черняк

7. Перевірте гіпотезу про пряму залежність між споживанням та доходом

H0 : 2 1, 0,1.

8.Перевірте гіпотезу, що ефект доходу протилежний ефекту майна у фіксованій пропорції H0 : 2 4 3 , 0,01.

Задача 2.8. Спостереження було умовно розбито на дві підгрупи, для яких було обраховано:

1.Обчисліть оцінки регресії yt xt t для всіх спостережень і для кожної із груп

окремо.

2.Обчисліть відповідні коефіцієнти детермінації.

3.Перевірте моделі на адекватність, 0,05 .

4.Перевірте гіпотезу про стійкість моделі, 0,01.

Задача 2.9. На основі статистичної інформації було побудовано економетричну модель залежності попиту на товар (y одиниць) від доходів населення ( x1 грн) і ціни на

цей товар ( x2 грн за одиницю):

y 25,1 1,7x1 2,3x2 .

1.Визначте з рівнем надійності 95 % адекватність моделі.

2.Дайте економічне тлумачення оцінок параметрів моделі.

Задача 2.10. За 30-ма спостереженнями обраховано матрицю

Визначте стандартні помилки оцінок параметрів моделі

y17,4 2,1x1 1,3x2

іперевірте їхню статистичну значущість із рівнем надійності 0,9.

Задача 2.11. Регресія залежної змінної y на три незалежні змінні на основі n 27 спостережень має такий вигляд:

Заповніть пропуски.

Задача 2.12. На основі аналізу 30-ти спостережень було оцінено модель yt 0 1x1t 2x2t 3x3t t :

51

1.Перевірте гіпотезуH0 : 1 2 3 0 , 0,05 .

2.Перевірте гіпотезу про обмеження H0 : 1 3 , 0,1.

Задача 2.14. За наведеними даними

52

Задача 2.15. Наведено статистику по 15-ти підприємствах, що випускають однорідну продукцію.

1.Обчисліть коефіцієнти регресії y 0 1x1 2x2 .

2.Обрахуйте стандартні похибки для коефіцієнтів моделі.

3.Визначте коефіцієнт детермінації.

4.Перевірте значущість моделі 0,1.

5.Перевірте гіпотезуH0 : 2 1,4 , 0,1.

6.Перевірте гіпотезуH0 : 1 2 1, 0,1.

7.Визначте обсяг виробництва підприємства, середня продуктивність праці якого x1 45 , ефективність капітальних активів x2 59 .

на рекламу. Собівартість однієї одиниці продукції становить 1,8 грн. За наведеними спостереженнями

53

1.Оцініть регресію, перевірте значущість коефіцієнтів і адекватність моделі, 0,05 .

2.Визначте оптимальну ціну, якщо витрати на рекламу становитимуть 310 грн.

3.Знайдіть оптимальні видатки на рекламу, якщо конкурентна ціна одиниці продукції становить 5,9 грн.

4.Знайдіть максимальний прибуток фірми.

Задача 2.17. На основі статистичних даних, де y – прибуток комерційного підприємства, x1,x2,x3 – фактори, від яких залежить прибуток цього підприємства.

54

Знайдіть МНК-оцінки параметрів регресії, припустивши, що вона має таку стохастичну залежність:

y0 1x1 2x2 3x12 4x22 .

1.Перевірте модель на адекватність, 0,01.

2.Якщо модель адекватна, то знайдіть значення чинників, за яких прибуток комерційного підприємства буде максимальним.

Задача 2.18. За даними ВВП України за 1993-2003 роки

(???)

55

1.Побудуйте трендову модель yt 0 1t t .

2.Розрахуйте коефіцієнт детермінації.

3.Перевірте модель на адекватність, 0,05 .

4.Перевірте гіпотезу про стійкість моделі, розбивши всі спостереження на групи розмірами n1 24 та n2 19 , відповідно; 0,1.

5.Розрахуйте прогноз на четвертий квартал 2003 року. Визначте надійний інтервал для прогнозу, 0,05 .

Задача 2.19. На основі даних зовнішньоторговельної діяльності України

56

(???)

1.Перевірте гіпотезу про вплив сезонного компонента на:

експорт товарів та послуг;

імпорт товарів та послуг.

2.Зробіть прогнози для зазначених змінних на 3-й та 4-й квартали 2003 року.

57

3. Перевірте гіпотезу про стійкість розглянутих моделей, дослідивши дані до і після

1999 року.

Розділ 3. Різноманітні аспекти множинної регресії

3.1. Порівняння факторів за мірою їхнього впливу

Розглянемо множинну регресію, для якої вже отримано статистично значущі оцінки коефіцієнти регресії. У такому разі вибіркову регресійну функцію можна записати у вигляді

Якщо значення змінної xj змінити на одиницю, а решту змінних залишити постійними, то, як стає зрозумілим з (3.1), значення yˆt зміниться на ˆ j одиниць. Таким чином,

коефіцієнти регресійного рівняння є кількісною мірою впливу окремо взятих незалежних змінних на залежну змінну за рівності решти умов (ceteris paribus)

Коефіцієнти регресійного рівняння було б заманливо використовувати для порівняння різних незалежних змінних (факторів) за мірою їхнього впливу на залежну змінну. Однак при цьому виникають певні проблеми. Зокрема, величина регресійних коефіцієнтів залежить від одиниць виміру відповідних факторів. Наприклад, моделюючи ВВП країни, як незалежні чинники доцільно використовувати: відсоткову ставку НБУ; розмір грошової маси в обороті (млрд грн); розмір мінімальної заробітної плати (грн); очікувану величину експорту (млрд дол США) тощо. У такому разі всі чинники вимірюють у різних одиницях, а тому спроба перевести їх до іншої бази призведе до зовсім інших результатів оцінки регресії. Зокрема, якщо перерахувати очікувану величину експорту країни у національну грошову одиницю, то зміняться не лише коефіцієнти при чиннику експорт, а й при всіх інших змінних.

Отже, регресійні коефіцієнти не можна використовувати для порівняння дії різних чинників. Треба розробити методику, яка дозволяє за допомогою регресійних коефіцієнтів аналізувати важливість тих чи інших факторів. Найчастіше при цьому використовують два методи:

1)порівняння коефіцієнтів у регресії відносно нормалізованих змінних;

2)порівняння коефіцієнтів еластичності.

Зазначимо, що для порівняння не існує критерію, придатного в усіх ситуаціях. Щоб вибрати критерій, треба врахувати мету дослідження, а також використати знання з тієї галузі економічної теорії, яка вивчає досліджуваний об'єкт.

3.1.1.Регресія відносно стандартизованих змінних

Основна ідея цього методу –позбутися різних одиниць виміру змінних. Розглянемо застосування цього методу на прикладі. Нехай треба оцінити модель лінійної регресії

yt 0 1xt,1 k 1xt,k 1 t ,t 1,n .

Уведемо такі позначення:

58

змінні за побудовою мають нульове вибіркове середнє та одиничну вибіркову дисперсію. Також варто зауважити, що середнє значення всіх нормалізованих дорівнює нулю. З цього випливає, що Модель регресії відносно стандартизованих змінних треба записати в

Як відомо, регресія завжди проходить через точку середніх значень залежної і незалежної змінних. Оскільки середні значення всіх стандартизованих змінних дорівнюють нулю, то модель не містить константи.

Оскільки середньоквадратичні відхилення мають ті самі розмірності, що і змінні, то стандартизовані змінні є безрозмірними величинами, а тому коефіцієнти регресії (2) можна інтерпретувати як міру впливу незалежних змінних на залежну змінну.

Значення коефіцієнтів регресії (2) можна знайти без безпосереднього застосування методу найменших квадратів, скориставшись формулою

Після знайдення величин ˆ *j можна зробити ранжирування всіх чинників за абсолютною величиною відповідного коефіцієнта.

3.1.2. Коефіцієнти еластичності

Як і в інших дисциплінах, коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться значення залежної змінної при зростанні однієї незалежної змінної на один відсоток за умови, що значення всіх інших змінних не зміниться.

Для довільної залежності вигляду

Якщо вигляд залежності задано явно, наприклад, за допомогою регресії (3.1), то

З формули випливає, що коефіцієнти еластичності залежать від того, при якому значенні змінної їх обчислюють. Стандартним є обчислювати коефіцієнтів еластичності при середніх значеннях змінних. Тоді формула (3.4) набуває вигляду

Для ранжирування факторів регресії за мірою їхнього впливу використовують абсолютне значення коефіцієнта еластичності.

59

Приклад 3.1. Порівняння факторів за мірою їхнього впливу

Розглянемо модель залежності номінального ВВП України за 2000-2006 рр. від інвестицій коштом підприємств, закордонних інвестицій, рівня безробіття, середньої заробітної плати (див. табл. 3.1).

Оцінимо регресію вигляду

60