Контрольные вопросы.

1. Что такое вариационный ряд?

2. Запишите нормальный закон распределения случайной величины и поясните параметры, входящие в этот закон.

3. Поясните методику построения гистограммы.

4. Как зависит форма и положение кривой Гаусса от математического ожидания и от дисперсии?

5. Как качественно сравнить дисперсии случайной величины для нескольких распределений по виду гистограммы или кривых Гаусса?

Список рекомендуемой литературы.

1. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1965. 511 с.

2. Деденко Л.Г. Керженцев В.В. Математическая обработка и оформление результатов эксперимента. – М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1977. 112 с.

3. Статистические методы в инженерных исследованиях (лабораторный практикум): Учеб. пособие / Бородюк В.П., Вощанин А.П., Иванов А.З. и др.; Под ред. Г.К.Круга. – М.: Высш.шк. 1983. 216 с.

Лабораторная работа № 1-5

ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

ТВЕРДОГО ТЕЛА

Цель работы: экспериментальное изучение уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси и ознакомление с динамическим методом определения момента инерции твердого тела.

Оборудование: лабораторные установки с маятником Обербека в двух модификациях ( тип установки для выполнения работы указывает преподаватель):

1. “Механический” маятник Обербека с грузами, штангенциркуль, секундомер, масштабная линейка, весы с разновесами.

2. “Автоматический” маятник Обербека с грузами (с автоматической регистрацией времени движения грузов и автоматической установкой маятника), штангенциркуль.

Введение

Основной закон динамики вращательного движения записывается в виде

, (1)

т.е. скорость изменения момента импульса тела равна моменту внешних сил, действующих на это тело. Для твердого тела с закрепленной осью вращения, если его момент не изменяется во времени, то формулу (1) можно упростить и записать в виде уравнения

M =J  , (2)

гдеM  сумма проекций на ось вращения всех моментов внешних сил, действующих на тело; J  момент инерции твердого тела относительно неподвижной оси вращения;   угловое ускорение тела. График зависимости (2) показан на рис. 1 пунктирной линией. Тангенс угла наклона этой линии к оси углового ускорения численно равен моменту инерции J тела.

Исследование зависимости (2) осуществляется на установке с маятником Обербека. Исследование можно провести на приборе с автоматическим измерением времени (АИВ) секундомером, встроенным в прибор и на механическом приборе с измерением времени в ручном варианте.

В основе обоих приборов заложены одинаковые главные элементы – это крестообразный маятник образованный четырьмя спицами 1, соединенными с втулкой под прямым углом (рис.2). С втулкой соединены также два шкива 2 и 3 разных диаметров и вся эта система элементов жестко насажена на общую ось, закрепленную в подшипниках так, что крестообразный маятник может вращаться относительно горизонтально расположенной оси. На спицах маятника находятся цилиндрические грузы 4 массой m^* каждый. Передвигая грузы вдоль спиц можно сбалансировать маятник, а также изменять его момент инерции. На шкив намотана нить 5 (на рис. 2 нить намотана на шкив большего диаметра), которая переброшена через блок 6. К свободному концу нити прикреплена подвижная платформа 7 известной массы, на которую можно устанавливать съемные грузы 8.

Уприбора с АИВ, описанная конструкция смонтирована на колонну 9, которая прикреплена к плите 10 основания прибора. На колонне также установлены два кронштейна: нижний неподвижный 11 и верхний подвижный 12. Подвижный кронштейн можно перемещать вдоль колонны и фиксировать его в любом положении, задавая, таким образом, расстояниеh между двумя фотоэлектрическими датчиками 13 (световой затвор датчиков 13 обозначен прерывистой линией). На колоне закреплена линейка, по которой можно измерять расстояние h. Установка снабжена тормозным электромагнитом, который после подключения к нему напряжения питания удерживает с помощью фиксированной муфты крестовину маятника вместе с грузами в неподвижном состоянии. Тормозная муфта электромагнита установлена в области размещения втулки.

На основании прибора установлен секундомер, у которого имеется индикаторное табло, показывающее время, и кнопки управления: “СЕТЬ” – нажатие кнопки включает напряжение питания секундомера, тормозного электромагнита и лампочки фотоэлектрических датчиков; “СБРОС” – нажатие кнопки обнуляет индикаторы; “ПУСК” – нажатие кнопки включает-выключает электромагнит (нажатие этой кнопки вызывает освобождение электромагнита и генерирование импульса, разрешающего измерение времени). При повторном нажатии кнопки “СЕТЬ” прибор выключается. При движении платформы с грузом перекрывается световой луч верхнего фотодатчика, импульс с которого автоматически запускает отсчет времени электронным секундомером; при перекрытии платформой светового луча нижнего фотодатчика выключается отсчет времени.

Грузы, размещенные на подвижной платформе, натягивают нить и создают вращающий момент внешних сил, действующих на маятник

M = T r, (3)

где T  сила натяжения нити; r  радиус шкива. Силу T натяжения нити можно найти из уравнения (в проекциях на вертикальную ось) движения платформы с грузом

m g – T = m a, (4)

где a  ускорение груза, m  масса платформы с грузом, g  ускорение свободного падения. Выразив отсюда T и подставив в выражение (3) для M , получим

M = m (g – a) r. (4)

Так как нить практически нерастяжима, то ускорение a связано с угловым ускорением крестовины  соотношением

 = a / r =2a/D, (5)

где D – диаметр шкива.

Ускорение подвижной платформы a, высота h, которую проходит груз за время t, связаны формулой для равноускоренного движения h = a t² / 2 . Выразив отсюда a и подставив его в формулы (5) и (4), получим

 (6)

 (7)

По полученным в эксперименте значениям M и , можно исследовать зависимость M=f() и определить момент инерции маятника.

При учете трения, действующего в подвижных частях установки, уравнение, описывающее вращательное движение, принимает вид

J =M – M_тр, (8)

где M_тр – момент силы трения.

Экспериментальная зависимость (8) на рис.1 представляет собой прямую линию параллельную пунктирной линии. Из этого графика можно определить момент инерции маятника, который численно равен тангенсу угла наклона линии графика к оси углового ускорения

, (9)

где ∆М= М₂ – М₁ и ∆ = ₂ – ₁.

Значения М₁ , М₂ , ₁ , ₂ – моменты сил и угловые ускорения для двух произвольных точек, принадлежащих экспериментальной прямой M=f(). Экстраполируя экспериментальную прямую до пересечения с осью М, определяют момент сил трения как отрезок на оси М, отсекаемый примой M=f() от начала координатной линии.