прикладная мех задачи
.pdf
Из уравнения (1.12)
SCD = |
Q 1 +G 3 + M |
− S 6 |
= |
1 1 +10 3 +8 −5 6 |
= 4,5 кН. |
|
4 sin 30° |
|
|
4 0,5 |
|||
|
|
|
|
|
||
Из уравнения (1.13)
X A = SCD cos 30° = 4,5 0,866 = 3,90 кН.
Из уравнения (1.14)
YA = Q +G − SCD cos 60°− S =1 +10 −4,5 0,5 −5 = 3,75 кН.
Значения XА, YА, SCD получаются положительными. Это указывает на то, что принятые направления этих сил совпадают с их действительными направлениями.
1.5. Тестовые задания
И1 |
|
Если Р = 20 кН, М = 10 кНм, a = b = c = 1 м, то |
|||
|
|
||||
|
реакция в опоре А (в кН) по модулю равна… |
||||
|
1) |
5 |
2) 10 |
3) 15 |
4) 20 |
|
|
|
|
|
|
И2 |
|
Если Р = 20 кН, М = 10 кНм, a = b = c = 1 м, то |
|||
|
|
||||
|
реакция в опоре А (в кН) по модулю равна… |
||||
|
1) |
5 |
2) 10 |
3) 15 |
4) 20 |
И3 |
|
Если Р = 20 кН, М = 10 кНм, a = b = c = 1 м, то |
|||
|
|
||||
|
реакция в опоре А (в кН) по модулю равна … |
||||
|
1) |
5 |
2) 10 |
3) 15 |
4) 20 |
И4 |
|
Если Р = 20 кН, М = 10 кНм, a = b = c = 1 м, то |
|||
|
|
||||
|
реакция в опоре А (в кН) по модулю равна … |
||||
|
1) |
5 |
2) 10 |
3) 15 |
4) 20 |
|
|
|
|
|
|
И5 |
|
Если Р = 20 кН, М = 10 кНм, a = b = c = 1 м, то |
|||
|
|
||||
|
реакция в опоре А (в кН) по модулю равна … |
||||
|
1) |
5 |
2) 10 |
3) 15 |
4) 20 |
|
|
|
|
|
|
И6 |
|
Если Р = 20 кН, М = 10 кНм, a = b = c = 1 м, то |
|||
|
|
||||
|
реакция в опоре А (в кН) по модулю равна … |
||||
|
1) |
5 |
2) 10 |
3) 15 |
4) 20 |
|
|
|
|
|
|
11
И7 |
|
Если Р = 20 кН, М = 10 кНм, a = b = c = 1 м, то |
|||
|
реакция в опоре А (в кН) по модулю равна … |
||||
|
1) |
5 |
2) 10 |
3) 15 |
4) 20 |
|
|
|
|
|
|
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В СТЕРЖНЯХ ПЛОСКОЙ ФЕРМЫ
2.1.Определение усилий в стержнях плоской фермы методом вырезания узлов
Дано: конструкция плоской фермы (рис. 2.1, а). Определить усилия в стержнях фермы методом вырезания узлов.
Рис. 2.1
Решение
Для определения усилий в стержнях сначала надо найти реакции опор А и Н. Для этого мысленно отбрасываем опоры и заменяем их действие на ферму реакциями RA и RН. Ввиду симметрии фермы и нагрузки реакции опор равны друг другу и каждая равна 20 кН.
Когда реакции опор найдены, переходим к определению усилий в стержнях. Для этого надо рассматривать равновесие каждого узла, мысленно отбросив сходящиеся в них стержни и заменяя их действие на узел реакциями. Первым надо рассмотреть узел, к которому приложены только две неизвестные силы.
Начнем с узла А. Узел А находится в равновесии под действием известной реакции RA и неизвестных реакций стержней 1 и 2. Будем обозначать реакции стержней соответственно через S1 и S2 (рис. 2.1, б) и направлять их от узла, предполагая таким образом, что стержни растянуты. Затем через точку А про-
12
водим оси х и у и составляем систему уравнений равновесия узла А, приравнивая нулю сумму проекций всех сил на эти оси.
Уравнения проекций на оси х и у будут:
S2 + S1 cos 30° = 0, |
RA + S1 cos 60° = 0. |
Отсюда находим |
|
S1 = – 40кН, |
S2 = 34,64 кН. |
Отрицательное значение реакции S1 показывает, что в действительности она направлена в противоположную сторону и стержень 1 не растянут, как мы предполагали, а сжат.
Теперь переходим к исследованию равновесия узла В. В узле В сходятся три стержня, из которых стержни 1 и 3 направлены по одной прямой, а стержень 4 под углом к ним. Никаких активных сил к узлу В не приложено.
Следовательно, точка В находится в равновесии под действием трех реакций стержней. Это возможно только в случае, если усилие в стержне 4 равно нулю, так как только оно проектируется на направление, перпендикулярное к стержням 1 и 3. Итак, усилия в стержнях 1 и 3 одинаковы, а усилие в стержне 4 равно нулю.
Переходим к узлу С. Узел С находится в равновесии под действием двух неизвестных реакций S5 и S6, активной силы 10 кН и известной реакции S'2, которая по величине равна реакции S2, приложенной к узлу А, но направлена в противоположную сторону (рис. 2.1, в). Проводим оси координат через точку С и составляем уравнения равновесия для узла С.
Уравнения проекций на оси х и у будут
– S'2 + S5 cos 60° + S6= 0, S5 cos 30° – 10 = 0.
Отсюда находим
S5 = 11,55кН, S6 = 28,865 кН.
Следовательно, стержни 5 и 6, как мы и предполагали, растянуты.
Ввиду полной симметрии фермы и приложенной в узлах нагрузки достаточно определить усилия в стержнях левой половины фермы. Так, например, усилия в стержнях 1 и 11, 2 и 10 будут ввиду симметрии равными.
2.2. Определение усилий в стержнях плоской фермы методом сечений
Дано: конструкция плоской фермы (рис. 2.2, а). Определить усилия в стержнях фермы методом сечений.
13
а) |
б) |
Рис. 2.2
Решение
Для определения усилий в стержнях фермы сначала надо определить реакции опор. Для этого мысленно отбросим опоры и заменим их действие на ферму реакциями RA и RB. Рассматриваем ферму как твердое тело, находящееся в равновесии под действием семи активных сил и двух неизвестных реакций опор. Ввиду симметрии фермы и нагрузки реакции опор равны друг другу и каждая равна 6Р.
После того как реакции опор определены, переходим к определению усилий в стержнях фермы. Разрезаем мысленно ферму по стержням, усилия в которых надо определить (рис. 2.2, б), например, по стержням 8, 9, 10, и удаляем правую часть фермы, заменив действие ее реакциями стержней S8, S9, S10. Направим эти реакции вдоль перерезанных стержней от узлов Е и J, предположив таким образом, что стержни 8, 9, 10 растянуты.
Теперь левая часть фермы (рис. 2.2, б) находится в равновесии под действием реакции опоры RA, трех активных сил и реакций стержней S8, S9, S10. Чтобы найти эти реакции, составим уравнения равновесия для левой части фермы, приравнивая к нулю сумму моментов всех сил относительно J и L, в которых пересекаются линии действия двух искомых неизвестных сил. Благодаря этому уравнение моментов будет содержать только одно неизвестное. Так, уравнение моментов относительно точки J будет
RA 2a – P 2a – 2P a + S8 a = 0,
откуда
S8 = – 8Р.
Отрицательное значение реакции S8 говорит о том, что в действительности эта реакция направлена в сторону, противоположную принятой, т. е. к узлу Е, и, следовательно, стержень 8 сжат.
Уравнение моментов относительно точки L будет
– 2Р а – 2Р 2a – P 3a + RA За – S10 а = 0,
откуда
S10 = 9P.
Стержень 10, как мы и предполагали, растянут.
14
Так как усилия S8 и S10 параллельны, то не существует точки их пересечения, поэтому для определения усилия S9 вместо уравнения моментов составляем уравнение проекций всех сил на вертикальную ось, перпендикулярную стержням 8 и 10:
|
RA – Р – 2Р – 2Р + S9 cos 45° = 0, |
откуда |
S9 = – 2Р/ 2 . |
Отрицательное значение реакции S9 говорит о том, что в действительности эта реакция направлена в сторону, противоположную принятой, т. е. к узлу J, и стержень 9 сжат. Аналогично могут быть определены методом сечений усилия в любых стержнях этой фермы.
2.3. Определение усилий в стержнях плоской фермы (задание С 3 [8])
Дано: |
схема фермы (рис. 2.3, а); P1 = 2 кН, Р2 = 4 кН, Р3 = 6 кН, |
а = 4,0 м; |
h = 3,0 м. Определить усилия в стержнях фермы. |
а) |
б) |
в) |
|
Рис. 2.3 |
|
Решение
1. Определение реакций опор. Покажем rвнешниеr силы, приложенные к ферме: активные (задаваемые) силы P1, P2 , P3 и реакции опор А и В
(рис. 2.3, б).
Так как линия действия реакции опоры А неизвестна, определим ее составляющие по координатным осям X A и YA .
Опора В – стержневая; линия действия ее реакции известна – она направлена вдоль опорного стержня.
Составим уравнения равновесия сил, приложенных к ферме:
∑M iA = 0; P1 3h + P2 2h + RB a = 0; |
|
||
∑X i = 0; |
X A − P1 − P2 = 0; |
|
(2.1) |
|
|||
∑Yi = 0; |
YA + RB − P3 = 0. |
|
|
|
|
||
15
Из этих уравнений
RB = – 10,5 Кн; YA = 6,0 кН; XA = 16,5 кН.
2. Определение сил в стержнях фермы, способом вырезания узлов. Стерж-
ни, сходящиеся в узле фермы, являются для узлового соединения связями. Отбросим мысленно связи и заменим их действия на узлы реакциями. На рис. 2.3, в показаны узлы фермы с приложенными к ним активными и реактивными силами.
Силу в стержне с номером i обозначим Si. Реакцию стержня с номером i, приложенную к узлу М, обозначим SiМ.
Для стержня, соединяющего узлы М и N
S iM = −S iN , но SiM = SiN = Si .
Направления реакций всех стержней показаны от узлов внутрь стержней в предположении, что стержни растянуты. Если в результате решения реакция стержня получится отрицательной, это будет означать, что соответствующий стержень сжат.
Для каждого узла составим два уравнения равновесия:
∑X i = 0 и |
∑Yi = 0. |
(2.2) |
Нетрудно убедиться, что из этих уравнений можно определить не только все силы, но и реакции опор, так что предварительное определение реакций опор не является необходимым.
Действительно, узлов 7 (А, В, С, D, E, F, Н), уравнений, следовательно, 14, а неизвестных тоже 14, т. е. 11 усилий в стержнях и 3 составляющих опорных реакций. Ранее найденные реакции опор могут служить для проверки решения.
Рекомендуется рассматривать узлы в такой последовательности, чтобы каждый раз в уравнения (2.2) входило не более двух неизвестных. Начнем с узла Н:
∑X i = 0; − P1 − S1H cosα = 0;
∑Yi = 0; − S1H sinα − S2H = 0,
откуда определяем
S1H = S1 = – 2,5 кН (стержень сжат) и S2H = S2 =1,5 кН. Для узла Е
∑X i = 0; − S1H cosα + S3E = 0;
∑Yi = 0; − S1H sinα − P3 − S4E = 0,
откуда находим
S3Е = S3 = 2,0 кН, S4Е = S4 = –7,5 Кн (стержень сжат).
Затем составляем уравнения равновесия сил, приложенных к узлам F, С, D,
В, А.
Для проверки расчета полезно для каждого узла построить многоугольник сил (рис. 2.4).
16
Рис. 2.4
Для узла H откладываем в масштабе силу P1 и проводим через конец и начало этого вектора направленияr реакций S1H и S2H до их взаимного пересе-
чения. Стрелки векторов S1H и S2H ставим так, чтобы силовой треугольник был замкнут. Для этого на рис. 2.4 стрелку S1H пришлось направить в сторону, про-
тивоположную показанной на рис. 2.3, в, – это соответствует знаку минус в аналитическом решении.
r При построении многоугольника сил для узла Е откладываем силы P3 и S1E (направляется противоположно S1H ) и проводим до взаимного пересечения направления реакций Sr3Е и Sr4Е и т. д. Измеренные в масштабе построения ре-
акции стержней должны мало отличаться от найденных аналитически. Приводим схему фермы с фактической картиной сил (рис. 2.5) и табли-
цу сил в стержнях (табл. 2).
Рис. 2.5
Таблица 2
Номер стержня |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
Знак силы |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сила, кН |
2,5 |
1,5 |
2,0 |
7,5 |
7,5 |
|
6,0 |
12,0 |
7,5 |
10,5 |
0 |
6,0 |
17
3. Определение сил в стержнях способом сечений (способом Риттера).
Требуется определить силы в стержнях 4, 5 и 8. По способу Риттера каждая сила должна быть определена из отдельного уравнения и не должна выражаться через силы в других стерж-
нях.
Для определения сил S4 и S5 мысленно разрежем ферму сечением I–I (рис. 2.6).
Рассматриваем равновесие сил, приложенных к верхней части фермы. Выбор части фермы обычно определяется объемом вычислительной работы. В данном случае следует отме-
тить, что выбор верхней части позволяет получить искомые силы, выраженные только через заданные силы, независимо от ранее найденных опорных реакций.
Действие отброшенной нижней части на верхнюю представлено силами
S4, S5 и S6.
По-прежнему условно предполагаем все стержни растянутыми. Знак минус в ответе укажет на то, что стержень сжат.
Для определения S4 составим уравнение моментов сил относительно точки F, где пересекаются линии действия сил S5 и S6 (точки Риттера для стержня
4):
∑MiF =0; S4 a + P3 a + P1 h =0.
Отсюдаполучим
S4 = – 7,5 Кн.
Для определения S5, чтобы исключить из уравнения усилия S4 и S6, проецируем силы на ось х:
∑X i = 0; − P1 − P2 − S5 cosα = 0.
Отсюда получим
S5 = – 7,5 Кн.
Для определения силы S8 проводим сечение
II – II (можно было бы провести его и через стержни 8, 7 и 6). Рассмотрим равновесие сил, приложенных к нижней части фермы (рис. 2.7).
Точкой Риттера для стержня 8 является узел D, где пересекаются линии действия сил S9 и S10, исключаемых из уравнения:
Рис. 2.7 ∑M iD = 0; − S8 a −YA a + X A h = 0.
Отсюда получим
S8 = – 12,0 Кн.
18
2.4. Тестовые задания
С 33
С 28
С 35
С 36
Если геометрия и нагружение плоской фермы симметричны, то усилие
встержне I (N1) равно…
1)-0,5F
2)–F
3)0,5F
4)F
Продольная сила в стержне АС равна:
1.Р
2.− Р
3.2Р
4.− Р
2
Если симметричная ферма нагружена двумя разными силами F, то в какой же из указанных ниже комбинаций стержней все усилия равны нулю?
1) |
I, II и III |
2) II, III и IV |
3) |
III, IV и I |
4) IV, I и II |
Если на плоскую ферму действует горизонтальная сила F, то ни в одном из стержней, сочетание которых указано ниже, не возникает усилий
1) 1,2,3,4 |
2) 1,2,4,5 |
3) 2,3,4,5 |
4) 1,2,3,5 |
Если симметричная ферма находится под воздействием силы F, то модуль сжимающего усилия в верхнем горизонтальном стержне (I) равен
1) |
1 |
F |
|
2) |
1 |
F |
|
3 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
3) |
3 |
F |
4) |
2 |
F |
||
|
3 |
|
|
2 |
|
||
19
С 37
Продольная сила в стержне ВС равна:
1) |
2Р |
2) |
− |
2Р |
|
2 |
|
|
2 |
3) |
4Р |
4) |
− 4Р |
|
|
2 |
|
|
2 |
С 31
3.ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СОСТАВНОЙ КОНСТРУКЦИИ (СИСТЕМА ДВУХ ТЕЛ)
3.1. Определение реакций в составных балках
Дано: Две балки АС и CD, соединенные шарниром С
|
(рис. 3.1), закреплены шарнирно |
|
|
в точке А, а в точках В и D опи- |
|
Рис. 3.1 |
раются при помощи катков на го- |
|
ризонтальные направляющие. |
||
|
Определить реакции опор А, В, D и усилие в шарнире С, если на балку действуют: пара сил с моментом М = 200 Нм, сила Р = 80 H, сила Q =120 Н.
Даны размеры: АЕ =4 м, ЕВ = 2 м, ВС =3 м, СН = HD = 2 м.
Решение
Система твердых тел состоит из двух балок. Рассмотрим равновесие каждой из балок отдельно. На балку АС действуют (рис. 3.2) активная сила Р и активная пара сил с моментом М.
Рис. 3.2 Кроме того, на балку наложены связи: шарниры А и С, подвижная опора В. Отбрасывая мысленно связи, заменяем их действие реакциями. Так как реакция
шарнира А неизвестна по направлению и модулю, заменяем ее двумя состав-
ляющими RAx и RAy.
Аналогично реакция шарнира С также изобразится двумя составляющими RСx и RСy. Реакцию опоры В представим вертикальной силой RВ. Рассмотрим, далее, равновесие балки АС как равновесие свободного твердого тела, находящегося поддействием шести сил и одной пары сил.
Выберем оси координат с началом в точке А, ось абсцисс направим по горизонтали вправо, ось ординат по вертикали вверх. Составим уравнения равновесия балки АС:
20