1. Определение функции многих переменных; область определения, график, линии и поверхности уровня.

Функция двух переменных сопоставляет каждой точке некоторой области на плоскости числопо какому-либо закону. Примеры: 1) – площадь прямоугольника со сторонами. Здесь область задается неравенствами. 2) - расстояние от точки до начала координат. Здесь Р – любая точка, и D – вся плоскостьOxy.

Графиком функции двух переменных называется поверхность в пространстве , состоящая из точектаких, чтоипробегает всю область допустимых значений функции

Линия уровня С функции двух переменных задается уравнением. Например, линии уровня функции не пусты лишь, если и представляют из себя концентрические окружности радиусас центром в начале координат. Линии уровня функции-- пучёк прямых, параллельных прямой

Функция трех переменных сопоставляет каждой точкеиз некоторого телачисло. Например,-- температура тела в точке

Поверхность уровня С функции задается уравнением

2. Предел и непрерывность ф.м.п.; их основные свойства. Область – открытое и связное множество. Ограниченные области. Замкнутые области. Теорема Вейерштрасса.

Пусть функция определена в окрестности точки.

Определение. Число называется пределом функциипри(записываем как), если для любого ε>0 найдется, что как только

то .

Функция непрерывна в точкеесли. По-другому это можно сформулировать так: полное приращение функции

стремиться к нулю, если одновременно.

Свойства:ПР1. Предел суммы двух последовательностей равен сумме пределов, если пределы слагаемых существуют.

Пр2. Любая сходящаяся последовательность ограничена.

ПР4. Предел произведения равен произведению пределов, при условии, что пределы сомножителей существуют.

ПР5. Константу можно выносить за знак предела:

ПР6. Предел отношения равен отношению пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют и последний не равен нулю.

Свойства: LIM1. Константная функция имеет предел, равный этой же константе

LIM2. Предел суммы существует и равен сумме пределов

LIM3. Предел произведения существует и равен произведению пределов:

LIM4. Предел отношения существует и равен отношению пределов в том случае, когда предел знаменателя отличен от 0.

Пусть область на плоскости. Точку Р назовем внутренней точкой области, если найдется кружок достаточно малого радиуса с центром в точке Р, целиком лежащий в. Точкуназовем внешней точкой области, если найдется кружок достаточно малого радиуса с центром в точке, не пересекающийся с. Точкуназовем граничной для области, если каждый кружок с центром в точкепересекается как стак и с дополнением. Совокупность всех граничных точек называется границей областии обозначается.

Если , то область называют замкнутой, а если ни одна точка из границы не входит вD, то D называют открытой. Бывают не замкнутые и не открытые области. Аналогичные определения внутренних внешних, граничных точек; замкнутости и открытости можно сформулировать в общем случае для подмножеств n-мерного координатного пространства.

Область (тело) называют ограниченной, если ограничены сверху расстояния точек этой области (тела) до начала координат. Иными словами: область ограничена, если ее можно вместить в круг достаточно большого радиуса.

ТЕОРЕМА Вейерштрасса. Пусть функция непрерывна в ограниченной и замкнутой областиD. Тогда функция ограничена и более того, достигает своего наибольшего и наименьшего значений:

Область называется связной, если любые две точки области можно соединить непрерывной кривой.

3. Частные производные ф.м.п. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о смешанных производных.

Частной производной по называется предел отношения частного приращения пок приращению переменной, если последнее (приращение) стремиться к нулю:

По другому частная производная обозначается как Техника вычисления частных производных такая же, как и «обычных» производных. Найдем частные производные от функции

Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка.

Частной производной n-го порядка называется частная производная от частной производной (n-1)-го порядка. Частных производных n-го порядка от функции двух переменных 2ⁿ штук.

Аналогично определяются частные производные высших порядков. Производная называетсясмешанной.

Теорема о равенстве смешанных производных. Две смешанные производные одного порядка и отличающиеся друг от друга лишь порядком дифференцирования равны при условии непрерывности этих производных.

Например,

4. Дифференциал ф.м.п. Достаточное условие дифференцируемости. Производная сложной функции. Неявные функции, их дифференцирование.

Определение. Функция называетсядифференцируемой в точке, если ее полное приращение можно представить в виде суммы линейной функции от ии величины бесконечно малой высшего порядка относительно:

Тогда эта линейная часть называетсядифференциалом и обозначается .

ТЕОРЕМА 1. Если функция дифференцируема в точке , то существуют частные производные в этой точке и.

Замечание. Взяв находим. Аналогично,. Итак, приращение и дифференциал независимой переменной суть одно и то же. В связи с этим замечанием и теоремой 1 дифференциал приобретает окончательный вид

Пример. Пусть Тогдаи

Это функция четырех переменных. Фиксируем точку (1,2). Значение функции в ней равно, а дифференциал равенПользуясь этим, найдем приближенно значениеИмеем:

(Точное значение равно 2,9525)

Приближенные вычисления, основанные на понятии дифференциала, используют формулу .

1. Достаточное условие дифференцируемости

ТЕОРЕМА 2. Если существуют и непрерывны в окрестности точки, то функциядифференцируема в этой точке.

2. Производная сложной функции

ТЕОРЕМА 3. Пусть --дифференцируемые функции, а имеет непрерывные частные производные в области. Тогда имеет место формула

Уравнение касательной плоскости к графику функции в точке, гдеимеет вид

2. Неявные функции

Рассмотрим уравнение

задающее на плоскости Oxy некоторую кривую . Предполагается, что функцияимеет непрерывные частные производные. Пусть точкаудовлетворяет уравнению (1). Тогда ставиться задача – найти непрерывную функциютакую, чтотождественно в окрестности точкииГеометрически это значит, что мы локально в окрестности точки, хотим представить кривуюкак график некоторой функции одной переменной.

ТЕОРЕМА о неявной функции. Пусть определены и непрерывны в окрестности точки, причем. Тогда уравнение (1) определяет (неявную) функциютакую, чтотождественно в окрестности точкии. При этом функциядифференцируема в достаточно малой окрестности точкиив этой окрестности. В частности,

5. Градиент, его геометрический смысл. Касательная плоскость к поверхности. Нормаль к поверхности. Скалярное поле и производная по направлению.

Пусть – функция (=скалярное поле), определенная в окрестности точки, и -- направление в этой точке, т.е. вектор единичной длины с направляющими косинусами. Производной по направлению n скалярного поля f в точке P называется число

ФОРМУЛА

вытекает из правила дифференцирования сложной функции. Правая часть ее есть скалярное произведение вектора n на вектор

который называется градиентом скалярного поля f в точке P. Точнее правая часть в (2) есть проекция градиента на направление .

grad f |AB|=

A n B

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Производная по направлению в точке P меняется в зависимости от направления от до. При этом наибольшего значения она достигает в направлении градиента, а наименьшего – в противоположном направлении.

Итак, еще раз

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть точка P фиксирована, а причем точкиP,R,S не лежат на одной прямой и тем самым определяют плоскость называемую секущей. Предел секущих плоскостей при условииназывается касательной плоскостью поверхности

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Градиент перпендикулярен поверхности уровня.

СЛЕДСТВИЕ. Уравнение касательной плоскости к поверхности уровня, проходящей через точку P имеет вид

6. Экстремумы ф.м.п. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции, если найдется окрестностьэтой точки такая, что для любой . Локальный экстремум – это либо локальный максимум, либо локальный минимум.

Необходимое условие экстремума. В точке экстремума все частные производные равны нулю (если они существуют). Более того, производная по любому направлению равна нулю в такой точке.

Точка , в которой все частные производные, а значит и производная по любому направлению равны нулю, называется стационарной.

ЛЕММА. Квадратичная форма положительно определена, т.е. принимает только положительные значения для всех, если и только если выполнены условия.

В случае

эта квадратичная форма отрицательно определена, т.е. принимает только отрицательные значения при всех .

Достаточное условие экстремума. Пусть Р – стационарная точка функции , т.е.Обозначим

Если выполнено условие (1), то P – точка локального минимума. Если же выполнено условие (2), то P – точка локального максимума. Если же определитель меньше нуля, то Р -- седловая точка, и экстремума в этой точке нет.

1. Определение суммы ряда, сходимости и расходимости. Необходимый признак сходимости.

Выражение вида

называем рядом; -- n-ый член ряда (1). Сумманазывается n-ой частичной суммой ряда (1).

Определение. Суммой ряда (1) называется предел частичных сумм, если . Итак, сумма ряда (1) есть число

т.е. такое число, что для любого найдется натуральноеначиная с которого, т.е. для любоговыполняется неравенство

Если существует предел (2), то ряд (1) называется сходящимся. В противном случае, ряд (1) называется расходящимся.

Примеры. а) 0+0+0+… - сходящийся ряд;

б) 𝜺 +𝜺 +𝜺 +… - расходящийся ряд, какое бы малое положительное число 𝜺 мы не взяли;

в) конечная сумма превращается в сходящийся ряд, если положитьпри; при этом сумма данного ряда равна исходной сумме;

Необходимый признак сходимости.

Теорема. Если ряд сходится то n-ый член стремится к 0 .

Доказательство. . □

2. Геометрическая прогрессия.

- это ряд вида

Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Теорема 2. Пусть . Тогда геометрическая прогрессия сходится тогда и только тогда, когда |q|<1. В этом случае сумма геометрической прогрессии равна.

3. Арифметические операции с рядами.

Определим сумму двух рядов икак ряд с n-ым слагаемым. Произведение рядана число - это ряд .

Теорема. Если ряды исходятся соответственно к s и t, то сумма этих рядов сходится к числу s+t, а произведение рядана число сходится к .

Доказательство вытекает из соответствующих свойств предела.

4. Теорема сравнения. Предельная теорема сравнения.

Лемма. Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми. Тогда этот ряд сходится тогда и только тогда, когда его частичные суммы ограничены сверху.

Теорема сравнения. Пусть для любого натурального n начиная с некоторого номера. Если рядсходится, то и рядсходится. Если же рядрасходится, то рядтакже расходится.

Следствие. Пусть для любого натурального n, начиная с некоторого номера, и существует отличный от 0 предел отношения. Тогда рядыиведут себя одинаково в смысле сходимости (либо оба сходятся, либо оба расходятся).

5. Интегральный признак сходимости. Оценка остатка ряда. Ряды вида

Теорема (интегральный признак сходимости Коши). Пусть - монотонно убывающая, непрерывная и неотрицательная функция при. Положимдля всех натуральныхn. Тогда ряд и интегралведут себя одинаково в смысле сходимости. При этом имеет место следующая оценка остатка ряда:

Имеем (*). Если ряд сходится, то и ряд сходится по теореме сравнения. Отсюда следует, что интеграл имеет предел при. Из этого вытекает, что существует предел . Это доказывает сходимость интеграла. Наоборот, если последний интеграл сходится и равен, тодля любого. Отсюда и из неравенств (*) следует ограниченность частичных сумм ряда. По леммеПусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми. Тогда этот ряд сходится тогда и только тогда, когда его частичные суммы ограничены сверху вытекает сходимость ряда . Оценка остатка рядаследует из неравенства (*):

Следствие. Ряд сходится тогда и только тогда, когда. В частности, гармонический ряд расходится.

6. Признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительного ряда.

Признак Даламбера.

Пусть для всех достаточно больших натуральных n и существует предел отношения, который мы обозначим через d. Если, то рядсходится; если же, то рядрасходится.

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то: а) При  ряд сходится. В частности, ряд сходится при . б) При  ряд расходится. В частности, ряд расходится при . в) При  признак не дает ответа. 

7. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда. Оценка остатка такого ряда.

Ряд вида

где все , называется знакочередующимся.

Теорема Лейбница. Если последовательность монотонно убывает и стремится к 0, то ряд (1) сходится, причем его сумма меньше.

Следствие. Остаток ряда (1) меньше первого отброшенного слагаемого.

Пример. Для того, что бы подсчитать

с точностью надо взять всего лишь 7 слагаемых, ибо. Итак

Более точное (калькуляторное) значение -- 0,36787944

8. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.

Абсолютная сходимость.

Дан ряд с произвольными слагаемыми. Рассмотрим ряд

составленный из абсолютных величин членов исходного ряда.

Теорема. Если ряд (1) сходится, то и исходный ряд сходится.

Определение. Ряд такой, что ряд (1), составленный из абсолютных величин сходится, называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (1) расходится, а сам ряд сходится, то рядназывают условно сходящимся.

9. Функциональные ряды. Равномерная сходимость, мажорируемость ряда. Непрерывность суммы функционального ряда.

Ряд вида

называется функциональным. Областью сходимости этого ряда называется множество всех чисел , при которых числовой ряд сходится.

Здесь -- частичные суммы ряда (1).

Ряд (1) называется мажорируемым на области D, если существует сходящийся числовой ряд (мажоранта) такой, что для любого n и для любого.

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Если ряд мажорируем в области , то он сходится равномерно в этой области.

Под промежутком понимается либо интервал, либо полуинтервал, либо отрезок.

Теорема. Если ряд (1) сходится равномерно на промежутке , и члены ряда непрерывны, то и функция непрерывна.

10. Почленная интегрируемость и дифференцируемость функциональных рядов.

Теорема о почленном интегрировании. Пусть ряд с непрерывными слагаемыми, мажорируем на отрезкеи сходится к функции. Тогда

(тем самым числовой ряд в правой части (1) сходится).

Теорема о почленном дифференцировании. Пусть , функциинепрерывно дифференцируемы и рядмажорируем на отрезке. Тогда функциятакже дифференцируема на отрезкеи имеет место равенство

11. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Функциональный ряд вида

называется степенным рядом. Исследуем ряд (1) на абсолютную сходимость с помощью признака Даламбера:

Обозначим

и назовем это число радиусом сходимости ряда (1). Из выкладок (2) и признака Даламбера вытекает, что ряд (1) абсолютно сходится при , т.е. в интервалеи расходится при условии. Поведение ряда (1) в точкахисследуется особо.

Более общие степенные ряды, по степеням имеют вид:

Линейной заменой переменной они сводятся к рядам вида (1). Интервалом абсолютной сходимости ряда (4) является интервал, где– радиус сходимости ряда. Поведение ряда (4) в точкахисследуется особо.

Дифференцирование и интегрирование степенного ряда

Пусть

-- степенной ряд с радиусом сходимости R.

Лемма 1. Ряд (1) мажорируем на любом отрезке [a,b] лежащем в интервале сходимости.

Лемма 2. Ряд , полученный из ряда (1) почленным дифференцированием, имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Теорема. Пусть -- сумма ряда (1) на интервале. Функциябесконечно дифференцируема на этом интервале и её k-ая производная равна сумме k-ых производных членов ряда (1):

При этом ряд, стоящий в правой части (2) имеет тот же радиус сходимости R. Далее,

Кроме того, ряд (1) можно почленно интегрировать на любом отрезке , лежащем в интервале сходимости. В частности,

для любого и ряд, стоящий в правой части (4), имеет тот же радиус сходимости .

12. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряды Маклорена.

Пусть здесь -- бесконечно дифференцируемая функция. Тогда степенной ряд формулы Тейлора будет выглядеть:

называется рядом Тейлора функции в окрестности точки. В частном случае, когда, этот ряд называютрядом Маклорена.

Предложение. Ряд Тейлора (1) сходится ктогда и только тогда, когда.

Вообще говоря, ряд Тейлора может расходится в точках сколь угодно близких к точке или может сходится, но не к функции. Например функция

бесконечно дифференцируема в нуле и имеет все производные равные нулю. Следовательно, ряд Маклорена этой функции - нулевой, и его сумма не равна .

Определение. Если ряд (1) сходится к функции в окрестности точки, то функциюназываютаналитической в этой точке. Аналитичность функции на множестве означает аналитичность в каждой точке этого множества.

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.