Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Zolotaryuk_lectures

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

955.18 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

2.6. АМIЛЬТОНОВА СТ УКТУ А IВНЯННЯ КДФ

одержимî iíøå ðiâíÿííÿ ÊäÔ:

∂ δH

= ∂

∂H

∂2

∂H

∂

xxxx −

10uu

xx −

5u2

+ 10u3

∂x2 ∂uxx

∂x δu(x)

∂x ∂u

∂x

будеЦе рiвняння= óíêöi¹þu буделише− 10такожuu äié

xxxxx xxx

да¹тьс виразами:

θ(k, t) = θ(k, 0) +


3			оскiльки новий гамiльтонiан(2.215)
цiлком iнтегровним,
− 20uxuxx + 10(u )x .
	n(k), Nm. Залежнiсть кутових змiнних вiд часу
	δH			∂H
		t , Θm(t) = Θm(0) +			t .	(2.216)
	δn(x)			∂Nm

52 ОЗДIЛ 2. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KO ТЕВЕ А-ДЕ Ф IЗА Т

îçäië 3
Оберне а задача розсiяння
для рiвнянь					синусордон та
Í Ø òà ¨õíi ðîçâ'ÿçêè
i ня ня синусордон (С ) широко використову¹ться багатьох дiлянках
сучасíо¨ iзики, зокрема в теорi¨							о¨ надпровiдностi, магнет змi, кван-
òîâié òåîði¨ ïîëÿ, òåîði¨ äèñëîêàöiéñëàтбкiн. iвняння ма¹ наступний вигляд:
			∂2u		∂2u
Дaнe piвняння мa¹			òyï	i èìeòpi¨:					(3.1)
		ía	∂t2	−	∂x2		+ sin u = 0 .
• ¹ poзв'язкoм прoстдлядoвiльногорвi						ÿêùo u(x, t) ¹ poçâ'ÿçêoì, òo i u(x + x,˜ t
			льного, тoбтo
						x˜;
•	poTpaí ëÿöi¨ äëÿ÷a i, òoáòo ÿêùo							¹ poçâ'ÿçêoì, òo i	˜ ¹
•					˜;		u(x, t)		u x, t + t)
					t

• розв'язПeрeтв peнняк,apгументиЛopeнцa,				u(x, t)			розв'язкомзаконом	(3.1),	òo	i
		т бтoперетворюютьсяякщo за¹
ÿêoão				t − vx
t	→ √1 − v2
x		1		x	−	vt	.
маютьiвнняннятежiзичний¹рoзв'язкoмС€змiстма¹..нескiнченнуТакимиiнтегралам
			кiлькiстьзокрiнти магралiв¹: руху, деякi з(3них.2)
			å

• Eíåðãiÿ	+		2t	+			2	+ 1 − cos u dx .	(3.3)
	H = Z−∞		2t	+			2	+ 1 − cos u dx .	(3.3)
		∞	u2			ux2
• Iмпульс					+			utuxdx .
	P = − Z−∞							utuxdx .
				53			∞		(3.4)
				53					(3.4)

v2 − 1

54 ОЗДIЛ 3. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯНЬ СИНУС- О ДОН ТА Н Ш Т
Топологiчний заряд
	1		+∞
		îнiв,рмою,арнихсамебудемона розв'язкiвможливiстьшукатирозв'язкирозповсюрiв(3що.5)--
постiйноюивостiелешвидкiстю:солiтаìåíò
розповсюдженняЗ3.огляду1 нянняЗнахосновнiджуютьсяпостiйноюдженняСзвлашвидкiстю€ Q =	2π		Z−∞ uxdx .

Такiiвняннярозв'язки(3.1) тодiчастоz набува¹= класиx − vtвигляду:,iкуютьсяu(x, t) =ÿêu(xðîçâ'ÿçêè− vt) ≡ u(òèïóz) .

"бiжуча хвиля"(3.6).

d2u

sin u

еквiватн Д навполiзадачагравiтацi¨,нагаду¹девже вiäîìó=ç класи÷íî¨. механiки про динамiку (3мая.7)-

dz2

− v2

лентом часу. Дoмнoжaючиu ¹ кутомoбидвiповоротустoрoнимаятíaèê à z можна вважати

oäèí ðàç, oäeðæó¹ìo:

du/dz тa iнтeгруюч

v2 − 1

du(z)

(3.8)

+ (1

cos u) = E

−

äi:e E ¹ пeвною сталою iнтегрування. озв'язок можна представити у вигля-

В залежностi вiдz

значеньz =

u0 s 2

v2 − 1

dw .

(3.9)

−

2 sin2 w/2)

додатньому значенню пiдкореневогоv ta E виразуможливi 4 .9).

що вiдповiдають

• Bипадoкличини v2 > 1. Цей випадок

а¹ двa пiдвипадкивипадки,залежностi

âå-

Bèïaäoê

u, u′) (äèâ. pè . 3.1).

рiвнянняaзовiсатиункцiйвнaступнoмуé ïëî(3.Oá.9)ùèíi(äèâ.0двaПoведiнкрозв'я< .EÄoäaòoê< виглядi:2y.çêèCкориставши1)u òeìèìîðîçâ'ÿçîêжнамoжнaотриматипроьрiвняннявластивостíàïðëiÿмимзувати(3.ÿìè9)iнтегрувагìîæíaåðàлiптичнихi÷çàïèíÿìía-

z − z0

u/2

dθ

√v2 1

√

r E

p2 sin2

−

2 sin (w/2)

p −

Òóò

= F (ϕ, 1/p), p =

2/E, sin ϕ = p sin(u/2).

(3.10)

першого роду. Кiнцевий вираз для

F - елiптичний iнтегралp

u(z) можна записати

àê:

u(z) = 2 arcsin k sn

; k ,

k = pE/2.

√

−

(3.11)

3.1. ЗНАХОДЖЕННЯ ЕЛЕМЕНТА НИХ ОЗВ'ЯЗКIВ IВНЯННЯ С€55

u'(z)

									u
3π	− 2π	− π		0		π	2π	3π	4π
3π		− π				π		3π
				V(u)					E
									E
									E
									u
ис. 3.1: Фазовий простiр−					рiвняння (3.7) у випадку
− 3π	− 2π	− π	φ0	0 φ0		π	2π	3π	4π
Данiкнрзву îзв'язки¨дальних¹.перiодичнимиМодуль							просторi хвилями,v2ùî> мають1.			íà
ø é	вонибiльшавiдп					k визнача¹ амплiтуду хвиль: чим бiль-
	вонибiльшавiдп
(рисрух). k3В,.1)тимграницi				вiдаютьплiудазамкíавпакинутим.траекторiямНаазовiй( площинiiнiтний

k → 0 згiдно властивостей елiптичних ункцi

Bипaдoкодержати(ζ; k) →звичайнisin φ.

Тaкимплоскiчиномхилi.

малоамлiтуднiй границi ма¹мо

ðîçâ'ÿçoêуючи знову властивостi елiптичних

óíêöié, Eотриму¹мо> 2. Використо

±k√v2

− 1

маютьозв'язки.сх3вигляд.1диноквониназиваюзроствiдповiдаютьsnаючо¨спiральниабоiнспадаючiнiтнми хвилямиму¨ескiруху.Наченно¨.Такiазовiйрозв'язпрослi(3пло.12)

овностiрис висотою î

кищиДа u(z) = 2 arcsin

−

; k

, k =

2/E .

äèíîê (àáî "ïåðiîä"

√

2π. Ïðè çìåíøåíнi E довжина х -

збiльшу¹тьсякно¨дальнi, де на паки-

iнтеграл першого ду)

K(k)

повний.

елiптичний

2k 1 − v K(k)

•

стюма¹Bипадокструвонаvтурузс< ,1нут.дужФазовапоподiбнуплощинадопопередньо¨,дляданогозâипадкуднi¹ю лише(див. вiдмiннipи. 3.2)-

пiдвипадки в зале

чення

н стiu вiдвеличинузна πстало¨.Як iнтегруванняприv > 1, ма¹мо два

Bèïaäoê

ють iнiтному0 < E ðóõó< 2. наОтриму¹моазовiй площинi

ìåæaxxâèëi, ùo âiäïîâiäà-

π − φ0 < u <

56 ОЗДIЛ 3. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯНЬ СИНУС- О ДОН ТА Н Ш Т

				u'(z)
	− 3π		− π		π		3π		u
− 4π	− 3π	− 2π	− π		π	2π	3π		4π
− 4π		− 2π		0		2π			4π
				0
				−V(u)
							E
− 4π	− 3π	− 2π	− π	0	π	2π	3π	4π
ис. 3.2: Фазовий простiр− φ рiвнянняφ (3.7) у випадку									u
			0	0					u
							E
				−2
									v2 < 1.

π + φ0:

√

−

√

Zπ

dw = −2dθ

sin

2/E = p2

> 1

z z0

π − w = 2θ

−

π−u

Отриму¹мо

dθ

p sin[(π

u)/

−p

p2 cos2

= −F "arcsin

p2− 1

! ;

−

# .

−

p p

−

√1−

2 ≡

−

a îòæåsn

z z0

−

кiнцевий; k âèð= àçsin

k ,

√v2

− 1

äå u(z) = π + 2 arcsin k sn

− z0

; k

, k =

2 − E

(3.13)

BипaдoквизначенoОтримуак,як i у випадку

> 1

0 < E < 2

φ0

E < 0.

¹мо знову спiральнi xвилi:

±√1− v2 = Zπ

√2

E + 2 sin2 (w/2)

= |θ = (π − w)/2| =

−

| |

−

1 + p2

1 + p2 cos2 θ

= p

(π−u)/2

dθ

π − u ;

p = s

p1 + p2

= s

|E|

2 + |E|

3.1. ЗНАХОДЖЕННЯ ЕЛЕМЕНТА НИХ ОЗВ'ЯЗКIВ IВНßÍÍß Ñ€57

Тепер можна записати i кiнцевий вираз:

s 2 + E

±k√1

−

Òóòu(z) = π + 2 arcsin

− z0

; k

, k =

(3..14)

þтьсхядиноквiдхвильпри

няння0 <(3.k12)<òèì1, цiщоспiральостаннi хвилi¹послiдовнiствiдрiзняпослiдовнiсть

ðiâ-

±знaченнями,π, ±3π, . . . aкратнимиyвипадку (3.14) ма¹мо

u =

сходинок iз

прихвилiрiвноваги"маятника",визначенi(3..13) "маятниквiдповiдрiвняннямиаксмоютьа".спiральнiколиванням(3.12)тхвилi(3навколо.13)(3.13)бу-

åííÿ

властивостi. Кнперехрiвновагищо¨дальложрозв'язки,дi

з'¹днуютьнестiйкихдутьНескладноВнестiйкиграничномуполонестiйкiженьiтити

2π

ма¹мо наступнisn("−").

E = елiптичних0 отриму будьункцiй-яêîìó ç âèщеназваних випадкiв

k →

реднiхвiдповiдномiркуваньотриму¹моx; k стiйкостi→ tanhсепаратрисуx робимо, n(x; k) →

x ,

(x; k) →

x ,

виснщоseвокроздiля¹h щоdn шедвасепаратрисатипиseрухiвh.випадкуЗпопе-

vантикiнком< 1 ¹ стiйкою. Данi сепаратриснi розв'язки назèваються кiнком ("+") ò

(Кадомцева

Ïðè

¹ìî:

де ормацiю,

u/4

dξ

√

−

= Zπ

= Zπ/4

= ln[tan(u/4)] ,

2 sin (w/2)

sin ξ cos ξ

−

√−1 − v2

u x, t) = 4 arctan

exp

− x0

логiчнихвiдповiдносистемизростаючо¨ тнаспад

ючо¨ ункцiй x що з'¹днують 2 основ (3хста.15)-

à-

Петвiашвiлi)кiнкiвбiльшрi¨х.нянняжодноюскладнiбезмежнiсть.антикiнкiв:ТС.à€Тoмукiлокалвiдрозв'язкирозв'язки,iншихкiнкиною.Цесолiтонiв,нтикiнкипри(наприкладронтициповаповоротупрхбрiзерино¨характеристик.моолiтонiвятьжна1назву(абокутзнищиКдФбiони)топоа )якне

-КПвiдрiзможутьцешеIснуютьзв'язанiперемiстившия¹бутисолiтонисолiтонiвuïàðèiíøi,=усунутi0- u = 2π

(горба)

2π

cosh (√1

−

роз'язкiвТакийчастот

φ(x, t) = 4 arctan

√

−

sin ωt

ðîçзв'язокю ма¹ орму локалiзованов

îàãè ïð

iëÿ

що осцилю¹(3.16)

ìатиуанглiйськогобупрямимдеiлiнавколовикористов.Длясловарозв'язаннямпошtoположенняbreatheóватиську роз'язкiврiвнядихатиобер .няенатипуCзадача.,бризераТакийтобторозсiяннятрозв'язокабоякбiльш.ценеморобилосяскладнихжливо

даноотри1Вiд

58 ОЗДIЛ 3. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯНЬ СИНУС- О ДОН ТА Н Ш Т

3.2 Побудова комутацiйного представлення для

синусордон

нелiнiйного рiв-

рiвнянняШредiнгера

альне рiвняння (Д ) другого

порядвикоористовувалосрiвняння Шредiнгера:

При iнтегруваннi рiвняння КдФ

я звичайне ди еренцi-

наступнийПокажемо що

рмальниййогоможназписпредставити

виглядi. Використовуючи(3.17)

ψxx

− uψ = â−iншомуk ψ .

здiйснившиψxx + k ψ ≡ ∂x

+ ik ∂x − ik

ψ = u(x)ψ ,

òa

çaìiíó2

∂

(1)

першого

переписати

як систему двох Д

порядку:

, дане рiвняння можна

ψ(2) = ψx

−ikψ(1)

ψ(1)

ikψ(1) + ψ(2) ,

−ikψ(2) + uψ(1)

Ввiвши стовпчик

ψx(2)

(318). 9

(3.19) ìoæíà

(1)

(2)

чином:за iнивши

k нa λ, рiвняння (3. -

переписатиφ = (ψнаступним, ψ ) та

дe oператор

ψx = U (λ)ψ ,

(3.20)

U ¹ матрицею наступного вигляду

переписатинянняДля(2рiвняння.59)похiднi.ВикористоКдФпоU (λ÷àñóe) = iλ

−1

âуючиолюцiявекторайого,власниxaтакожункцiйрiвняннявiдбува¹ться(3.18)-(3.згiдно19)можна(3рiв.21)-

ψ як лише ункцi¨ його компонент:

ψt(1)

−4ψxxx(1) + 6uψx(1) + 3uxψ(1) = −4(iλψ(1) + ψ(2))xx +

6u(iλψ(1) + ψ(2)) + 3uxψ(1) =

= 4iλ3ψ(1) + 4λ2ψ(2) + 2iλuψ(1) − uxψ(1) + 2uψ(2)

ψt(2)

ψxt(1) − iλψt(1) = −4iλ3ψ(2) + 4λ2uψ(1) +

(1)

(2)

(1)

(2)

Цi двa рiвняння можна зaписати в мaтричному виглядi

(3.23)

+ 2iλ[uxψ

− uψ ] + (2u

− uxx)ψ + uxψ .

дe oператор

ψt

= V (λ)ψ .

(3.24)

V ма¹ наступнe мaтричнe представлення:

V (λ) = 4iλ3 0 −1

+ 4λ2 u 0 +

2iλ ux

−u

2u2−− uxx

(3.25)

3.2. ПОБУДОВА КОМУТАЦIЙНО О П ЕДСТАВЛЕННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ СИНУС- О ДОН ТА НЕЛIН

26)

цiювавшиCистема рiв¨x пoнь (3.22)-(3.23) нa вeктoр ψ ¹ ïåpeoçía÷eíoþ. Ïðoäè åðåí-

представленíÿ 2 t òa x вiдпoвiднo i пpирiвнявши, oдeржимo комутацiйне

Maòðèöi

∂U (λ)

−

∂V (λ)

+ [U (λ , V (λ)] = 0 ,

(3.26)

∂t

∂x

äe

U = iλ

−1

+ i r

(3.27)

ëiâîìóзалежатьвнянняKвiдФ

oлигопaрлiвaметрyчaстина.

ма¹В aнoмуглядвипадкуUaòðèöitaV

виразкoмплексного(3.викону¹тьсяспектральн

задовiльня¹¨¨

2 × 2

мiститься

ниждальшому

кутi зi дорiвню¹нi¹юнeнульовою

омпонентîþ ùo

u x, t

В по рiвняннюрозглянемоKдФ. випадокut − 6uux

+ uxxx

дe мaтриця

. Taким чином

пний вигляд:

U = U (x, t; λ) мa¹ насту-

ВласнаспiввiдношенняrВеличина= r(x, tóíêöiÿ),àáîq = q(x,Представленняt) в загальномускалярЛаксавипадкуПредставленнякoмплекснiкривизниункцi¨нульово¨.

Пряма задача

вектор ψ

ðîçñiÿííÿ

ψx = U (λ)ψ

Lψ = λψ,

2 × 2

Час ва еволюПорiвнянльна

ˆ L

(R)

U (λ)

власних ункöié

ψt + Aψ = 0

ψt = V (λ)ψ

Комутацiй е

(R)

V (λ) - матриця 2 × 2

A äi¹ â L

ТаблспiввiдношеOбравши.3.1:

таблицяˆ

ˆпредставленьˆ

Лакса та нульово¨ кривизни.

Lt = [L, A]

Ut − Vx + [U, V ] = 0

V = 2iλ2

0 −1

+ 2iλ r 0 +

тa поклавши

−

(3.28)

−rx

−rq

r = ±q одержу¹мо

íeëiíiéíå

рiвняння Шредiнгераa:

У випадку

irt + rxx ± 2|r|2r = 0 .

(3.29)

r = q = ux/2 i взявши мaтрицю V у виглядi

cos u

i sin u

геометричнуння носитьiнтеназвуðïðетпредставлення нульо о¨ кри и ни i ма¹ вiдповiдну(3.30)

ди 2Данееренцiйнопредставл-

4iλ

sin u

−

− cos u

àöiþ

60 ОЗДIЛ 3. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯНЬ СИНУС- О ДОН ТА Н Ш Т

одержу¹ìî

∂t −

∂x

uxt

− 4λ

cos u ··ux

−i sin u

·· ux

∂U

∂V

uxt

i sin u

− cos u

−cos u

− 8λ

cos u ··ux

·· ux

−i sin u

U V =

cos u

i sin u

i sin u ux

− cos u

−

V U =

−i sin u · ux

cos u · ux

cos u −i sin u

8λ

cos u

sin u ux

i sin u

cos u

що призводить в результатi до рiвняння синусордон (С ):

−2 sin u

− 4λ

cos u ··ux

−i sin u · ux

[U, V ] =

sin u

i sin u

− cos u · ux

Ïðîâiâøè çaìiíó		uxt = sin u ,	(3.31)
t′ = t	−	x, x′ = x + t, одержу¹мо
	−

çu3начено¨вiдкиозглянемо.3= u елементарноДОберненаxâ′ +системуuормулit′ = u(3приходимодвох.1)−задача.u Ä, u äo= (розсiяннязвично¨u −u ) îðìèx′ +(uдлязапису−u системи)рiвнянняt′ = u Ñ−uäâîõ, âè-,

x x′ x t′ x x′ t′ xt x′ t′ x′ t x′ t′ t′ t x′x′ t′t′

	ψ(1)	=	iλψ(1)	+ iq(x)ψ(2) ,	2)
	x		1
Де комплекснi ункцi¨ψx(2)		=	−iλψ2(2) + ir(x)ψ(1) .		(3.33
Для дiйсного Z−∞	r(x), q(x) задовiльняють
Для дiйсного Z−∞	\|r(x)\|dx < ∞ ,			Z−∞ \|q(x)\|dx < ∞ .	(3.34)
+∞				+∞

стеми (3.32)-(3.33),λ ùîiíó¹çàäïàютьсяралiнiйноасимптотикам-незалежнèõ ðîçâ'ÿçêiâ ψ1,2(x, λ) ñè-

àáî æ ðîçâ'ÿçêè ψ1(x, λ) =		e		0	+ o(1) ,	x	+	,	(3.35)
				iλx	+ o(1)
ψ2(x, λ) =	e−iλx				+ o(1)	;	→ ∞
			0
φ1,2(x, λ), що задовiльняють наступним асимптотикам:
φ1(x, λ) =		e	0		+ o(1) ,	x		,	(3.36)
			iλx		+ o(1)
φ2(x, λ) =	e−iλx				+ o(1)	;	→ −∞
			0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.03.2015509.99 Кб9Zhan_Bodryyar_-_Simuklyary_i_simulyatsii.pdf
#
19.03.2015101.85 Кб6Zhurnalisti_-_RNP.docx
#
13.09.20191.42 Mб22zhurn_etika_ot_sikilindy.doc
#
23.08.2019343.02 Кб1Zivotne_poistenie-new.docx
#
30.08.2019110.08 Кб1Zmist_osnovnikh_polozhen_derzhavnog1.doc
#
19.03.2015955.18 Кб9Zolotaryuk_lectures.pdf
#
19.03.20151.49 Mб15ZP-bilety-rezat9.pdf
#
22.11.2018132.61 Кб2Zrazok_roboti.doc
#
31.07.2019100.35 Кб1ZUNR.doc
#
13.08.2019111.1 Кб1Zvit.doc
#
11.11.201965.54 Кб2zvit.doc