Zolotaryuk_lectures

.2. IВНЯННЯ С ТА ЕФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА

91

5.2.5

Е екти дисипацi¨

довгого контакт Джозе-

чинено¨ рухсонаì нормальних н сi¨в ст

уму, тобто елек ронiв)дисипацi¨т сто онн х

Вищезгаданi iркування

дилисдлябез

íÿ

(ñïðè-

. Цi е екти грають важ иву

îëü i ïîâè

нi буе ектiвврахованi при ви-

еденнi рiвняння що опису¹ д намiку контактврахува. Зг дно перших

льтатiв

Джозе сона, бiльш повнийпровоèãëÿä виразу äëÿ

ого стррезуму ма¹

струмiвигляд

52);

• êòà,

å

надпровiд

(5.52)

I = I0 sin φ + [G0(V + G1(V ) cos φ]V ,

типи¹достатньодисипцi¨:складними ункцiями температуриелектронiвнапруги

V

. Iñíó¹

äâàG0,1

Н рмальнапоису¹ дисипацiяьсрiвняннямвикликана(5. рухом

впоперек конта-

-

íàä

ровiдниковихом

вздовждiв).

онтакта

части iмпедансаструм

çîâíiøíié

Поверемохнева

•Ââå(äiéñíà

-

пацiювiдповiни. Еквiвалентна(резистор,а¹за

паралельно.хемаструмконтактаелементом,пiдключений(дивоверневий.Pщос.до5вiдплвiда¹.8)iндуктивностi)опiроповнитьсязана повердиницю.елементом,Вхневурезульдовжидисатi,що

IB

R

R

èñ. 5.8: Åêâ

L

ç óðàõóâàí

I

C

V

J

IB

с ема для догого контакта Дж

ням дисипацi¨

çîâíiшнiх струмiв.

âè-

перепишемо рiвняння Кiрхго а (5.29) з роздiлу 5.2.3озе врахуваннямсонà

щезгаданих змiн,валентнарiвняння (5.30)-(5.31) залишимо такими як вони були:

iL(x, t) − iL(x + x, t) − iR(x, t) + iR(x + x, t) = C x

∂V (x, t)

+

∂t

x 1 +

G1

+Ic x sin φ(x, t) + G0

G0 cos φ(x, t) + IB

x ,

3)

iR(x, t)R x = V (x + x, t) − V (x, t) ,

4

V ≡ V (x + x) − V (x) = −L x

∂iL(x, t)

,

5

∂t

∂φ(x, t)

= 2e V (x, t) .

(5.56)

∂t

~

92

ОЗДIЛ 5. ФIЗИЧНI ЗАСТОСУВАННЯ IВНЯННЯ С

Òóò

- ñòðóì ùî ïðîòiê๠через iндуктивнiсть,авившиàíàëîãi÷íi

зробленi

R - струм що протiка¹

черезLрезистор. Спрямувавши

x → 0 ïiäñò

ìà¹ìî

(5.54) â (5.53), îòðè-

∂iL

1 ∂2V

∂V

∂φ

ступнийВ цьоìóçрiвняаписпопередньомуííÿдля збуреногоможнароздiлiзробитирiвняння. Ввiшиперетворення,С безрозмiрнi: змiннi одержу¹мотимщо(5були.на57)-

∂x

− R ∂x2

= −C

∂t − Ic sin φ − G0[1 + ε cos φ] ∂t − IB .

õîì

α = G0r

2πIcC

, ε = Gоротки,0 β = s R2CΦ0 .

äå

βφxxt + φxx

− φtt − α(1 + ε cos φ)φt = s n φ + γ .

(5.58)

Φ0

G1

2πL2Ic

N íåîднорiдностям, розташованим в точках ai.

мiсцямПросторовiдоданнясильногоурiвняннянеоднДжîçåðiäí(ñ5îíiâñ.стi58)(мiкрчленаькогозсàêòêруму мождоутьмiшкибути) щоврахованiвiдповiдають(5шля.59)-

N

X

Цей член вiдповiдатиме

µ δ(x − ai) sin φ .

(5 60)

îçäië 6

Теорiя збурень

îïèñ íèé â

еальнi iзичнi системи (напр. довгий конт кт Дж

п переднiх роздiлах)

описуютьс

рiвняннями, якi не мож

озв'язати то

чнод слiдження солiтонних задач що

допускаютьандартнимлiтичного роз'язан-

. Таким випадком ¹

рiвняння (5.58). Ст

îçå ñîíà,ñòðументом для

ня методом ОЗ ¹ теорiя зберень МакЛа лiна-Скотт ( M Laughlin-S ott

perturbation theory [5 ). Òåîðiÿ

збурень

буде застосовуватись до рiнянь типу:

Де збурення можеφtt

− φxx

òåîði¨ òîíiàí

+ sin φ = ǫf , 0 ≤ ǫ 1 .

мати вигляд, визначений у рiвняннi (5.58) за умови(6.1)

ε ≡ 0:

Содного6озглянемо.1наступнимсолiтонаМетодспочаткучином:ǫf( =балансу−αφt + βφtxx − γ + X µ δ(x − a ) sin φ ,

люксона)спрощений. озпишемоенергi¨варiант .амiльзбурень,збуреногоякий працю¹рiвнянн(6для.2)

H = HSG + HP = Z−∞ [HSG + HP

]dx ≡

Z−∞

+∞

äå

≡

2

+ 2

+ 1 − cos φ dx + HP ,

(6.3)

+∞

φt2

φx2

ÓPвипадку¹амiльтонiаномвiдсутностiзбурення,дисипативнихякевизначеночленiв(в рiвняннi (6.2).

H

збурення може бути переписаний як

α = β = 0) амiльтонiан

Òîäi

áóäü-Hякого=

"

µiδ(x − ai)(1 − cos φ) + γφ# dx.

(6.4)

P

+∞

X

äëÿ

ðîçâ'ÿçêó

Z−∞

i

pозташованiйвiдповiда¹чцi додатнiй eíeргi¨, що зберiга¹тьсанятис мiкрозакоротцi,

µ(1

− cos φ)

è

швидкюватПростiь принаближвiддаленнix =âiääîa. Фмiкрозакороткине¨юксон.абантирозглюксон повиненядопопередньо¨сповiль-

íà

α, β 6= 0, отриму¹мо пiсля домноження рiвн. (5.58) з обидвох бокiв

φt наступне:

1

d

2

d

d

2

тегруваннБеручинам: äîÿувагипо частинамнаступнiтасïiâввiдношерахуванняня,асиякiìптотикидерлегк п жуютьсяитаманно¨пiсолiтоля iн-

2 dt

(φt)

− φxx

φt + dt

(1

− cos φ) + γ dt

φ = −αφt

+ βφxxtφt

,

dt

Z−∞

2

dx = Z−∞

φxφxtdx = − Z−∞

φtφxxdx ,

d

+∞ (φx)2

+∞

+∞

+∞

+∞

та iнтегруючи обидвi сторони вiд

2

φxtdx ,

Z−∞ φtxxφtdx =

− Z−∞

x = −∞ äo x = +∞ отриму¹мо:

Очевидно що

dt

= − Z−∞

(αφt + βφxt)dx .

(6.5)

dH(φ)

+∞

2

v âiÿêà

çìi

Проте,я. Тому,ункцiональнаберучидоувагизалежнiсть

параметри

2

Припуст

î ó íàñ ¹ îäèíα andлюксон,β описуютьпричомувiдвiднема¹енергi¨мiкрозакоротоквiдсолiтона.(

µ =

0). Ò äi îòðèìу¹мо, використавши (6.5) а (6.3):

Взмiню¹тьсжеОс

dt

= − Z−∞ (γφt + αφt

+ βφxt)dx.

dHSG(φ)

+∞

2

2

даномуовнимнiсолiтявипадкулишепостуланнейогов

такимомрача¹параметритеорi¨параметромсво¨хзбуреньвластивостейпочинають¹¹швидкiсьприпущеннязмiнюватисячастинки,солiтонащойогопiдвпершоi¹юорвiдповiда¹ìзбуренняóíêöàáëè(6.6).

¹ючасу.

енергi¨

-

ä швидкостiст не

люксону

отриму¹мо:

√

2, äå

SG

або анти люксону,

H

(φ±) = 8/ 1 − v

φ±

dHSG(φ )

ðîçâ'ÿçêè

dv

7)

Mи пiдставля¹мо точнi

±

2

)−

3/2

dt

= 8v(1 − v

dt

,

ñîëiòîííi

вважаючи при iнтегруваннi що

φ = φ± i беремо iнтеграли в 5

v = v(t) ¹ просто параметром. Отриму¹мо:

dHSG(φ )

v2

8

v2

(6.8)-

ннящо нескладнодляописання±

швидквиглядостi щосолiтона:да¹ ди еренцiéíå ðiâíÿ

перепчасово¨исати удинамiкикiнцевому

dt

=

±2πγv

−

8α √

2

−

3

β

√

2

(1

− v

2

,

1 − v

1 − v

)

dv

±

πγ

− v2)3/2 − αv(1 − v2) −

β

=

(1

v .

(6.9)

dt

4

3

6.3. ДИНАМIКА ФЛЮКСОНА В ДОВ ОМУ КОНТАКТI ДЖОЗЕФСОНА97

¹ìî:

d/dvj

Xj

= vj t не вважа¹ться стàëîþ), отримà-

Т етiй крок теорi¨ збурень. Знаходження базису Nd

(L†

П оди еренцiювавши рiвн. (6.10) пo вiдношенню до

pj

( .

означ ¹

що при обчисленнi похiдно¨

d/dpj

~

Таким чином ми згенерували

ˆ

dW0

~

(6.25)

L dpj

= 0 ,

~

2(N +M +2L) eлeментiв базиса Nd(L): dW0/dpj

Nd(L) . Eëe eíòè Nd(L†) можна знайти з умови

≡ −1 0

N

→ N

(L†) , J

≡

1 0

ÖåVне складно(L)

ïîìiòèòè,J V

0

−

1

, J −

0

1

.

~

ˆ

~

домноживши

1

(6.26)

çëiâà íà

LVˆ ~ = ~0 íà J −1J перед V~ òà ùå ðàç

J . Отрима¹мо

Xi

= onst

при обчисленнi частинних похiдних, oтрима¹мо:

−∂xx

+ cos φ0

0

Таким ч ном отрима¹мо∂ J V~ + J

0

−1

J −1J V~ = ~0 .

éîãî áàçèñ:

Lˆ†J V~ = ~0, звiдки ма¹мо необхiдний пiдпростiр та

Фiксуючи

Nd(Lˆ†) = span (J dpj0 , j = 1, 2, . . .

2D) .

(6.27)

~

dW

dvj

= t

∂xj

+

∂vj

→

(J dpj

) =

(J ∂pj

)

t.

~

~

~

~

~

dW0

∂W0

∂W0

dW0

∂W0

(6.28)

 öüîìó îñòàííüîìó áàçèñi

ðiâíspan.(6.24) ïåреписуютьсяspan òàê:

2D

J ∂pj

,

∂pk

!

dt

= ǫ

J ∂pj

, f~(W~ 0)!

,

(6.29)

~

~

~

X

∂W0

∂W0

dpk

∂W0

трами

~

W0 тa параме-

(p1, p2) = (v, x0). озглянемо вiдпровiдний простiр (ядро оператора

ˆ

L):

( ∂v0

,

∂x0

) .

(6.30)

Nd(Lˆ) ≡ span

~

~

∂W

∂W0

98

ÎÇÄIË 6. ÒÅÎ Iß ÇÁÓ ÅÍÜ

Звiдси базис простору Nd(L†) та сам простiр нам теж вiдомi:

.

Nd(L†) =

(J

∂v

!

, J ∂x0

!) = span −φ0,v

, −φ0,x0

~

~

φ0,tv

φ0,tx0

∂W0

∂W0

Пiдставляючиspan цей бàçèñ â ðiâí.

(6.24), oдержимo

(6.31)

J ∂v0 ,

∂v

! dt

+ J ∂v0 ,

∂x0

! dt

= ǫ Z−∞

f (φ0)φ0,v dx ,

∂W~

∂W~ 0

dv

∂W~

∂W~ 0

dx0

+∞

J ∂x0 ,

∂v

! dt

+ J ∂x0 ,

∂x0

! dt

= ǫ Z−∞

f (φ0)φ0,x0 dx .

∂W~

0

∂W~ 0

dv

∂W~

0

∂W~ 0

dx0

+∞

Використо óþ÷è

òå,

ùî