Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида
называется уравнением с разделяющимися переменными. Метод решения этого уравнения следующий:
а) записываем производную в дифференциалах: ;
б) разделяем переменные и получаем уравнение в дифференциалах : ;
в) интегрируем уравнение в дифференциалах: (константуC записываем лишь одну) -- получаем общее решение в неявном виде;
г) выражаем y через x и C -- получаем общее решение в явном виде.
Заметим, что такой же метод решения применим и дифференциальному уравнению в дифференциалах, имеющему вид
Однородные уравнения
Так называются уравнения вида
Метод решения: а) переходим к новой неизвестной функции . Тогдаи уравнение (2) переписывается так:(*). А это уравнение с разделяющимися переменными.
б) Решаем вспомогательное уравнение (*). Пусть есть его общее решение.
в) Тогда -- общее решение исходного уравнения.
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения Бернулли.
Так называются уравнения вида
Если P(x), Q(x) непрерывны, то условия теоремы существования и единственности выполнены.
Метод решения
а) Решаем сначала уравнение без правой части как уравнение с разделяющимися переменными. Получаем общее решение в видеy(x)=C u(x), где -- одна из первообразных функции.
б) Общее решение уравнения (4) ищем в виде y=C(x)u(x), где C(x) -- функция, подлежащая определению. Такой приём называется методом вариации постоянных.
в) Подставляя в (4), имеем:
Второе и третье слагаемые в левой части дают 0, ибо. Отсюда
г) Решая это уравнение, т.е. интегрируя, находим
д) Подставляя это в , получаем общее решение исходного уравнения.
Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
называется уравнением Бернулли (при илиполучаем неоднородное или однородное линейное уравнение).
Заменим
тогда:
Подберем так, чтобы было
для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения получаем уравнение— уравнение с разделяющимися переменными.
Уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальное уравнение вида
называется уравнением в дифференциалах. Заметим, что (1) действительно дифференциальное уравнение первого порядка, ибо оно может быть переписано для области D, в которой N(x,y)≠ 0 как .
Уравнение (1) назовём уравнением в полных дифференциалах, если в рассматриваемой области существует функция , называемая потенциалом, дифференциал которой равен левой части уравнения, т.е.
Уравнение в полных дифференциалах может быть переписано в виде du(x,y)=0 общим решением которого являются эквипотенциальные кривые, задаваемые соотношением u(x,y)=C.
Теорема. Пусть непрерывны в некоторой односвязной областиD. Тогда (1) будет уравнением в полных дифференциалах в том и только том случае, когда в этой области выполнено условие
Неполные уравнения высших порядков.
Линейные дифференциальные уравнения; однородные и неоднородные. Линейность пространства решений однородного линейного уравнения. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение вида
называют линейным неоднородным уравнением или линейным уравнением с правой частью. Если правая часть равна нулю, т.е. если уравнение имеет вид
то его называют линейным однородным уравнением. Заметим, что для существования и единственности решения задачи Коши достаточно потребовать непрерывности функций . Непрерывность этих функций в дальнейшем предполагается и особо не оговаривается.
В частности дифференциальные линейные уравнения (неоднородное и однородное) второго порядка имеют вид:
Теорема 1. Сумма двух решений уравнения (6) снова будет решением, и произведение решения на число также будет решением.
Теорема 2. Пусть -- общее решение однородного уравнения (6), а-- частное решение неоднородного уравнения (5). Тогдаесть общее решение неоднородного уравнения (5).
Основная теорема о структуре пространства решений однородного линейного дифференциального уравнения. Пусть —не пропорциональные решения. однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. Тогдаесть общее решение этого уравнения.
Определитель Вронского. Формула Лиувилля. Основное свойство определителя Вронского. Основная теорема о структуре пространства решений однородного линейного дифференциального уравнения.
Линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами записывается в виде
где a1(x) и a2(x) являются непрерывными функциями на отрезке [a,b].
линейно независимые. Пусть n функций y1(x), y2(x), ..., yn(x) имеют производные (n − 1) порядка. Определитель
называется определителем Вронского. Теорема. Если система функций y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейна зависима на отрезке [a,b], то ее определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке. Отсюда следует, что если определитель отличен от нуля хотя бы в одной точке отрезка [a,b], то функции y1(x),y2(x), ..., yn(x) будут линейно независимыми. Это свойство определителя Вронского позволяет выяснить, являются ли найденные решения однородного дифференциального уравнения линейно независимыми.Формула Лиувилля-Остроградского
Формула Лиувилля устанавливает связь между вронскианом W(x), построенном на базе частных решений y1(x), y2(x), и коэффициентом a1(x) в дифференциальном уравнении. Пусть W(x) − определитель Вронского решений y1(x), y2(x) линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка
в котором функции a1(x) и a2(x) непрерывны на отрезке [a,b]. Пусть точка x0 принадлежит отрезку [a,b]. Тогда для всех справедливаформула Лиувилля:
Основная теорема о структуре пространства решений однородного линейного дифференциального уравнения. Пусть —не пропорциональные решения однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. Тогдаесть общее решение этого уравнения.
Решение однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решим дифференциальное линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
(Здесь p и q – числа). Ищем решение в виде . Эта функция будет решением (1) тогда и только тогда, когда– корень уравнения
Уравнение (2) называется характеристическим.
Случай 1. .
Тогда уравнение (2) имеет два различных действительных корня ибудет Ф.С.Р. уравнения (1). Тем самым-- общее решение дифференциального уравнения (1).
Случай 2. D=0.
Тогда характеристическое уравнение (2) имеет один корень и при этом. Подставляя в (1) функцию, что
и тем самым также будет решением, не пропорциональным решению, Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид
Случай 3. D<0. Тогда характеристическое уравнение (2) имеет два комплексно сопряженных решения (. Можно проверить, что-- два непропорциональных решения уравнения(1). Отсюда-- общее решение.
Метод подбора решения неоднородного линейного дифференциального уравнения
Решаем уравнение
где правая частьимеет специальный вид, аипо-прежнему суть числа. Мы применяем теорему, согласно которой общее решение уравнения (3) есть сумма общего решения однородного уравнения
и частного решения (обозначим его ) уравнения (3). Так как общее решение однородного уравнения мы научились находить, то осталось выяснить в каком виде и как находится какое-либо частное решение неоднородного уравнения (3).
Предположим, что есть функция вида(здесь– многочлен степениn).
Случай а) Число не является корнем характеристического уравнения (2).
Тогда частное решение можно найти в виде , где-- многочлен степениn.
Случай б). Число совпадает ровно с одним корнем характеристического уравнения.
Тогда частное решение можно найти в виде, где-- многочлен степениn. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, после подстановки в уравнение (3), находим коэффициенты многочлена .
Случай в). Число -- двукратный корень характеристического уравнения.
Тогда частное решение можно найти в виде , где-- многочлен степениn,
Подведем итог и сформулируем вид частного решения, применимый сразу для всех трех случаев а), б), в). Для этого определим число – кратность показателяв характеристическом уравнении – число корней (2), с которыми совпадает. По другому, это наибольшее неотрицательное целое число, такое, чтоделитВозможные значения суть 0, 1 или 2.
Метод вариации постоянных решения неоднородного линейного дифференциального уравнения.
Решаем неоднородное линейное уравнение
вообще говоря с переменными коэффициентами. Предположим, что нам удалось найти Ф.С.Р. однородного уравнения , тогда общее решение этого уравнения будет.
Решение уравнения (1) ищем в виде , гденеизвестные функции, подлежащие определению. Имеем
Положим (*). Тогда, с учетом этого, вычислим вторую производную:
Подставляя ив (1), получим
Так как , то приходим к уравнению
Вместе с (*), получаем систему, из которой находятся функции интегрированием:
Метод вариации постоянных
Пример 1
Найти общее решение дифференциального уравнения (Диффур из Примера №2 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка)
Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным и имеет знакомый вид:
На первом этапе необходимо решить более простое уравнение: То есть, тупо обнуляем правую часть – вместо пишем ноль. Уравнение я буду называть вспомогательным уравнением.
В данном примере нужно решить следующее вспомогательное уравнение:
Перед нами уравнение с разделяющимися переменными, решение которого (надеюсь) уже не представляет для вас сложностей:
Таким образом: – общее решение вспомогательного уравнения .
На втором шаге заменим константу некоторой пока ещё неизвестной функцией , которая зависит от «икс»:
Отсюда и название метода – варьируем константу . Как вариант, константа может быть некоторой функцией , которую нам предстоит сейчас найти.
В исходном неоднородном уравнении проведём замену:
По правилу дифференцирования произведения:
Подставим и в уравнение :
Контрольный момент – два слагаемых в левой части сокращаются. Если этого не происходит, следует искать ошибку выше.
В результате замены получено уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем.
Какая благодать, экспоненты тоже сокращаются:
К найденной функции приплюсовываем «нормальную» константу :
На заключительном этапе вспоминаем про нашу замену:
Функция только что найдена!
Таким образом, общее решение:
Ответ: общее решение:
Линейные системы дифференциальных уравнений. Решение линейной системы с постоянными коэффициентами.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида
где aij(x) и bi (x) — известные, а yj (x) — неизвестные функции, (i = 1,2, … ,n, j = 1,2, … , n) называется линейной системой дифференциальных уравнений.
При описании линейных систем дифференциальных уравнений удобнее пользоваться векторной (матричной) формой записи. Обозначим
Тогда линейная система дифференциальных уравнений в векторной (матричной) форме записывается в виде Y' = A(x)Y + b(x) или, что то же самое, в виде
Матрица A называется матрицей системы, а вектор–функция b(x) — неоднородностью системы.
Система Y' = A(x)Y + b(x) называется неоднородной линейной системой дифференциальных уравнений, а система Y' = A(x)Y— однороднойлинейной системой.
Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы дифференциальных уравнений.
Если A(x) и b(x) непрерывны на отрезке [a, b] , то какова бы ни была начальная точка (x0, Y0) из Rn + 1, задача Коши Y' = A(x)Y + b(x), Y(x0) = Y0,
имеет единственное на [a,b] решение Y = Y(x) .
Важно отметить, что для линейной системы дифференциальных уравнений разрешимость задачи Коши глобальная: решение существует всюду, где непрерывны коэффициенты и неоднородность системы.