos 60°, |
|
||||||||
P" = P sin 60°, |
F" = F sin 75°, |
|
R"D = RD cos 30°. |
|
||||||||
Запишем уравнение моментов согласно рис. 1.7: |
|
|
|
|||||||||
n |
′′ |
|
′ |
|
′′ |
|
′ |
|
′ |
′′ |
|
|
∑mA (Fk ) = −M −Q 1,5 − P |
3 |
4 − F |
7 + F |
2 |
= 0. (1.10) |
|||||||
|
+ P |
|
|
+ RD 1 |
+ RD 8 |
|||||||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим в (1.10) значение составляющих Р, F и RD:
9
n |
|
(F ) = −M − Q 1,5 − P sin 60° 3 + P cos 60° 4 − F sin 75° 7 |
+ |
|
∑m |
|
(1.11) |
||
k =1 |
A |
k |
|
+ F cos 75° 2 + RD cos 60° 1 + RD cos 30° 8 = 0.
Решаем систему уравнений (1.7), (1.8) и (1.11) при заданных значениях сил. Получаем сначала из (1.11) RD = 8,9 кН. Подставляя полученное значение RD в
(1.7) и (1.8), вычисляем
RAx = 9,5 кН, RAy = 11,2 кН.
1.4.Определение реакций опор твердого тела (плоская система сил, задание С 2 [8])
Дано: схема конструкции (рис. 1.8, а); G = 10 кН; Р = 5 кН; М = 8 кНм; q = 0,5 кН/м; α = 30°; размеры в метрах.
Определить реакцию опоры А и реакцию стержня CD.
а ) |
б ) |
Рис. 1.8
Решение
Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к балке АВ. Отбрасываем связи: шарнирно-неподвижную опору А, стержень CD и нить. Действие связей на балку заменяем их реакциями (рис. 1.8, б). Так как направление реакции шарнирно-неподвижной опоры А неизвестно, то определя-
ем ее составляющие ÕÀ и YA . Покажем также реакцию S SD стержня CD и ре-
акцию S нити, модуль которой равен Р.
Равномерно-распределенную нагрузку интенсивностью q заменяем сосредоточенной силой Q, равной Q = 2 q = 2 0,5 = 1 кН, и приложенной в центре тяжести эпюры этой нагрузки.
Для плоской системы сил, приложенных к балке, составляем три уравнения равновесия:
∑Ì iA = 0; −Q 1 −G 3 + SCD 4sin 30°− M + S 6 = 0; |
(1.12) |
∑X i = 0; X A − SCD cos30° = 0; |
(1.13) |
∑Yi = 0; YA −Q −G + SCD cos 60°+ S = 0. |
(1.14) |
10