4. Линейные системы с постоянными коэффициентами

Замечание о собственных числах и собственных столбцах -матрицы

Решаем системы вида

где -- действительные числа. Будем искать решение в виде

Тогда (2) -- решение (1) в том и только том случае, когда k - собственное число, -- собственный вектор матрицы. Рассмотрим только один случай -- все собственные числа действительны и попарно различны --. Пусть-- собственные вектора (столбцы), соответствующие этим собственным числам. Тогда общее решение имеет вид

1. Комплексные числа, их изображение. Сопряжение к. чисел. Сложение, умножение и деление комплексных чисел.

Комплексным числом  называется число вида , где  и  – действительные числа,  – так называемая мнимая единица. Число  называется действительной частью ()комплексного числа , число  называется мнимой частью () комплексного числа .

Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой М(х;у) плоскости ОXY такой, что a=Rez, b=Imz. 

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=a+0i=a. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z=0+ib.

Сопряжённые числа

Если комплексное число z = x + iy, то число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

 (сопряжённое к сопряжённому есть исходное)

Комплексное сопряжение — операция над комплексным числом, при которой вещественная часть остаётся постоянной, а мнимая — меняет знак.

Сложение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Умножение

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi² = (ac − bd) + (bc + ad)i

Деление

Модуль и аргумент к. числа. Тригонометрическая и показательная формы записи к. чисел. Комплексная экспонента.

     

2. Модуль комплексного числа - это длина r вектора изображающего комплексное число z. Модуль комплексного числа определяется формулой:                                                                               Угол между вектором, изображающим комплексное число z, и осью Re z называется аргументом комплексного числа z.      Аргумент комплексного числа связан с x и y следующими формулами:                                                         

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой

которая носит название формулы Эйлера.

Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид. На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь ,.

Экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты f(x) = e^x вещественного переменного x.