МУ к лаб.рабораторным(МПП)
.pdf
Функция распределения закона Вейбулла имеет вид
( ) |
∫ |
( |
|
) |
|
||||
|
|
|
В теории надежности кривая функции распределения F(t) характеризует вероятность отказа изделия, а функция
̅( ) |
( ) |
( |
|
) |
( ) |
|
|||||
|
|
|
характеризует вероятность исправного состояния изделия и называется кривой ресурса.
Рис. 24. Графики плотности распределения
При решении задач надежности приходится вычислять интенсивность отказов изделий, которая в общем случае равна отношению плотности распределения к вероятности безотказной работы изделия
( ) ( ) ( )
Очевидно, что если по мере течения времени вероятность исправной работы изделия уменьшается, то и значение интенсивности отказа изделия изменяется (возрастает) (см. рис. 25).
81
Рис. 25. Кривые интенсивности отказов:
1 – для показательного закона; 2 – для закона Вейбулла; 3 – для нормального закона
Формулы математического ожидания и дисперсии закона Вейбулла имеют вид
( ) ∫ |
∫ |
( ) |
( ) |
( ) ∫ |
( |
) [ ( )] |
( ) |
Указанные интегралы легко вычисляются с помощью гаммафункции Эйлера
( ) ∫
Значения гамма-функции Эйлера в зависимости от параметра приведены в Приложении 3.
Преобразуя выражения (3) и (4) к виду, удобному для применения гамма-функции Эйлера, получим
( ) |
|
( ) |
|
( )
82
( ) |
|
|
[ ( |
|
) ] |
( ) |
|
|
|
|
|||||
( |
|
) |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
Формула для вычисления коэффициента вариации в этом случае принимает вид
( ) |
|
√ |
( |
|
) |
( |
|
) |
||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( ) |
|
|
|
( |
|
) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Как видим, коэффициент вариации является функцией параметра формы (n). В свою очередь, параметр формы закона n является функцией коэффициента вариации V:
( ) [ ( ) ( )]
Следовательно, если известны М(t) и (t) закона Вейбулла, то можем определить значения параметра формы n и на основании этого определить параметр масштаба .
Для удобства вычисления параметра формы заранее составлены таблицы (см. Приложение 4).
Рассмотрим порядок проверки принадлежности опытных данных к закону Вейбулла.
3. Статистическая проверка гипотезы о принадлежности опытных данных к закону Вейбулла
Порядок проверки гипотезы о принадлежности опытных данных к закону Вейбулла рассмотрим на примере.
Пример. Исследуется закон распределения ресурса рабочей тормозной системы автомобилей КамАЗ до его отказа. Статистическими наблюдениями было зафиксировано 29 наблюдений, результаты которых представлены интегральным вариационным рядом (табл. 11).
Требуется:
1.Установить закон, которому следует рассматриваемое явление
ипроверить правдоподобность принятой гипотезы при уровне значи-
мости = 0,05.
2. Построить кривую вероятности выхода изделия из строя и кривую вероятности исправной работы (кривую ресурса).
83
Таблица 11
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интервала, |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Границы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интервала, |
0-10 |
10- |
20- |
30- |
40- |
50- |
60- |
70- |
80- |
90- |
100- |
110- |
|
|
, |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
110 |
120 |
|
|
|
||||||||||||
тыс.км |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число |
от- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
казов |
в |
9 |
14 |
18 |
7 |
9 |
9 |
4 |
4 |
2 |
1 |
1 |
1 |
интервале |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычисляем опытные относительные частоты выхода изделия |
|||||||||||
из строя по интервалам наработки |
|
, где k – объем выборки |
|||||||||
|
|
W1 = 9/79 = 0,114; W2 = 14/79 = 0,177 и т.д. |
|
||||||||
Результаты счета заносим в табл.12 строка 4 и строим гисто- |
|||||||||||
грамму распределения признака (рис. 26). |
|
|
|
|
|
||||||
0,25 |
|
0,228 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
0,177 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,114 |
|
|
|
0,114 |
0,114 |
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
0,089 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,051 |
0,051 |
|
|
|
|
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
0,025 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,013 |
0,013 |
0,013 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
110 |
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L, тыс. км |
|
Рис.26. Гистограмма распределения ресурса рабочей тормозной |
|||||||||||
системы автомобилей КамАЗ до её выхода из строя и сглаживаю- |
|||||||||||
|
|
|
щая кривая закона Вейбулла |
|
|
|
|||||
Рассматриваем гистограмму и делаем предположение, т.е. выдвигаем гипотезу, что изучаемое явление – ресурс рабочей тормозной
84
системы автомобилей КамАЗ до её отказа распределено по закону Вейбулла
|
n |
n 1 |
n n |
|
f (L) n |
L |
, |
||
|
L e |
|
где n и - соответственно параметр формы и параметр масштаба.
2. Вычисляем статистическое математическое ожидание пробега изделия
[ ] ∑
3. Вычисляем статистическую дисперсию
|
k |
L |
2 |
m |
|
|
|
|
5 |
2 |
9 |
15 |
2 |
14 |
... 115 |
2 |
1 |
|
|
|
||||
|
L |
|
|
(M L ) |
2 |
|
|
|
|
|
(36,6) |
2 |
576. |
|||||||||||
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
D |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79 |
|
|
|
|
|
||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Находим среднее квадратическое отклонение |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
k |
|
L |
79 |
576 |
25,1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
78 |
|
|
|
|
|
|
||
|
5. Находим коэффициент вариации |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
L |
|
|
25,1 |
0,684. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M L |
|
36,6 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. В Приложении 4 для найденного коэффициента V=0,684 находим значение первого параметра закона (параметр формы, рав-
ный n 1,5).
7. Находим второй параметр закона (параметр масштаба) по формуле
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Г 1 |
|
|
|
Г 1 |
1,5 |
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
0,025. |
|
M |
L |
|
36,6 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
Для вычисления значения гамма-функции Эйлера использованы данные Приложения 3.
Значение обратного параметра масштаба составляет
а1 1 40.
0,025
8.Вычисляем теоретические вероятности попадания случайной величины в интервалы по формуле
85
86
( |
) |
∫ |
( |
|
) |
[( |
|
) ] |
( |
|
) |
( |
|
) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где i и i – соответственно ближний и дальний пределы интегрирования.
Р(L1) = 0,14; |
Р(L2) = 0,179 и т.д. (см. строку 5 |
табл.12).
На основе данных строки 5 наносим на гистограмму сглаживающую ее теоретическую кривую закона Вейбулла (рис. 26).
Вычисляем теоретические частоты:
m1 = P(L1) k = 0,14 79 = 11;
m2 = P(L2) k = 0,179 79 = 14,03 и т.д. (см. строку 6
табл. 12).
10.Вычисляем слагаемые критерии Пирсона
(m |
|
m ) |
2 |
(9 11) |
2 |
(m |
|
m ) |
2 |
(14 14) |
2 |
|
|
|
0,363; |
|
|
0 |
|||||||
1 |
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
m |
11 |
|
|
m |
2 |
14 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и т.д.
Суммируя слагаемые критерия Пирсона, получаем
|
|
k |
(m |
|
m ) |
2 |
|
2 |
|
|
|
||
i |
|
i |
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
i 1 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
i |
|
0,363 0 ... |
0,22 |
5,2
.
11. Проверяем правдоподобность принятой гипотезы о принадлежности опытных данных к закону Вейбулла.
По критерию Пирсона
( ) ( )
Следовательно, по критерию Пирсона при уровне значимости = 0,05 гипотеза о принадлежности опытных данных к закону Вейбулла не отвергается.
По критерию Романовского
( )
√√
Как видим, по критерию Романовского гипотеза о принадлежности опытных данных к закону Вейбулла на отвергается.
87
12. Для построения кривой вероятностей отказа изделия F(L) и |
|||||||||||
противоположной ей кривой (кривой ресурса R(L)) воспользуемся |
|||||||||||
формулами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
∑ |
( |
) |
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
( |
) |
|
( |
) |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
По данным строк 8 и 9 таблицы 12 строим графики F(L) и R(L) |
|||||||||||
(рис. 27). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
15 |
25 |
35 |
45 |
55 |
65 |
75 |
85 |
95 |
105 |
115 |
Рис. 27. График вероятностей отказа изделия F(L) и кривой ресурса |
|||||||||||
|
|
|
|
|
R(L) |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Задание к лабораторной работе |
|
||||||||
Используя вышеизложенную методику обработки опытных дан- |
|||||||||||
ных, проверить правдоподобность гипотезы распределения опытных |
|||||||||||
данных по закону Вейбулла для следующих вариантов. |
|
||||||||||
Вариант 1. Интервальный вариационный ряд распределения времени устранения отказов автобусов марки ЛиАЗ (в часах) имеет вид:
88
Номер интервала |
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
6 |
7 |
8 |
Границы |
|
i - i |
0-1,5 |
1,5- |
3,0- |
4,5- |
|
6,0- |
7,5- |
9,0- |
10,5- |
интервала, час |
|
3,0 |
4,5 |
6,0 |
|
7,5 |
9,0 |
10,5 |
12,0 |
||
|
|
|
|
||||||||
Опытные частоты |
|
mi* |
12 |
24 |
20 |
7 |
|
6 |
2 |
4 |
1 |
Требуется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Построить гистограмму распределения признака. |
|
|
|||||||||
2. Вычислить числовые характеристики ̅ |
|
и параметры n и |
|||||||||
.
3. Проверить правдоподобность гипотезы о принадлежности опытных данных к закону Вейбулла по критерию Пирсона и Романовского.
Вариант 2. Гистограмма распределения времени доставки автобусов, получивших отказ на линии, в парк (в часах), имеет вид:
Требуется:
1. Выдвинуть гипотезу о распределении опытных данных по за-
кону Вейбулла. |
|
2. Вычислить числовые характеристики ̅ |
и параметры n и |
.
3. Проверить правдоподобность гипотезы о принадлежности опытных данных к закону Вейбулла по критерию Колмогорова.
89
Вариант 3. Интервальный вариационный ряд распределения числа отказов автомобилей на маршруте имеет вид:
Номер интервала |
|
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Границы |
|
i - i |
4,5- |
7,5- |
10,5- |
13,5- |
16,5- |
19,5- |
22,5- |
интервала |
|
7,5 |
10,5 |
13,5 |
16,5 |
19,5 |
22,5 |
25,5 |
|
|
|
||||||||
Опытные частоты |
|
mi* |
4 |
12 |
6 |
4 |
2 |
1 |
1 |
Требуется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Построить гистограмму распределения признака. |
|
|
|||||||
2. Вычислить числовые характеристики ̅ |
и параметры n и |
||||||||
.
3. Проверить правдоподобность гипотезы о принадлежности опытных данных к закону Вейбулла по критерию Пирсона и Романовского.
Вариант 4. Гистограмма распределения времени эвакуации автомобилей, получивших отказ на линии, в парк (в часах), имеет вид:
Требуется: |
|
|
1. |
Выдвинуть гипотезу о распределении опытных данных по за- |
|
кону Вейбулла. |
|
|
2. |
Вычислить числовые характеристики ̅ |
и параметры n и |
. |
|
|
|
90 |
|